第二章　§2.8　对数与对数函数

成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期§2.8　对数与对数函数考试要求　1.理解对数的概念及运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数.2.通过实例，了解对数函数的概念，会画对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点.3.了解指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数．知识梳理1．对数的概念一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．以10为底的对数叫做常用对数，记作lgN.以e为底的对数叫做自然对数，记作lnN.2．对数的性质与运算性质(1)对数的性质：loga1＝0，logaa＝1，＝N(a>0，且a≠1，N>0)．(2)对数的运算性质如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：①loga(MN)＝logaM＋logaN；②loga＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM(n∈R)．(3)对数换底公式：logab＝(a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1)．3．对数函数的图象与性质a>10<a<1图象定义域(0，＋∞)值域R性质过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0当x>1时，y>0；当0<x<1时，y<0当x>1时，y<0；当0<x<1时，y>0成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数4.反函数指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．常用结论1．logab·logba＝1，＝logab.2．如图给出4个对数函数的图象则b>a>1>d>c>0，即在第一象限，不同的对数函数图象从左到右底数逐渐增大．3．对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象恒过点(1,0)，(a,1)，.思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若M＝N，则logaM＝logaN.(　×　)(2)函数y＝loga2x(a>0，且a≠1)是对数函数．(　×　)(3)对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数．(　×　)(4)函数y＝log2x与y＝的图象重合．(　√　)教材改编题1．若函数f(x)＝log2(x＋1)的定义域是[0,1]，则函数f(x)的值域为(　　)A．[0,1]B．(0,1)C．(－∞，1]D．[1，＋∞)答案　A解析　根据复合函数单调性同增异减可知f(x)在[0,1]上单调递增，因为0≤x≤1，所以1≤x＋1≤2，则log21≤log2(x＋1)≤log22，即f(x)∈[0,1]．2．函数y＝loga(x－2)＋2(a>0，且a≠1)的图象恒过点________．答案　(3,2)解析　∵loga1＝0，令x－2＝1，∴x＝3，y＝2，∴函数的图象过定点(3,2)．成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期3．eln2＋＝________.答案　4解析　eln2＋＝2＋log416＝2＋2＝4.题型一　对数式的运算例1　(1)若2a＝5b＝10，则＋的值是(　　)A．－1B.C.D．1答案　D解析　由2a＝5b＝10，∴a＝log210，b＝log510，∴＝lg2，＝lg5，∴＋＝lg2＋lg5＝lg10＝1.(2)计算：log535＋－log5－log514＝________.答案　2解析　原式＝log535－log5－log514＋＝log5＋＝log5125－1＝log553－1＝3－1＝2.思维升华　解决对数运算问题的常用方法(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简．(2)将同底对数的和、差、倍合并．(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．跟踪训练1　(1)(2022·保定模拟)已知2a＝3，b＝log85，则4a－3b＝________.答案　解析　因为2a＝3，所以a＝log23，成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期又b＝log85，所以b＝log25，所以a－3b＝log2，4a－3b＝＝.(2)(lg5)2＋lg2lg5＋lg4－log34×log23＝________.答案　－1解析　原式＝lg5(lg5＋lg2)＋－×＝lg5＋lg2－2＝1－2＝－1.题型二　对数函数的图象及应用例2　(1)已知函数f(x)＝loga(2x＋b－1)(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是(　　)A．0<a－1<b<1B．0<b<a－1<1C．0<b－1<a<1D．