五年高考2022届高考数学复习第二章第五节对数与对数函数文全国通用

考点一　对数及其运算1．(2022·四川，7)已知b＞0，log5b＝a，lgb＝c，5d＝10，则下列等式一定成立的是(　　)A．d＝acB．a＝cdC．c＝adD．d＝a＋c解析　由已知得5a＝b，10c＝b，∴5a＝10c，∵5d＝10，∴5dc＝10c，则5dc＝5a，∴dc＝a，故选B.答案　B2．(2022·陕西，3)设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是(　　)A．logab·logcb＝logcaB．logab·logca＝logcbC．loga(bc)＝logab·logacD．loga(b＋c)＝logab＋logac解析　由对数的换底公式可知A错误，B正确；因为loga(bc)＝logab＋logac，所以C、D均错误．答案　B3．(2022·新课标全国Ⅱ，8)设a＝log32，b＝log52，c＝log23，则(　　)A．a＞c＞bB．b＞c＞aC．c＞b＞aD．c＞a＞b解析　a＝log32＜log33＝1，c＝log23＞log22＝1，而b＝log52＜log32＝a，∴b＜a＜c.答案　D4．(2022·安徽，3)(log29)·(log34)＝(　　)A.B.C．2D．4解析　(log29)(log34)＝4·＝4，故选D.答案　D5．(2022·重庆，7)已知a＝log23＋log2，b＝log29－log2，c＝log32，则a，b，c的大小关系是(　　)A．a＝b＜cB．a＝b＞c6\nC．a＜b＜cD．a＞b＞c解析　a＝log23，b＝log23，c＝log32＜1，所以a＝b.又因为函数y＝logax(a＞1)为增函数，所以a＝b＞c，故选B.答案　B6．(2022·安徽，5)若点(a，b)在y＝lgx图象上，a≠1，则下列点也在此图象上的是(　　)A.B．(10a，1－b)C.D．(a2，2b)解析　因为b＝lga.所以2b＝2lga＝lga2.所以(a2，2b)也在函数y＝lgx的图象上．故选D.答案　D7．(2022·四川，12)lg0.01＋log216＝________解析　lg0.01＋log216＝lg＋log224＝－2＋4＝2.答案　2.8．(2022·安徽，11)lg＋2lg2－＝________．解析　lg＋2lg2－＝lg＋lg22－2＝lg－2＝1－2＝－1.答案　－19．(2022·浙江，9)计算：log2＝__________，2log23＋log43＝__________．解析　log2＝log22－＝－，2log23＋log43＝2log23＋log23＝2log23＝3.答案　－　310．(2022·四川，11)lg＋lg的值是________．解析　lg＋lg＝lg＝lg10＝1.答案　111．(2022·北京，12)已知函数f(x)＝lgx．若f(ab)＝1，则f(a2)＋f(b2)＝________．6\n解析　∵f(x)＝lgx，f(ab)＝1，∴lg(ab)＝1，∴f(a2)＋f(b2)＝lga2＋lgb2＝2lga＋2lgb＝2lg(ab)＝2.答案　212．(2022·陕西，12)已知4a＝2，lgx＝a，则x＝________．解析　由已知4a＝2⇒a＝log42＝，又lgx＝a⇒x＝10a＝10＝.答案　考点二　对数函数的图象和性质1．(2022·四川，4)设a，b为正实数，则“a＞b＞1”是“log2a＞log2b＞0”的(　　)A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件解析　若a＞b＞1，那么log2a＞log2b＞0；若log2a＞log2b＞0，那么a＞b＞1，故选A.答案　A2．(2022·湖南，8)设函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，则f(x)是(　　)A．奇函数，且在(0，1)上是增函数B．奇函数，且在(0，1)上是减函数C．偶函数，且在(0，1)上是增函数D．