2024年高考数学一轮复习讲义（学生版）第2章　§2.8　对数与对数函数

§2.8　对数与对数函数考试要求　1.理解对数的概念及运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数.2.通过实例，了解对数函数的概念，会画对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点.3.了解指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数．知识梳理1．对数的概念一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数．以10为底的对数叫做常用对数，记作.以e为底的对数叫做自然对数，记作.2．对数的性质与运算性质(1)对数的性质：loga1＝，logaa＝，＝(a>0，且a≠1，N>0)．(2)对数的运算性质如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：①loga(MN)＝；②loga＝；③logaMn＝(n∈R)．(3)对数换底公式：logab＝(a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1)．3．对数函数的图象与性质a>10<a<1图象定义域值域性过定点，即x＝1时，y＝05 质当x>1时，；当0<x<1时，当x>1时，；当0<x<1时，在(0，＋∞)上是在(0，＋∞)上是4.反函数指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线对称．常用结论1．logab·logba＝1，＝logab.2．如图给出4个对数函数的图象则b>a>1>d>c>0，即在第一象限，不同的对数函数图象从左到右底数逐渐增大．3．对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象恒过点(1,0)，(a,1)，.思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若M＝N，则logaM＝logaN.(　　)(2)函数y＝loga2x(a>0，且a≠1)是对数函数．(　　)(3)对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数．(　　)(4)函数y＝log2x与y＝的图象重合．(　　)教材改编题1．若函数f(x)＝log2(x＋1)的定义域是[0,1]，则函数f(x)的值域为(　　)A．[0,1]B．(0,1)C．(－∞，1]D．[1，＋∞)2．函数y＝loga(x－2)＋2(a>0，且a≠1)的图象恒过点________．3．eln2＋＝________.题型一　对数式的运算5 例1　(1)若2a＝5b＝10，则＋的值是(　　)A．－1B.C.D．1(2)计算：log535＋－log5－log514＝________.听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华　解决对数运算问题的常用方法(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简．(2)将同底对数的和、差、倍合并．(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．跟踪训练1　(1)(2022·保定模拟)已知2a＝3，b＝log85，则4a－3b＝________.(2)(lg5)2＋lg2lg5＋lg4－log34×log23＝________.题型二　对数函数的图象及应用例2　(1)已知函数f(x)＝loga(2x＋b－1)(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是(　　)A．0<a－1<b<1B．0<b<a－1<1C．0<b－1<a<1D．0<a－1<b－1<1(2)(2023·佛山模拟)已知函数f(x)＝|lnx|，若0<a<b，且f(a)＝f(b)，则a＋2b的取值范围是________．听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华　对数函数图象的识别及应用方法(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．跟踪训练2　(1)已知lga＋lgb＝0(a>0且a≠1，b>0且b≠1)，则函数f(x)＝ax与g(x)＝5 的图象可能是(　　)(2)(2023·濮阳模拟)已知a>0且a≠1，函数y＝ax的图象如图所示，则函数f(x)＝loga(－x＋1)的部分图象大致为(　　)题型三　对数函数的性质及应用命题点1　比较对数式的大小例3　(2023·武汉质检)已知a＝log30.5，b＝log3π，c＝log43，则a，b，c的大小关系是(　　)A．a<b<cB．b<a<cC．a<c<bD．c<a<b听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________命题点2　解对数方程、不等式例4　若loga(a＋1)<loga(2)<0(a>0，且a≠1)，则实数a的取值范围是________．听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________命题点3　对数函数的性质及应用例5　(2023·郑州模拟)设函数f(x)＝ln|x＋3|＋ln|x－3|，则f(x)(　　)A．是偶函数，且在(－∞，－3)上单调递减B．是奇函数，且在(－3,3)上单调递减5 C．是奇函数，且在(3，＋∞)上单调递增D．是偶函数，且在(－3,3)上单调递增听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华　求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三个问题：一是定义域；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成．跟踪训练3　(1)(2023·开封模拟)已知函数f(x)＝loga(6－ax)(a>0，且a≠1)在(0,2)上单调递减，则实数a的取值范围是(　　)A．(1,3]B．(1,3)C．(0,1)D．(1，＋∞)(2)(2022·惠州模拟)若函数f(x)＝loga(a>0，且a≠1)有最小值，则实数a的取值范围是________．5