2024年高考数学一轮复习（新高考版） 第2章　§2.8　对数与对数函数

§2.8　对数与对数函数考试要求　1.理解对数的概念及运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数.2.通过实例，了解对数函数的概念，会画对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点.3.了解指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数．知识梳理1．对数的概念一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．以10为底的对数叫做常用对数，记作lgN.以e为底的对数叫做自然对数，记作lnN.14 2．对数的性质与运算性质(1)对数的性质：loga1＝0，logaa＝1，＝N(a>0，且a≠1，N>0)．(2)对数的运算性质如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：①loga(MN)＝logaM＋logaN；②loga＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM(n∈R)．(3)对数换底公式：logab＝(a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1)．3．对数函数的图象与性质a>10<a<1图象定义域(0，＋∞)值域R性质过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0当x>1时，y>0；当0<x<1时，y<0当x>1时，y<0；当0<x<1时，y>0在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数4.反函数指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．常用结论1．logab·logba＝1，＝logab.2．如图给出4个对数函数的图象则b>a>1>d>c>0，即在第一象限，不同的对数函数图象从左到右底数逐渐增大．14 3．对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象恒过点(1,0)，(a,1)，.思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若M＝N，则logaM＝logaN.(　×　)(2)函数y＝loga2x(a>0，且a≠1)是对数函数．(　×　)(3)对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数．(　×　)(4)函数y＝log2x与y＝的图象重合．(　√　)教材改编题1．若函数f(x)＝log2(x＋1)的定义域是[0,1]，则函数f(x)的值域为(　　)A．[0,1]B．(0,1)C．(－∞，1]D．[1，＋∞)答案　A解析　根据复合函数单调性同增异减可知f(x)在[0,1]上单调递增，因为0≤x≤1，所以1≤x＋1≤2，则log21≤log2(x＋1)≤log22，即f(x)∈[0,1]．2．函数y＝loga(x－2)＋2(a>0，且a≠1)的图象恒过点________．答案　(3,2)解析　∵loga1＝0，令x－2＝1，∴x＝3，y＝2，∴函数的图象过定点(3,2)．3．eln2＋＝________.答案　4解析　eln2＋＝2＋log416＝2＋2＝4.题型一　对数式的运算例1　(1)若2a＝5b＝10，则＋的值是(　　)A．－1B.C.D．1答案　D解析　由2a＝5b＝10，∴a＝log210，b＝log510，14 ∴＝lg2，＝lg5，∴＋＝lg2＋lg5＝lg10＝1.(2)计算：log535＋－log5－log514＝________.答案　2解析　原式＝log535－log5－log514＋＝log5＋＝log5125－1＝log553－1＝3－1＝2.思维升华　解决对数运算问题的常用方法(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简．(2)将同底对数的和、差、倍合并．(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．跟踪训练1　(1)(2022·保定模拟)已知2a＝3，b＝log85，则4a－3b＝________.答案　解析　因为2a＝3，所以a＝log23，又b＝log85，所以b＝log25，所以a－3b＝log2，4a－3b＝＝.(2)(lg5)2＋lg2lg5＋lg4－log34×log23＝________.答案　－1解析　原式＝lg5(lg5＋lg2)＋－×＝lg5＋lg2－2＝1－2＝－1.题型二　对数函数的图象及应用例2　(1)已知函数f(x)＝loga(2x＋b－1)(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是(　　)14 A．0<a－1<b<1B．0<b<a－1<1C．