高考数学总复习 2-5对数与对数函数 新人教B版

2-5对数与对数函数基础巩固强化1.(文)(2012·内蒙古包头模拟)已知函数f(x)＝则f[f(－4)]＝(　　)A．－4　　　B．－　　C．4　　　　D．6[答案]　C[解析]　f(－4)＝()－4＝16，f[f(－4)]＝f(16)＝16＝4.(理)若函数f(x)＝则f(log43)＝(　　)A.　　　B.　　　C．3　　　　D．4[答案]　C[解析]　∵0<log43<1，∴f(log43)＝4log43＝3.2．(文)下列四个数中最大的是(　　)A．(ln2)2B．ln(ln2)C．lnD．ln2[答案]　D[解析]　由0<ln2<1，得ln(ln2)<0，因此ln(ln2)是最小的一个；由于lnx为增函数，因此ln<ln2；那么最大的只能是A或D；因为0<ln2<1，故(ln2)2<ln2.(理)(2011·重庆文，6)设a＝，b＝，c＝log3，则a、b、c的大小关系是(　　)A．a<b<cB．c<b<aC．b<a<cD．b<c<a[答案]　B[解析]　∵a＝，b＝，logx单调递减而<，∴a>b>0，又c<0.故c<b<a.3．(2012·豫南四校调研考试)设f(x)＝lg(＋a)是奇函数，且在x＝0处有意义，则该函数是(　　)A．(－∞，＋∞)上的减函数B．(－∞，＋∞)上的增函数11\nC．(－1,1)上的减函数D．(－1,1)上的增函数[答案]　D[解析]　由题意可知，f(0)＝0，即lg(2＋a)＝0，解得a＝－1，故f(x)＝lg，函数f(x)的定义域是(－1,1)，在此定义域内f(x)＝lg＝lg(1＋x)－lg(1－x)，函数y1＝lg(1＋x)是增函数，函数y2＝lg(1－x)是减函数，故f(x)＝y1－y2是增函数．选D.4．(文)函数f(x)＝|x|的图象是(　　)[答案]　A[解析]　f(x)＝|x|＝|log2x|＝故选A.[点评]　可用筛选取求解，f(x)的定义域为{x|x>0}，排除B、D，f(x)≥0，排除C，故选A.(理)(2012·河南豫东、豫北十所名校段测)函数y＝ln||与y＝－在同一平面直角坐标系内的大致图象为(　　)[答案]　C11\n[解析]　y＝ln||为偶函数，当x>0时，y＝ln＝－lnx为减函数，故排除A、B；y＝－≤0，其图象在x轴下方，排除D，故选C.5．(2012·广东深圳市一调)已知符号函数sgn(x)＝则函数f(x)＝sgn(lnx)－ln2x的零点个数为(　　)A．4　　　　B．3　　　　C．2　　　　D．1[答案]　C[解析]　由题意得f(x)＝sgn(lnx)－ln2x＝则令1－ln2x＝0⇒x＝e或x＝(舍去)；令－ln2x＝0⇒x＝1；当－1－ln2x＝0时，方程无解，所以f(x)＝sgn(lnx)－ln2x有两个零点，故选C.6．已知函数f(x)＝()x－log3x，若实数x0是方程f(x)＝0的解，且0<x1<x0，则f(x1)的值(　　)A．不小于0B．恒为正数C．恒为负数D．不大于0[答案]　B[解析]　若实数x0是方程f(x)＝0的解，即x0是函数y＝()x和y＝log3x的图象的交点的横坐标，因为0<x1<x0，画图易知()x1>log3x1，所以f(x1)恒为正数．7．(文)函数y＝的定义域为________．[答案]　{x|1≤x<或－<x≤－1}[解析]　要使函数有意义，应满足log(2－x2)≥0，∵y＝logx为减函数，∴0<2－x2≤1，∴1≤x2<2，∴1≤x<或－<x≤－1.(理)函数f(x)＝ln的定义域是________．[答案]　(－∞，0)∪(1，＋∞)[解析]　要使f(x)有意义，应有1＋>0，∴>0，∴x<0或x>1.11\n8．方程log3(x2－10)＝1＋log3x的解是________．[答案]　x＝5[解析]　原方程化为log3(x2－10)＝log3(3x)，由于log3x在(0，＋∞)上严格单增，则x2－10＝3x，解之得x1＝5，x2＝－2.