高中数学复习专题：对数与对数函数

§2.6　对数与对数函数最新考纲考情考向分析1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用．2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为2,3,10，，的对数函数的图象．3.体会对数函数是一类重要的函数模型．4.了解指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数.以比较对数函数值大小的形式考查函数的单调性；以复合函数的形式考查对数函数的图象与性质，题型一般为选择、填空题，中低档难度.1．对数的概念一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中__a__叫做对数的底数，__N__叫做真数．2．对数的性质与运算法则(1)对数的运算法则如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：①loga(MN)＝logaM＋logaN；②loga＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM(n∈R)．(2)对数的性质①＝__N__；②logaaN＝__N__(a>0，且a≠1)．(3)对数的换底公式logab＝(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)．3．对数函数的图象与性质y＝logaxa>10<a<1图象定义域(1)(0，＋∞)值域(2)r性质(3)过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0(4)当x>1时，y>0；当0<x<1时，y<0(5)当x>1时，y<0；当0<x<1时，y>0(6)在(0，＋∞)上是增函数(7)在(0，＋∞)上是减函数4.反函数指数函数y＝ax(a>0且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．知识拓展1．换底公式的两个重要结论(1)logab＝；(2)＝logab.其中a>0且a≠1，b>0且b≠1，m，n∈R.2．对数函数的图象与底数大小的比较如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，故0<c<d<1<a<b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．题组一>0，则loga(MN)＝logaM＋logaN.(　×　)(2)对数函数y＝logax(a>0且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数．(　×　)(3)函数y＝ln与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同．(　√　)(4)对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的图象过定点(1,0)且过点(a,1)，，函数图象只在第一、四象限．(　√　)题组二　教材改编2．[P68T4]log29·log34·log45·log52＝________.答案　23．[P82A组T6]已知a＝，b＝log2，c＝，则a，b，c的大小关系为________．答案　c>a>b解析　∵0<a<1，b<0，c＝＝log23>1.∴c>a>b.4．[P74A组T7]函数y＝的定义域是______．答案　解析　由≥0，得0<2x－1≤1.∴<x≤1.∴函数y＝的定义域是.题组三>0，log5b＝a，lgb＝c,5d＝10，则下列等式一定成立的是(　　)A．d＝acB．a＝cdC．c＝adD．d＝a＋c答案　B6．已知函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a>0，a≠1)的图象如图，则下列结论成立的是(　　)A．a>1，c>1B．a>1,0<c<1c．0<a<1，c>1D．0<a<1,0<c<1答案 d="">0且a≠1)，则实数a的取值范围是______________．答案　∪(1，＋∞)解析　当0<a<1时，loga<logaa＝1，∴0<a<；当a>1时，loga<logaa＝1，∴a>1.∴实数a的取值范围是∪(1，＋∞).题型一　对数的运算1．设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m等于(　　)A.B．10C．20D．100答案　A解析　由已知，得a＝log2m，b＝log5m，则＋＝＋＝logm2＋logm5＝logm10＝2.解得m＝.2．计算：÷＝________.答案　－20解析　原式＝(lg2－2－lg52)×＝lg×10＝lg10－2×10＝－2×10＝－20.3．计算：＝________.答案　1解析　原式＝＝＝＝＝＝1.思维升华对数运算的一般思路(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并．(2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．题型二　对数函数的图象及应用典例(1)若函数y＝logax(a>0且a≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是(　　)答案　B解析　由题意y＝logax(a>0且a≠1)的图象过(3,1)点，可解得a＝3.选项A中，y＝3－x＝x，显然图象错误；选项B中，y＝x3，由幂函数图象性质可知正确；选项C中，y＝(－x)3＝－x3，显然与所画图象不符；选项D中，y＝log3(－x)的图象与y＝log3x的图象关于y轴对称，显然不符，故选B.