0<a－1<b－1<1答案　A解析　由函数图象可知，f(x)为增函数，故a>1.函数图象与y轴的交点坐标为(0，logab)，由函数图象可知－1<logab<0，解得<b<1.综上，0<a－1<b<1.(2)(2023·佛山模拟)已知函数f(x)＝|lnx|，若0<a<b，且f(a)＝f(b)，则a＋2b的取值范围是________．答案　(3，＋∞)解析　f(x)＝|lnx|的图象如图，因为f(a)＝f(b)，成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期所以|lna|＝|lnb|，因为0<a<b，所以lna<0，lnb>0，所以0<a<1，b>1，所以－lna＝lnb，所以lna＋lnb＝ln(ab)＝0，所以ab＝1，则b＝，所以a＋2b＝a＋，令g(x)＝x＋(0<x<1)，则g(x)在(0,1)上单调递减，所以g(x)>g(1)＝1＋2＝3，所以a＋2b>3，所以a＋2b的取值范围为(3，＋∞)．思维升华　对数函数图象的识别及应用方法(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．跟踪训练2　(1)已知lga＋lgb＝0(a>0且a≠1，b>0且b≠1)，则函数f(x)＝ax与g(x)＝的图象可能是(　　)答案　B解析　∵lga＋lgb＝0(a>0且a≠1，b>0且b≠1)，∴ab＝1，∴a＝，成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期∴g(x)＝＝logax，函数f(x)＝ax与函数g(x)＝互为反函数，∴函数f(x)＝ax与g(x)＝的图象关于直线y＝x对称，且具有相同的单调性．(2)(2023·濮阳模拟)已知a>0且a≠1，函数y＝ax的图象如图所示，则函数f(x)＝loga(－x＋1)的部分图象大致为(　　)答案　D解析　由函数y＝ax的图象可得a>1.当a>1时，y＝logax经过定点(1,0)，为增函数．因为y＝logax与y＝loga(－x)关于y轴对称，所以y＝loga(－x)经过定点(－1,0)，为减函数．而f(x)＝loga(－x＋1)可以看作y＝loga(－x)的图象向右平移一个单位长度得到的，所以f(x)＝loga(－x＋1)的图象经过定点(0,0)，为减函数．结合选项可知选D.题型三　对数函数的性质及应用命题点1　比较对数式的大小例3　(2023·武汉质检)已知a＝log30.5，b＝log3π，c＝log43，则a，b，c的大小关系是(　　)A．a<b<cB．b<a<cC．a<c<bD．c<a<b答案　C解析　a＝log30.5<log31＝0，即a<0；b＝log3π>log33＝1，即b>1；0＝log41<log43<log44＝1，即0<c<1，∴a<c<b.命题点2　解对数方程、不等式例4　若loga(a＋1)<loga(2)<0(a>0，且a≠1)，则实数a的取值范围是________．答案　成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期解析　由题意loga(a＋1)<loga(2)<loga1，得或解得<a<1.命题点3　对数函数的性质及应用例5　(2023·郑州模拟)设函数f(x)＝ln|x＋3|＋ln|x－3|，则f(x)(　　)A．是偶函数，且在(－∞，－3)上单调递减B．是奇函数，且在(－3,3)上单调递减C．是奇函数，且在(3，＋∞)上单调递增D．是偶函数，且在(－3,3)上单调递增答案　A解析　函数f(x)的定义域为{x|x≠±3}，f(x)＝ln|x＋3|＋ln|x－3|＝ln|x2－9|，令g(x)＝|x2－9|，则f(x)＝lng(x)，函数g(x)的单调区间由图象(图略)可知，当x∈(－∞，－3)，x∈(0,3)时，g(x)单调递减，当x∈(－3,0)，x∈(3，＋∞)时，g(x)单调递增，由复合函数单调性同增异减得单调区间．由f(－x)＝ln|(－x)2－9|＝ln|x2－9|＝f(x)得f(x)为偶函数．思维升华　求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三个问题：一是定义域；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成．跟踪训练3　(1)(2023·开封模拟)已知函数f(x)＝loga(6－ax)(a>0，且a≠1)在(0,2)上单调递减，则实数a的取值范围是(　　)A．(1,3]B．(1,3)C．(0,1)D．(1，＋∞)答案　A解析　令t(x)＝6－ax，因为a>0，所以t(x)＝6－ax为减函数．又由函数f(x)＝loga(6－ax)在(0,2)上单调递减，可得函数t(x)＝6－ax>0在(0,2)上恒成立，且a>1，故有解得1<a≤3.(2)(2022·惠州模拟)若函数f(x)＝loga(a>0，且a≠1)有最小值，则实数a的取值范围是________．成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 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成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期答案　A解析　函数f(x)＝log2(|x|－1)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，排除B，C；由f(－x)＝log2(|－x|－1)＝log2(|x|－1)＝f(x)，可知函数f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称，排除D.4．