∵要使log3x有意义，应有x>0，∴x＝5.9．对任意实数a、b，定义运算“*”如下：a*b＝则函数f(x)＝log(3x－2)*log2x的值域为________．[答案]　(－∞，0][解析]　易知函数f(x)的定义域为(，＋∞)，在同一直角坐标系中画出函数y＝log(3x－2)和y＝log2x的图象，由a*b的定义可知，f(x)的图象为图中实线部分，∴由图象可得f(x)＝的值域为(－∞，0]．10．(文)已知函数f(x)＝loga(ax－1)(a>0且a≠1)．(1)证明函数f(x)的图象在y轴的一侧；(2)设A(x1，y1)、B(x2，y2)(x1<x2)是f(x)图象上两点，证明直线AB的斜率大于0.[证明]　(1)由ax－1>0，得ax>1.当a>1时，解得x>0，此时f(x)的图象在y轴右侧；当0<a<1时，解得x<0，此时f(x)的图象在y轴左侧．∴对a>0且a≠1的任意实数a，f(x)的图象总在y轴一侧．(2)①当a>1时，x>0，由0<x1<x2得，1<ax1<ax2，∴0<ax1－1<ax2－1，即>1.∴f(x2)－f(x1)＝loga(ax2－1)－loga(ax1－1)11\n＝loga>0.直线AB的斜率kAB＝>0.②当0<a<1时，由x1<x2<0得，ax1>ax2>1，f(x2)－f(x1)>0.同上可得kAB>0.(理)(2011·郑州模拟)已知函数f(x)＝lg(ax－bx)(a>1>b>0)．(1)求y＝f(x)的定义域；(2)在函数y＝f(x)的图象上是否存在不同的两点，使得过这两点的直线平行于x轴；(3)当a、b满足什么条件时，f(x)在(1，＋∞)上恒取正值．[解析]　(1)由ax－bx>0得x>1，∵a>1>b>0，∴>1，∴x>0.∴f(x)的定义域是(0，＋∞)．(2)任取x1、x2∈(0，＋∞)且x1>x2，∵a>1>b>0，∴ax1>ax2>1，bx1<bx2<1∴ax1－bx1>ax2－bx2>0∴lg(ax1－bx1)>lg(ax2－bx2)故f(x1)>f(x2)∴f(x)在(0，＋∞)上为增函数．假设y＝f(x)的图象上存在不同的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，使过A、B两点的直线平行于x轴，则x1≠x2，y1＝y2，这与f(x)是增函数矛盾．故函数y＝f(x)的图象上不存在不同两点，使过这两点的直线平行于x轴．(3)∵f(x)是增函数，∴当x∈(1，＋∞)时，f(x)>f(1)．这样只需f(1)≥0，即lg(a－b)≥0，∴a－b≥1.即当a≥b＋1时，f(x)在(1，＋∞)上恒取正值.能力拓展提升11.(文)函数f(x)＝的零点个数为(　　)A．0　　　　B．1　　　　C．2　　　　D．3[答案]　D[解析]　f(x)＝2x＋1(x≤0)有一个零点x＝－，而f(x)＝lnx－x2＋2x(x>0)的零点可以借助于y1＝lnx(x>0)与y2＝x2－2x(x>0)的图象来确定，它们的图象有两个交点，选D.11\n(理)定义在R上的奇函数f(x)满足：当x>0时，f(x)＝2012x＋log2012x，则方程f(x)＝0的实根的个数为(　　)A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．5[答案]　C[解析]　当x>0时，f(x)＝0即2012x＝－log2012x，在同一坐标系下分别画出函数f1(x)＝2012x，f2(x)＝－log2012x的图象(图略)，可知两个图象只有一个交点，即方程f(x)＝0只有一个实根，又因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以当x<0时，方程f(x)＝0也有一个实根，又因为f(0)＝0，所以方程f(x)＝0的实根的个数为3.12．(文)(2011·荆州二检)函数y＝loga(x＋3)－1(a>0，且a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny＋1＝0上，其中mn>0，则＋的最小值为(　　)A．