(2)当0<x≤时，4x<logax，则a的取值范围是(>1时，不符合题意，舍去．所以实数a的取值范围是.引申探究　若本例(2)变为方程4x＝logax在上有解，则实数a的取值范围为__________．答案　解析　若方程4x＝logax在上有解，则函数y＝4x和函数y＝logax在上有交点，由图象知解得0<a≤.思维升华(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．跟踪训练(1)函数y＝2log4(1－x)的图象大致是(>1时，直线y＝－x＋a与y＝log2x只有一个交点．题型三　对数函数的性质及应用命题点1　对数函数的单调性典例(1)(2018届河南信阳高中大考)设a＝log412，b＝log515，c＝log618，则(　　)A．a>b>cB．b>c>aC．a>c>bD．c>b>a答案　A解析　a＝1＋log43，b＝1＋log53，c＝1＋log63，∵log43>log53>log63，∴a>b>c.(2)(2017·江西九江七校联考)若函数f(x)＝log2(x2－ax－3a)在区间(－∞，－2]上是减函数，则实数a的取值范围是(　　)A．(－∞，4)B．(－4,4]C．(－∞，－4)∪[－2，＋∞)D．[－4,4)答案　D解析　由题意得x2－ax－3a>0在区间(－∞，－2]上恒成立且函数y＝x2－ax－3a在(－∞，－2]上单调递减，则≥－2且(－2)2－(－2)a－3a>0，解得实数a的取值范围是[－4,4)，故选D.命题点2　和对数函数有关的复合函数典例已知函数f(x)＝loga(3－ax)(a>0且a≠1)．(1)当x∈[0,2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围；(2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由．解　(1)∵a>0且a≠1，设t(x)＝3－ax，则t(x)＝3－ax为减函数，x∈[0,2]时，t(x)的最小值为3－2a，当x∈[0,2]时，f(x)恒有意义，即x∈[0,2]时，3－ax>0恒成立．∴3－2a>0.∴a<.又a>0且a≠1，∴a的取值范围为(0,1)∪.(2)假设存在这样的实数a.t(x)＝3－ax，∵a>0，∴函数t(x)为减函数．∵f(x)在区间[1,2]上为减函数，∴y＝logat为增函数，∴a>1，x∈[1,2]时，t(x)的最小值为3－2a，f(x)的最大值为f(1)＝loga(3－a)，∴即故不存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1.思维升华(1)利用对数函数单调性时要注意真数必须为正，明确底数对单调性的影响．(2)解决与对数函数有关的复合函数问题，首先要确定函数的定义域，根据“同增异减”原则判断函数的单调性，利用函数的最值解决恒成立问题．跟踪训练(1)设a＝log32，b＝log52，c＝log23，则(　　)A．a>c>bB．b>c>aC．c>b>aD．c>a>b答案　D解析　a＝log32<log33＝1，b＝log52<log55＝1.又c＝log23>log22＝1，所以c最大．由1<log23<log25，得>，即a>b，所以c>a>b.(2)已知函数f(x)＝loga(8－ax)(a>0，且a≠1)，若f(x)>1在区间[1,2]上恒成立，则实数a的取值范围是__________．答案　解析　当a>1时，f(x)＝loga(8－ax)在[1,2]上是减函数，由f(x)>1在区间[1,2]上恒成立，则f(x)min＝loga(8－2a)>1，且8－2a>0，解得1<a<.当0<a<1时，f(x)在[1,2]上是增函数，由f(x)>1在区间[1,2]上恒成立，则f(x)min＝loga(8－a)>1，且8－2a>0.∴a>4，且a<4，故不存在．综上可知，实数a的取值范围是.比较指数式、对数式的大小考点分析　比较大小问题是每年高考的必考内容之一．(1)比较指数式和对数式的大小，可以利用函数的单调性，引入中间量；有时也可用数形结合的方法．(2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1.典例(1)设a＝log3π，b＝log2，c＝log3，则(　　)A．a>b>cB．a>c>bC．b>a>cD．b>c>a答案　A解析　因为a＝log3π>log33＝1，b＝log2<log22＝1，所以a>b，又＝＝(log23)2>1，c>0，所以b>c，故a>b>c.(2)(2017·新乡二模)设a＝60.4，b＝log0.40.5，c＝log80.4，则a，b，c的大小关系是(　　)A．a<b<cb．c<b<ac．c<a<bd．b<c<a答案 b="">1，b＝log0.40.5∈(0,1)，c＝log80.4<0，∴a>b>c.故选B.(3)若实数a，b，c满足loga2<logb2<logc2，则下列关系中不可能成立的是(>b>cB．b>a>cC．c>a>bD．a>c>b答案　B解析　易知y＝f(x)是偶函数．当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝f＝|log2x|，且当x∈[1，＋∞)时，f(x)＝log2x单调递增，又a＝f(－3)＝f(3)，b＝f＝f(4)，所以b>a>c.1．设a＝log37，b＝21.1，c＝0.83.1，则(　　)A．b<a<cb．c<a<bc．c<b<ad．a<c<b答案 b="">2.∵c＝0.83.1，∴0<c<1.即c<a<b，故选b.2．(2017·孝义模拟)函数y＝lnsinx(0<x<π)的大致图象是(>0，a≠1)在区间内恒有f(x)>0，则f(x)的单调递增区间为(　　)A．(0，＋∞)B．(2，＋∞)C．(1，＋∞)D.答案　A解析　令M＝x2＋x，当x∈时，M∈(1，＋∞)，f(x)>0，所以a>1，所以函数y＝logaM为增函数，又M＝2－，因此M的单调递增区间为.