2022人教版高考数学（浙江版）一轮复习训练：第二章第6讲对数与对数函数（含解析）

[A级　基础练]1．已知loga＝m，loga3＝n，则am＋2n＝(　　)A．3B．C．9D．解析：选D．因为loga＝m，loga3＝n，所以am＝，an＝3.所以am＋2n＝am·a2n＝am·(an)2＝×32＝.2．函数y＝的定义域是(　　)A．[1，2]B．[1，2)C．D．解析：选C．由即解得x≥.故选C．3．设a＝4－，b＝log，c＝log32，则a，b，c的大小关系是(　　)A．a<b<cB．a<c<bC．c<a<bD．c<b<a解析：选B．a＝4－＝＝，b＝log＝log23>log22＝1，c＝log32>log3＝，且c＝log32<log33＝1，即<c<1，所以a<c<b，故选B． 4．设函数f(x)＝log(x2＋1)＋，则不等式f(log2x)＋f(logx)≥2的解集为(　　)A．(0，2]B．C．[2，＋∞)D．∪[2，＋∞)解析：选B．因为f(x)的定义域为R，f(－x)＝log(x2＋1)＋＝f(x)，所以f(x)为R上的偶函数．易知其在区间[0，＋∞)上单调递减，令t＝log2x，所以logx＝－t，则不等式f(log2x)＋f(logx)≥2可化为f(t)＋f(－t)≥2，即2f(t)≥2，所以f(t)≥1，又因为f(1)＝log2＋＝1，f(x)在[0，＋∞)上单调递减，在R上为偶函数，所以－1≤t≤1，即log2x∈[－1，1]，所以x∈，故选B．5．已知函数f(x)＝则(　　)A．若f(a)＝1，则a＝0B．f＝2020C．若f[f(a)]＝2－f(a)，则0≤a≤3D．若方程f(x)＝k有两个不同的实数根，则k≥1解析：选C．由f(a)＝1，得或 解得a＝3或a＝0，故选项A不正确；f＝f＝＝2＝2019，选项B不正确；f[f(a)]＝2－f(a)＝，所以f(a)≤1，得或，解得0≤a≤3，选项C正确；作出函数f(x)的图象(如图)，结合函数图象可知，当方程f(x)＝k有两个不同的实数根时，k≥，选项D不正确．6.÷100＝________．解析：原式＝(lg2－2－lg52)×100＝lg×10＝lg10－2×10＝－2×10＝－20.答案：－207．已知函数y＝loga(x＋3)－(a＞0，a≠1)的图象恒过定点A，则点A的坐标为________；若点A也在函数f(x)＝3x＋b的图象上，则f(log32)＝________．解析：令x＋3＝1可得x＝－2，此时y＝loga1－＝－，可知定点A的坐标为.点A也在函数f(x)＝3x＋b的图象上，故－＝3－2＋b，解得b＝－1.所以f(x)＝3x－1，则f(log32)＝3log32－1＝2－1＝1.答案：　18．已知函数f(x)＝若f(e)＝－3f(0)，则b＝________， 函数f(x)的值域为________．解析：由f(e)＝－3f(0)得1＋b＝－3×(－1)，即b＝2，即函数f(x)＝当x>1时，y＝lnx＋2>2；当x≤1时，y＝ex－2∈(－2，e－2]．故函数f(x)的值域为(－2，e－2]∪(2，＋∞)．答案：2　(－2，e－2]∪(2，＋∞)9．设f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a>0且a≠1)，且f(1)＝2.(1)求实数a的值及f(x)的定义域；(2)求f(x)在区间上的最大值．解：(1)因为f(1)＝2，所以loga4＝2(a>0，a≠1)，所以a＝2.由得－1<x<3，所以函数f(x)的定义域为(－1，3)．(2)f(x)＝log2(1＋x)＋log2(3－x)＝log2[(1＋x)(3－x)]＝log2[－(x－1)2＋4]，所以当x∈(－1，1]时，f(x)是增函数；当x∈(1，3)时，f(x)是减函数，故函数f(x)在上的最大值是f(1)＝log24＝2.[B级　综合练]10．若函数y＝loga(x2－ax＋1)有最小值，则a的取值范围是　(　　)A．0<a<1B．0<a<2，a≠1C．1<a<2D．a≥2解析：选C．