6　　　　B．7　　　　C．8　　　　D．9[答案]　C[解析]　∵函数y＝loga(x＋3)－1的图象恒过点(－2，－1)，∴－2m－n＋1＝0，即2m＋n＝1，于是＋＝(＋)(2m＋n)＝2＋2＋＋≥8.等号在n＝，m＝时成立．(理)设正数x、y满足log2(x＋y＋3)＝log2x＋log2y，则x＋y的取值范围是(　　)A．(0,6]B．[6，＋∞)C．[1＋，＋∞)D．(0,1＋][答案]　B[解析]　∵log2(x＋y＋3)＝log2x＋log2y＝log2(xy)，∴x＋y＋3＝xy.由x、y∈R＋知xy≤()2，∴x＋y＋3≤()2.令x＋y＝A，∴A＋3≤，∴A≥6或A≤－2(舍去)，故选B.13．设函数f(x)＝若f(a)>f(－a)，则实数a的取值范围是(　　)A．(－1,0)∪(0,1)B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C．(－1,0)∪(1，＋∞)D．(－∞，－1)∪(0,1)[答案]　C[解析]　当a>0时，由f(a)>f(－a)得：log2a>loga，即log2a>log2，即a>，解得a>1；当a<0时，由f(a)>f(－a)得：log(－a)>log2(－a)，即log2(－)>log2(－a)，即－>－a，解得－1<a<0，故选C.11\n14．设f(x)是定义在R上的偶函数，对∀x∈R，都有f(x＋4)＝f(x)，且当x∈[－2,0]时，f(x)＝()x－1，若在区间(－2,6]内关于x的方程f(x)－loga(x＋2)＝0(a>1)恰有3个不同的实数根，则实数a的取值范围是________．[答案]　(，2)[解析]　∵f(x＋4)＝f(x)，∴f(x)的周期为4，当x∈[0,2]时，－x∈[－2,0]，∴f(－x)＝2x－1，又f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，∴x∈[0,2]时，f(x)＝2x－1，依据其周期性和对称性，画出f(x)在(－2,6]上的图象，当y＝loga(x＋2)的图象与f(x)在(－2,6]上的图象恰有3个交点时，应有∴<a<2.15．已知函数f(x)＝loga(3－ax)．(1)当x∈[0,2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围．(2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由．[解析]　(1)由题意，3－ax>0对一切x∈[0,2]恒成立，∵a>0且a≠1，∴g(x)＝3－ax在[0,2]上是减函数，从而g(2)＝3－2a>0得a<.∴a的取值范围为(0,1)∪.(2)假设存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1.由题设f(1)＝1，即loga(3－a)＝1，∴a＝，此时f(x)＝log，当x＝2时，函数f(x)没有意义，故这样的实数a不存在．16．(文)已知函数f(x)＝loga(1－x)＋loga(x＋3)(a>0，且a≠1)．(1)求函数f(x)的定义域和值域；(2)若函数f(x)有最小值为－2，求a的值．11\n[解析]　(1)由得－3<x<1，所以函数的定义域为{x|－3<x<1}．f(x)＝loga(1－x)(x＋3)，设t＝(1－x)(x＋3)＝4－(x＋1)2，所以t≤4，又t>0，则0<t≤4.当a>1时，y≤loga4，值域为{y|y≤loga4}，当0<a<1时，y≥loga4，值域为{y|y≥loga4}．(2)由题意及(1)知：当0<a<1时，函数有最小值，所以loga4＝－2，解得a＝.(理)已知函数f(x)＝log(a是常数且a<2)．(1)求f(x)的定义域；(2)若f(x)在区间(2,4)上是增函数，求a的取值范围．