又x2＋x>0，所以x>0或x<－，所以函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)．7．函数f(x)＝log5(2x＋1)的单调递增区间是__________．答案　解析　函数f(x)的定义域为，令t＝2x＋1(t>0)．因为y＝log5t在(0，＋∞)上为增函数，t＝2x＋1在上为增函数，所以函数y＝log5(2x＋1)的单调递增区间是.8．设函数f(x)＝则满足f(x)≤2的x的取值范围是__________．答案　[0，＋∞)解析　当x≤1时，由21－x≤2，解得x≥0，所以0≤x≤1；当x>1时，1－log2x≤2，解得x≥，所以x>1.综上可知x≥0.9．(2017·南昌模拟)设实数a，b是关于x的方程|lgx|＝c的两个不同实数根，且a<b<10，则abc的取值范围是________．答案>b>1.若logab＋logba＝，ab＝ba，则a＝________，b＝________.答案　4　2解析　令logab＝t，∵a>b>1，∴0<t<1，由logab＋logba＝，得t＋＝，解得t＝或t＝2(舍去)，即logab＝，∴b＝，又ab＝ba，∴＝()a，即＝，即＝，解得a＝4，∴b＝2.11．已知函数f(x)＝loga(2x－a)在区间上恒有f(x)>0，则实数a的取值范围是________．答案　解析　当0<a<1时，函数f(x)在区间上是减函数，所以loga>0，即0<－a<1，又2×－a>0，解得<a<，且a<1，故<a<1；当a>1时，函数f(x)在区间上是增函数，所以loga(1－a)>0，即1－a>1，且2×－a>0，解得a<0，且a<1，此时无解．综上所述，实数a的取值范围是.12．(2018·长沙模拟)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(0)＝0，当x>0时，f(x)＝.(1)求函数f(x)的解析式；(2)解不等式f(x2－1)>－2.解　(1)当x<0时，－x>0，则f(－x)＝．因为函数f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)．所以x<0时，f(x)＝，所以函数f(x)的解析式为f(x)＝(2)因为f(4)＝＝－2，f(x)是偶函数，所以不等式f(x2－1)>－2可化为f(|x2－1|)>f(4)．又因为函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数，所以0<|x2－1|<4，解得－<x<且x≠±1，而x2－1＝0时，f(0)＝0>－2，所以－<x<.13．已知a，b＞0且a≠1，b≠1，若logab＞1，则(>0时，f(x)＝lg＝lg＝lg，令t(x)＝x＋，x>0，则t′(x)＝1－，可知当x∈(0,1)时，t′(x)<0，t(x)单调递减，当x∈(1，＋∞)时，t′(x)>0，t(x)单调递增，即f(x)在x＝1处取得最小值lg2.由偶函数的图象关于y轴对称及复合函数的单调性可知②错误，③正确，④正确，故答案为①③④.16．(2017·厦门月考)已知函数f(x)＝ln.(1)求函数f(x)的定义域，并判断函数f(x)的奇偶性；(2)对于x∈[2,6]，f(x)＝ln>ln恒成立，求实数m的取值范围．解　(1)由>0，解得x<－1或x>1，∴函数f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，当x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，f(－x)＝ln＝ln＝ln－1＝－ln＝－f(x)，∴f(x)＝ln是奇函数．(2)∵x∈[2,6]时，f(x)＝ln>ln恒成立，∴>>0，∵x∈[2,6]，∴0</x<.13．已知a，b＞0且a≠1，b≠1，若logab＞1，则(></x<且x≠±1，而x2－1＝0时，f(0)＝0></a<，且a<1，故<a<1；当a></a<1时，函数f(x)在区间上是减函数，所以loga></t<1，由logab＋logba＝，得t＋＝，解得t＝或t＝2(舍去)，即logab＝，∴b＝，又ab＝ba，∴＝()a，即＝，即＝，解得a＝4，∴b＝2.11．已知函数f(x)＝loga(2x－a)在区间上恒有f(x)></b<10，则abc的取值范围是________．答案></c<1.即c<a<b，故选b.2．(2017·孝义模拟)函数y＝lnsinx(0<x<π)的大致图象是(></a<cb．c<a<bc．c<b<ad．a<c<b答案></logb2<logc2，则下列关系中不可能成立的是(></b<cb．c<b<ac．c<a<bd．b<c<a答案></log22＝1，所以a></a<.当0<a<1时，f(x)在[1,2]上是增函数，由f(x)></log23<log25，得></log33＝1，b＝log52<log55＝1.又c＝log23></a≤.思维升华(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．跟踪训练(1)函数y＝2log4(1－x)的图象大致是(></x≤时，4x<logax，则a的取值范围是(></logaa＝1，∴a></a<1时，loga<logaa＝1，∴0<a<；当a></a<1,0<c<1答案></c<1c．0<a<1，c></x≤1.∴函数y＝的定义域是.题组三></a<1，b<0，c＝＝log23></c<d<1<a<b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．题组一></x<1时，y></x<1时，y<0(5)当x></a<1图象定义域(1)(0，＋∞)值域(2)r性质(3)过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0(4)当x>