2022高考数学（文）一轮复习训练：第二章第8讲对数函数（含解析）

[A级　基础练]1．函数y＝的定义域是(　　)A．[1，2]　　B．[1，2)C．D．解析：选C．由即解得x≥.故选C．2．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)＝(　　)A．log2xB．C．logxD．2x－2解析：选A．由题意知f(x)＝logax(a>0且a≠1)，因为f(2)＝1，所以loga2＝1，所以a＝2.所以f(x)＝log2x.故选A．3．函数y＝ln的图象为(　　)解析：选A．易知2x－3≠0，即x≠，排除C，D．当x>时，函数为减函数；当x<时，函数为增函数，所以选A．4．设函数f(x)＝loga|x|在(－∞，0)上单调递增，则f(a＋1)与f(2)的大小关系是(　　)A．f(a＋1)>f(2)B．f(a＋1)<f(2) C．f(a＋1)＝f(2)D．不能确定解析：选A．由已知得0<a<1，所以1<a＋1<2，又易知函数f(x)为偶函数，故可以判断f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以f(a＋1)>f(2)．5．函数f(x)＝loga|x＋1|(a>0且a≠1)，当x∈(－1，0)时，恒有f(x)>0，则(　　)A．f(x)在(－∞，0)上是减函数B．f(x)在(－∞，－1)上是减函数C．f(x)在(0，＋∞)上是增函数D．f(x)在(－∞，－1)上是增函数解析：选D．由题意，函数f(x)＝loga|x＋1|(a>0且a≠1)，则说明函数f(x)关于直线x＝－1对称，当x∈(－1，0)时，恒有f(x)>0，即|x＋1|∈(0，1)，f(x)>0，则0<a<1.又u＝|x＋1|在(－∞，－1)上是减函数，在(－1，＋∞)上是增函数，结合复合函数的单调性可知，f(x)在(－∞，－1)上是增函数，选D．6．已知函数y＝loga(x－1)(a>0，a≠1)的图象过定点A，若点A也在函数f(x)＝2x＋b的图象上，则f(log23)＝________．解析：由题意得A(2，0)，因此f(2)＝4＋b＝0，b＝－4，从而f(log23)＝3－4＝－1.答案：－17．若函数f(x)＝logax(0<a<1)在区间[a，2a]上的最大值是最小值的3倍，则a的值为____________．解析：因为0<a<1，所以函数f(x)是定义域上的减函数，所以f(x)max＝logaa＝1，f(x)min＝loga2a，所以1＝3loga2a⇒a＝(2a)3⇒8a2＝1⇒a＝.答案：8．已知函数f(x)＝loga(ax－3)(a＞0，且a≠1)在[1，3]上单调递增，则a的取值范围是________．解析：由于a>0，且a≠1， 所以u＝ax－3为增函数，所以若函数f(x)为增函数，则f(x)＝logau必为增函数，所以a>1.又u＝ax－3在[1，3]上恒为正，所以a－3>0，即a>3.答案：(3，＋∞)9．已知函数f(x－3)＝loga(a>0，a≠1)．(1)求f(x)的解析式；(2)判断f(x)的奇偶性，并说明理由．解：(1)令x－3＝u，则x＝u＋3，于是f(u)＝loga(a>0，a≠1，－3<u<3)，所以f(x)＝loga(a>0，a≠1，－3<x<3)．(2)因为f(－x)＋f(x)＝loga＋loga＝loga1＝0，所以f(－x)＝－f(x)，又定义域(－3，3)关于原点对称．所以f(x)是奇函数．10．设f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a>0且a≠1)，且f(1)＝2.(1)求实数a的值及f(x)的定义域；(2)求f(x)在区间上的最大值．解：(1)因为f(1)＝2，所以loga4＝2(a>0，a≠1)，所以a＝2.