0<b－1<a<1D．0<a－1<b－1<1答案　A解析　由函数图象可知，f(x)为增函数，故a>1.函数图象与y轴的交点坐标为(0，logab)，由函数图象可知－1<logab<0，解得<b<1.综上，0<a－1<b<1.(2)(2023·佛山模拟)已知函数f(x)＝|lnx|，若0<a<b，且f(a)＝f(b)，则a＋2b的取值范围是________．答案　(3，＋∞)解析　f(x)＝|lnx|的图象如图，因为f(a)＝f(b)，所以|lna|＝|lnb|，因为0<a<b，所以lna<0，lnb>0，所以0<a<1，b>1，所以－lna＝lnb，所以lna＋lnb＝ln(ab)＝0，所以ab＝1，则b＝，所以a＋2b＝a＋，令g(x)＝x＋(0<x<1)，则g(x)在(0,1)上单调递减，14 所以g(x)>g(1)＝1＋2＝3，所以a＋2b>3，所以a＋2b的取值范围为(3，＋∞)．思维升华　对数函数图象的识别及应用方法(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．跟踪训练2　(1)已知lga＋lgb＝0(a>0且a≠1，b>0且b≠1)，则函数f(x)＝ax与g(x)＝的图象可能是(　　)答案　B解析　∵lga＋lgb＝0(a>0且a≠1，b>0且b≠1)，∴ab＝1，∴a＝，∴g(x)＝＝logax，函数f(x)＝ax与函数g(x)＝互为反函数，∴函数f(x)＝ax与g(x)＝的图象关于直线y＝x对称，且具有相同的单调性．(2)(2023·濮阳模拟)已知a>0且a≠1，函数y＝ax的图象如图所示，则函数f(x)＝loga(－x＋1)的部分图象大致为(　　)14 答案　D解析　由函数y＝ax的图象可得a>1.当a>1时，y＝logax经过定点(1,0)，为增函数．因为y＝logax与y＝loga(－x)关于y轴对称，所以y＝loga(－x)经过定点(－1,0)，为减函数．而f(x)＝loga(－x＋1)可以看作y＝loga(－x)的图象向右平移一个单位长度得到的，所以f(x)＝loga(－x＋1)的图象经过定点(0,0)，为减函数．结合选项可知选D.题型三　对数函数的性质及应用命题点1　比较对数式的大小例3　(2023·武汉质检)已知a＝log30.5，b＝log3π，c＝log43，则a，b，c的大小关系是(　　)A．a<b<cB．b<a<cC．a<c<bD．c<a<b答案　C解析　a＝log30.5<log31＝0，即a<0；b＝log3π>log33＝1，即b>1；0＝log41<log43<log44＝1，即0<c<1，∴a<c<b.命题点2　解对数方程、不等式例4　若loga(a＋1)<loga(2)<0(a>0，且a≠1)，则实数a的取值范围是________．答案　解析　由题意loga(a＋1)<loga(2)<loga1，得或解得<a<1.命题点3　对数函数的性质及应用例5　(2023·郑州模拟)设函数f(x)＝ln|x＋3|＋ln|x－3|，则f(x)(　　)A．是偶函数，且在(－∞，－3)上单调递减B．是奇函数，且在(－3,3)上单调递减C．是奇函数，且在(3，＋∞)上单调递增D．是偶函数，且在(－3,3)上单调递增答案　A14 解析　函数f(x)的定义域为{x|x≠±3}，f(x)＝ln|x＋3|＋ln|x－3|＝ln|x2－9|，令g(x)＝|x2－9|，则f(x)＝lng(x)，函数g(x)的单调区间由图象(图略)可知，当x∈(－∞，－3)，x∈(0,3)时，g(x)单调递减，当x∈(－3,0)，x∈(3，＋∞)时，g(x)单调递增，由复合函数单调性同增异减得单调区间．由f(－x)＝ln|(－x)2－9|＝ln|x2－9|＝f(x)得f(x)为偶函数．思维升华　求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三个问题：一是定义域；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成．跟踪训练3　(1)(2023·开封模拟)已知函数f(x)＝loga(6－ax)(a>0，且a≠1)在(0,2)上单调递减，则实数a的取值范围是(　　)A．(1,3]B．(1,3)C．(0,1)D．(1，＋∞)答案　A解析　令t(x)＝6－ax，因为a>0，所以t(x)＝6－ax为减函数．又由函数f(x)＝loga(6－ax)在(0,2)上单调递减，可得函数t(x)＝6－ax>0在(0,2)上恒成立，且a>1，故有解得1<a≤3.(2)(2022·惠州模拟)若函数f(x)＝loga(a>0，且a≠1)有最小值，则实数a的取值范围是________．答案　(1，)解析　令u(x)＝x2－ax＋＝2＋－，则u(x)有最小值－，欲使函数f(x)＝loga有最小值，则有解得1<a<，即实数a的取值范围为(1，)．14 课时精练1．函数f(x)＝的定义域为(　　)A.B.C.D．[1，＋∞)答案　A解析　由题意，要使函数f(x)＝有意义，则满足log0.5(2x－1)≥0，所以0<2x－1≤1，解得<x≤1，即函数f(x)的定义域为.2．若函数f(x)＝logax(a>0，且a≠1)的反函数的图象过点(1,3)，则f(log28)等于(　　)A．