偶函数，且在(0，1)上是减函数解析　易知函数定义域为(－1，1)，又f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－f(x)，故函数f(x)为奇函数，又f(x)＝ln，由复合函数单调性判断方法知，f(x)在(0，1)上是增函数．故选A.答案　A3．(2022·福建，8)若函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的图象如下图所示，则下列函数图象正确的是(　　)6\n解析　因为函数y＝logax过点(3，1)，所以1＝loga3，解得a＝3.y＝3－x不可能过点(1，3)，排除A；y＝(－x)3＝－x3不可能过点(1，1)，排除C;y＝log3(－x)不可能过点(－3，－1),排除D，故选B.答案　B4．(2022·山东，6)已知函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a＞0，a≠1)的图象如图，则下列结论成立的是(　　)A．a＞1，c＞1B．a＞1，0＜c＜1C．0＜a＜1，c＞1D．0＜a＜1，0＜c＜1解析　由对数函数的性质得0＜a＜1，因为函数y＝loga(x＋c)的图象在c＞0时是由函数y＝logax的图象向左平移c个单位得到的，所以根据题中图象可知0＜c＜1.答案　D5．(2022·天津，4)设a＝log2π，b＝logπ，c＝π－2，则(　　)A．a＞b＞cB．b＞a＞cC．a＞c＞bD．c＞b＞a解析　利用中间量比较大小．因为a＝log2π∈(1，2)，b＝logπ＜0，c＝π－2∈(0，1)，所以a＞c＞b.答案　C6．(2022·辽宁，3)已知a＝2－，b＝log2，c＝log，则(　　)A．a＞b＞cB．a＞c＞bC．c＞b＞aD．c＞a＞b解析　a＝2－＜20＝1，所以0＜a＜1，b＝log2＜log21＝0，c＝log＞log＝1，故c＞a＞b，选D.答案　D6\n7．(2022·福建，5)函数f(x)＝ln(x2＋1)的图象大致是(　　)解析　由于函数f(x)＝ln(x2＋1)的定义域为R，则可排除选项B；又该函数是偶函数，则可排除选项C；而当x＝0时，f(0)＝ln(02＋1)＝0，则满足条件的只能是选项A中的图象．答案　A8．(2022·湖南，6)函数f(x)＝lnx的图象与函数g(x)＝x2－4x＋4的图象的交点个数为(　　)A．0B．1C．2D．3解析　函数f(x)＝lnx，g(x)＝x2－4x＋4＝(x－2)2的图象如图所示．由图象知f(x)与g(x)的图象有2个交点，故选C.能正确作图是解析本题的关键．答案　C9．(2022·山东，16)已知函数f(x)＝logax＋x－b(a＞0，且a≠1)，当2＜a＜3＜b＜4时，函数f(x)的零点x0∈(n，n＋1)，n∈N*，则n＝________．解析　∵a＞2，∴f(x)＝logax＋x－b在(0，＋∞)上为增函数，且f(2)＝loga2＋2－b，f(3)＝loga3＋3－b，∵2＜a＜3＜b＜4，∴0＜loga2＜1，－2＜2－b＜－1.∴－2＜loga2＋2－b＜0.又1＜loga3＜2，－1＜3－b＜0，∴0＜loga3＋3－b＜2，即f(2)＜0，f(3)＞0.又∵f(x)在(0，＋∞)上是单调函数，∴f(x)在(2，3)必存在唯一零点．6\n答案　210．(2022·上海，20)已知f(x)＝lg(x＋1)．(1)若0＜f(1－2x)－f(x)＜1，求x的取值范围；(2)若g(x)是以2为周期的偶函数，且当0≤x≤1时，有g(x)＝f(x)，求函数y＝g(x)(x∈[1，2])的反函数．解　(1)由得－1＜x＜1.由0＜lg(2－2x)－lg(x＋1)＝lg＜1得1＜＜10.因为x＋1＞0，所以x＋1＜2－2x＜10x＋10，－＜x＜.由得－＜x＜.(2)当x∈[1，2]时，2－x∈[0，1]，因此y＝g(x)＝g(x－2)＝g(2－x)＝f(2－x)＝lg(3－x)．由单调性可得y∈[0，lg2]．因为x＝3－10y，所以所求反函数是y＝3－10x，x∈[0，lg2].6