由得－1<x<3，所以函数f(x)的定义域为(－1，3)．(2)f(x)＝log2(1＋x)＋log2(3－x)＝log2[(1＋x)(3－x)]＝log2[－(x－1)2＋4]，所以当x∈(－1，1]时，f(x)是增函数；当x∈(1，3)时，f(x)是减函数， 故函数f(x)在上的最大值是f(1)＝log24＝2.[B级　综合练]11．设a＝log0.20.3，b＝log20.3，则(　　)A．a＋b<ab<0B．ab<a＋b<0C．a＋b<0<abD．ab<0<a＋b解析：选B．因为a＝log0.20.3>log0.21＝0，b＝log20.3<log21＝0，所以ab<0.因为＝＋＝log0.30.2＋log0.32＝log0.30.4，所以1＝log0.30.3>log0.30.4>log0.31＝0，所以0<<1，所以ab<a＋b<0.12．若实数a，b，c满足loga2<logb2<logc2<0，则下列关系中正确的是(　　)A．a<b<cB．b<a<cC．c<b<aD．a<c<b解析：选C．根据不等式的性质和对数的换底公式可得<<<0，即log2c<log2b<log2a<0，可得c<b<a<1，故选C．13．已知函数f(x)＝log3(9x＋1)＋mx是偶函数，则不等式f(x)＋4x<log32的解集为(　　)A．(0，＋∞)B．(1，＋∞)C．(－∞，0)D．(－∞，1)解析：选C．由f(x)＝log3(9x＋1)＋mx是偶函数，得f(－x)＝f(x)，即log3(9－x＋1)＋m(－x)＝log3(9x＋1)＋mx，变形可得m＝－1，即f(x)＝log3(9x＋1)－x，设g(x)＝f(x)＋4x＝log3(9x＋1)＋3x，易得g(x)在R上为增函数，且g(0)＝log3(90＋1)＝log32，则f(x)＋4x<log32⇒g(x)<g(0)，则有x<0，即不等式的解集为(－∞，0)．故选C． 14．已知函数f(x)＝lg，其中x>0，a>0.(1)求函数f(x)的定义域；(2)若对任意x∈[2，＋∞)恒有f(x)>0，试确定a的取值范围．解：(1)由x＋－2>0，得>0.因为x>0，所以x2－2x＋a>0.当a>1时，定义域为(0，＋∞)；当a＝1时，定义域为(0，1)∪(1，＋∞)；当0<a<1时，定义域为(0，1－)∪(1＋，＋∞)．(2)对任意x∈[2，＋∞)恒有f(x)>0，即x＋－2>1对x∈[2，＋∞)恒成立，即a>－x2＋3x对x∈[2，＋∞)恒成立，记h(x)＝－x2＋3x，x∈[2，＋∞)，则只需a>h(x)max.而h(x)＝－x2＋3x＝－＋在[2，＋∞)上是减函数，所以h(x)max＝h(2)＝2，故a>2.[C级　提升练]15．设实数a，b是关于x的方程|lgx|＝c的两个不同实数根，且a<b<10，则abc的取值范围是________．解析：由题意知，在(0，10)上，函数y＝|lgx|的图象和直线y＝c有两个不同交点，所以|lga|＝|lgb|，又因为y＝lgx在(0，＋∞)上单调递增，且a<b<10，所以lga＝－lgb，所以lga＋lgb＝0，所以ab＝1，0<c<lg10＝1，所以abc的取值范围是(0，1)． 答案：(0，1)16．已知函数f(x)＝loga(8－ax)(a>0，且a≠1)，若f(x)>1在区间[1，2]上恒成立，则实数a的取值范围是________．解析：当a>1时，f(x)＝loga(8－ax)在[1，2]上是减函数，由f(x)>1在区间[1，2]上恒成立，则f(x)min＝f(2)＝loga(8－2a)>1，且8－2a>0，解得1<a<.当0<a<1时，f(x)在[1，2]是增函数，由f(x)>1在区间[1，2]上恒成立，知f(x)min＝f(1)＝loga(8－a)>1，且8－2a>0.所以a>4，且a<4，故不存在．综上可知，实数a的取值范围是.答案：