[解析]　(1)∵>0，∴(ax－2)(x－1)<0，①当a<0时，函数的定义域为∪(1，＋∞)；②当a＝0时，函数的定义域为(1，＋∞)；③当0<a<2时，函数的定义域为.(2)∵f(x)在(2,4)上是增函数，∴只要使在(2,4)上是减函数且恒为正即可．令g(x)＝，即当x∈(2,4)时g′(x)≤0恒成立且g(4)≥0.解法一：g′(x)＝＝，∴当a－2<0，即a<2时，g′(x)≤0.g(4)≥0，即1－2a≥0，∴a≤，∴a∈.解法二：∵g(x)＝＝－a＋，∴要使g(x)＝－a＋在(2,4)上是减函数，只需2－a>0，∴a<2，以下步骤同解法一．11\n1．(2011·四川文，4)函数y＝()x＋1的图象关于直线y＝x对称的图象大致是(　　)[答案]　A[解析]　解法一：作y＝()x的图象，然后向上平移1个单位，得y＝()x＋1的图象，再把图象关于y＝x对称即可．解法二：令x＝0得y＝2，∴对称图象过点(2,0)，排除C、D；又令x＝－1得y＝3，∴对称图象过点(3，－1)，排除B，故选A.2．设函数f(x)＝logax(a>0且a≠1)，若xi>0(i＝1,2，…，2015)，f(x1·x2·x3·…·x2015)＝50，则f(x)＋f(x)＋f(x)＋…＋f(x)的值等于(　　)A．2500B．50C．100D．loga50[答案]　C[分析]　根据对数的运算性质，loga(MN)＝logaM＋logaN，logaM2＝2logaM(M>0，N>0)求解．[解析]　由f(x1·x2·x3·…·x2015)＝50得，logax1＋logax2＋…＋logax2015＝50而f(x)＋f(x)＋f(x)＋…＋f(x)＝logax＋logax＋…＋logax＝2(logax1＋logax211\n＋…logax2015)＝2×50＝100，故选C.3．已知函数y＝是偶函数，f(x)＝logax对应的图象如右图所示，则g(x)＝(　　)A．2xB．log(－x)C．log2(－x)D．－log2(－x)[答案]　C[解析]　∵f(x)＝logax的图象过点(2,1)，∴loga2＝1，∴a＝2，即f(x)＝log2x，设h(x)＝当x<0时，－x>0，∴h(－x)＝f(－x)＝log2(－x)，又h(x)为偶函数，∴h(－x)＝h(x)，∴当x<0时，h(x)＝log2(－x)，即g(x)＝log2(－x)．4．(2012·湖南文，7)设a>b>1，c<0，给出下列三个结论：①>；②ac<bc；③logb(a－c)>loga(b－c)．其中所有的正确结论的序号是(　　)A．①B．①②C．②③D．①②③[答案]　D[解析]　本题考查不等式性质，比较大小．－＝，∵a>b>1，c<0，∴>0，>，①正确；a>b>1，ac<bc，②正确；∵a－c>b－c>1，∴logb(a－c)>logb(b－c)>loga(b－c)，③正确．[点评]　比较大小的方法有作差法、单调性法等．5．函数f(x)＝ln的图象只可能是(　　)11\n[答案]　A[解析]　本题用排除法，注意到本题中f(x)的定义域为{x|－1<x<1}，从而排除B、C选项．又由u(x)＝－1＋在定义域{x|－1<x<1}内是减函数，而g(x)＝lnx在定义域(0，＋∞)内是增函数，从而f(x)＝ln＝ln在定义域{x|－1<x<1}内是减函数．故选A.6．已知函数f(x)＝logax在[2，＋∞)上恒有|f(x)|>1，则(　　)A．0<a<或1<a<2B．0<a<或a>2C.<a<1或1<a<2D.<a<1或a>2[答案]　C[解析]　①若a>1，则f(x)＝logax在[2，＋∞)上是增函数，且当x≥2时，f(x)>0.由|f(x)|>1得f(x)>1，即logax>1.∵当x∈[2，＋∞)时，logax>1恒成立，∴loga2>1，∴loga2>logaa，∴1<a<2.②若0<a<1，则f(x)＝logax在[2，＋∞)上是减函数．同理可得<a<1.[点评]　用数形结合法解更简便些．11