当a>1时，y有最小值，则说明x2－ax＋1有最小值，故x2－ax＋1＝0中Δ<0，即a2－4<0，所以2>a>1.当0<a<1时，y有最小值，则说明x2－ax＋1有最大值，与二次函数性质相互矛盾，舍去．综上可知，故选C．11．已知函数f(x)＝若f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)，且x1<x2<x3<x4，则有下列结论： ①x1x2＝1；②x3＋x4＝1；③0<x1x2x3x4<1；④x1＋x2＋x3＋x4<0.其中正确的个数是(　　)A．1B．2C．3D．4解析：选C．作出函数f(x)的大致图象如图所示，由图可知x3＋x4＝2，x1x2＝1，所以x1x2x3x4＝x3x4＝x3(2－x3)∈(0，1)，x1＋x2＋x3＋x4＝x1＋x2＋2<－2＋2＝0，故①③④正确，②不正确，故选C．12．设函数f(x)＝|logax|(0<a<1)的定义域为[m，n](m<n)，值域为[0，1]，若n－m的最小值为，则实数a的值为________．解析：作出y＝|logax|(0＜a＜1)的大致图象如图所示，令|logax|＝1.得x＝a或x＝，又1－a－＝1－a－＝＜0，故1－a＜－1，所以n－m的最小值为1－a＝，a＝.答案：13．已知函数f(x)＝log2.(1)若函数f(x)是R上的奇函数，求a的值；(2)若函数f(x)的定义域是一切实数，求a的取值范围； (3)若函数f(x)在区间[0，1]上的最大值与最小值的差不小于2，求实数a的取值范围．解：(1)因为函数f(x)是R上的奇函数，所以f(0)＝0，求得a＝0.当a＝0时，f(x)＝－x是R上的奇函数．所以a＝0为所求．(2)因为函数f(x)的定义域是一切实数，所以＋a>0恒成立．即a>－恒成立，由于－∈(－∞，0)，故只要a≥0即可．(3)由已知得函数f(x)是减函数．故f(x)在区间[0，1]上的最大值是f(0)＝log2(1＋a)，最小值是f(1)＝log2.由题设得log2(1＋a)－log2≥2⇒故－<a≤－.14．已知函数f(x)＝lg.(1)计算：f(2020)＋f(－2020)；(2)对于x∈[2，6]，f(x)<lg恒成立，求实数m的取值范围．解：(1)由>0，得x>1或x<－1.所以函数f(x)的定义域为{x|x>1或x<－1}．又f(x)＋f(－x)＝lg＝0，所以f(x)为奇函数．所以f(2020)＋f(－2020)＝0. (2)当x∈[2，6]时，f(x)<lg恒成立可化为<恒成立，即m>(x－1)(7－x)在[2，6]上恒成立．又当x∈[2，6]时，(x－1)(7－x)＝－x2＋8x－7＝－(x－4)2＋9.所以当x＝4时，[(x－1)(7－x)]max＝9，所以m>9.即实数m的取值范围是(9，＋∞)．[C级　提升练]15．形如y＝的函数因其图象类似于汉字中的“囧”字，故我们把其生动地称为“囧函数”．若函数f(x)＝loga(x2＋x＋1)(a>0，a≠1)有最小值，则“囧函数”与函数y＝loga|x|的图象的交点个数为(　　)A．1B．2C．4D．6解析：选C．令u(x)＝x2＋x＋1，则函数f(x)＝logau(x)(a>0，a≠1)有最小值．因为u(x)＝＋≥，所以当函数f(x)是增函数时，f(x)在上有最小值；当函数f(x)是减函数时，f(x)在上无最小值．所以a>1，此时“囧函数”y＝与函数y＝loga|x|在同一平面直角坐标系内的图象如图，由图象可知，它们的图象的交点个数为4.故选C．16．已知函数f(x)＝loga(8－ax)(a>0，且a≠1)，若f(x)>1在区间[1，2]上恒成立，则实数a的取值范围是________．解析：当a>1时，f(x)＝loga(8－ax)在[1，2]上是减函数，由f(x)>1在区间[1，2]上恒成立， 则f(x)min＝f(2)＝loga(8－2a)>1，且8－2a>0，解得1<a<.当0<a<1时，f(x)在[1，2]是增函数，由f(x)>1在区间[1，2]上恒成立，知f(x)min＝f(1)＝loga(8－a)>1，且8－2a>0.所以a>4，且a<4，故不存在．综上可知，实数a的取值范围是.答案：