按照“碳达峰”“碳中和”的实现路径，2030年为碳达峰时期，2060年实现碳中和，到2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过70%，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口．Peukert于1898年提出蓄电池的容量C(单位：Ah)，放电时间t(单位：h)与放电电流I(单位：A)之间关系的经验公式：C＝In·t，其中n为Peukert常数，为了测算某蓄电池的Peukert常数n，在电池容量不变的条件下，当放电电流I＝20A时，放电时间t＝20h；当放电电流I＝30A时，放电时间t＝10h．则该蓄电池的Peukert常数n大约为(　　)(参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48)A.B.C.D．2答案　B解析　根据题意可得C＝20n·20，C＝30n·10，两式相比得＝1，即n＝，所以n＝＝＝≈＝.5．已知函数f(x)＝log2(x＋1)－|x|，则不等式f(x)>0的解集是(　　)A．(－1,1)B．(0,1)C．(－1,0)D．∅答案　B解析　不等式f(x)>0⇔log2(x＋1)>|x|，分别画出函数y＝log2(x＋1)和y＝|x|的图象，由图象可知y＝log2(x＋1)和y＝|x|的图象有两个交点，分别是(0,0)和(1,1)，成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期由图象可知log2(x＋1)>|x|的解集是(0,1)，即不等式f(x)>0的解集是(0,1)．6．(多选)已知函数f(x)＝|loga(x＋1)|(a>1)，下列说法正确的是(　　)A．函数f(x)的图象恒过定点(0,0)B．函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递减C．函数f(x)在区间上的最小值为0D．若对任意x∈[1,2]，f(x)≥1恒成立，则实数a的取值范围是(1,2]答案　ACD解析　将(0,0)代入函数f(x)＝|loga(x＋1)|(a>1)，成立，故A正确；当x∈(0，＋∞)时，x＋1∈(1，＋∞)，又a>1，所以f(x)＝|loga(x＋1)|＝loga(x＋1)，由复合函数单调性可知，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝|loga(x＋1)|＝loga(x＋1)单调递增，故B错误；当x∈时，x＋1∈，所以f(x)＝|loga(x＋1)|≥loga1＝0，故C正确；当x∈[1,2]时，f(x)＝|loga(x＋1)|＝loga(x＋1)≥1恒成立，所以由函数为增函数知loga2≥1，解得1<a≤2，故D正确．7．(2023·淮北模拟)计算：－2＋＝______.答案　10解析　－2＋＝4＋2＋4＝10.8．函数f(x)＝的最小值为________．答案　－解析　依题意得f(x)＝log2x·(2＋2log2x)＝(log2x)2＋log2x＝2－≥－，当且仅当log2x＝－，即x＝时等号成立，所以函数f(x)的最小值为－.9．已知f(x)＝(1)若a＝2，求f(x)的值域；(2)若f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围．解　(1)当a＝2时，f(x)＝，令t＝x2－2x＋10＝(x－1)2＋9，成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 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成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期则g(x)在R上单调递增，又f(0)＝1，则不等式f(ln(ex－1))<1＋ln(ex－1)，等价于f(ln(ex－1))－ln(ex－1)<1＝f(0)－0，即g(ln(ex－1))<g(0)，所以ln(ex－1)<0，则0<ex－1<1，解得0<x<ln2.14．(多选)已知函数f(x)＝若f(x)＝a有四个解x1，x2，x3，x4且满足x1<x2<x3<x4，则下列命题正确的是(　　)A．0<a<1B．x1＋2x2∈(3，＋∞)C．x1＋x2＋x3＋x4∈D．x4∈[4，＋∞)答案　AC解析　作函数f(x)＝的图象如图所示，f(x)＝a有四个解，即y＝a与y＝f(x)的图象有4个交点x1，x2，x3，x4且x1<x2<x3<x4，可得0<a<1，故选项A正确；由图象可得x1·x2＝1，则＝x2，∴x1＋2x2＝x1＋，∵<x1<1，且1<x2<2，对勾函数y＝x＋在区间上单调递减，故当<x1<1时，x1＋2x2＝x1＋∈，故B错误；x1＋x2＝＋x1，∵<x1<1，∴＋x1∈，∵x3＋x4＝8，∴x1＋x2＋x3＋x4∈，故选项C正确；令x2－8x＋13＝0，解得x＝4±，成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期由图象可知x4∈(4＋，6)，故选项D错误．成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期