－1B．1C．2D．3答案　B解析　依题意，函数f(x)＝logax(a>0，且a≠1)的反函数，即函数y＝ax的图象过点(1,3)，则a＝3，f(x)＝log3x，于是得f(log28)＝log3(log28)＝log33＝1，所以f(log28)＝1.3．函数f(x)＝log2(|x|－1)的图象为(　　)答案　A解析　函数f(x)＝log2(|x|－1)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，排除B，C；由f(－x)＝log2(|－x|－1)＝log2(|x|－1)＝f(x)，可知函数f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称，排除D.4．按照“碳达峰”“碳中和”的实现路径，2030年为碳达峰时期，2060年实现碳中和，到2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过70%，14 新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口．Peukert于1898年提出蓄电池的容量C(单位：Ah)，放电时间t(单位：h)与放电电流I(单位：A)之间关系的经验公式：C＝In·t，其中n为Peukert常数，为了测算某蓄电池的Peukert常数n，在电池容量不变的条件下，当放电电流I＝20A时，放电时间t＝20h；当放电电流I＝30A时，放电时间t＝10h．则该蓄电池的Peukert常数n大约为(　　)(参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48)A.B.C.D．2答案　B解析　根据题意可得C＝20n·20，C＝30n·10，两式相比得＝1，即n＝，所以n＝＝＝≈＝.5．已知函数f(x)＝log2(x＋1)－|x|，则不等式f(x)>0的解集是(　　)A．(－1,1)B．(0,1)C．(－1,0)D．∅答案　B解析　不等式f(x)>0⇔log2(x＋1)>|x|，分别画出函数y＝log2(x＋1)和y＝|x|的图象，由图象可知y＝log2(x＋1)和y＝|x|的图象有两个交点，分别是(0,0)和(1,1)，由图象可知log2(x＋1)>|x|的解集是(0,1)，即不等式f(x)>0的解集是(0,1)．6．(多选)已知函数f(x)＝|loga(x＋1)|(a>1)，下列说法正确的是(　　)A．函数f(x)的图象恒过定点(0,0)B．函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递减C．函数f(x)在区间上的最小值为0D．若对任意x∈[1,2]，f(x)≥1恒成立，则实数a的取值范围是(1,2]答案　ACD解析　将(0,0)代入函数f(x)＝|loga(x＋1)|(a>1)，成立，故A正确；当x∈(0，＋∞)时，x＋1∈(1，＋∞)，又a>1，所以f(x)＝|loga(x＋1)|＝loga(x＋1)14 ，由复合函数单调性可知，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝|loga(x＋1)|＝loga(x＋1)单调递增，故B错误；当x∈时，x＋1∈，所以f(x)＝|loga(x＋1)|≥loga1＝0，故C正确；当x∈[1,2]时，f(x)＝|loga(x＋1)|＝loga(x＋1)≥1恒成立，所以由函数为增函数知loga2≥1，解得1<a≤2，故D正确．7．(2023·淮北模拟)计算：－2＋＝______.答案　10解析　－2＋＝4＋2＋4＝10.8．函数f(x)＝的最小值为________．答案　－解析　依题意得f(x)＝log2x·(2＋2log2x)＝(log2x)2＋log2x＝2－≥－，当且仅当log2x＝－，即x＝时等号成立，所以函数f(x)的最小值为－.9．已知f(x)＝(1)若a＝2，求f(x)的值域；(2)若f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围．解　(1)当a＝2时，f(x)＝，令t＝x2－2x＋10＝(x－1)2＋9，∴t≥9，f(x)≤＝－2，∴f(x)的值域为(－∞，－2]．(2)令u(x)＝x2－ax＋5a，∵y＝(x)为减函数，∴u(x)＝x2－ax＋5a在(1，＋∞)上单调递增，∴解得－<a≤2，∴a的取值范围是.10．(2023·南昌模拟)已知函数f(x)＝log3(9x＋1)＋kx是偶函数．14 (1)求k；(2)解不等式f(x)≥log3(7·3x－1)．解　(1)∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)，即log3(9－x＋1)－kx＝log3(9x＋1)＋kx对任意x∈R恒成立，∴2kx＝log3(9－x＋1)－log3(9x＋1)＝log3＝log33－2x＝－2x，∴k＝－1.(2)由(1)得f(x)＝log3(9x＋1)－x＝log3(9x＋1)－log33x＝log3＝log3(3x＋3－x)，则不等式f(x)≥log3(7·3x－1)等价于3x＋3－x≥7·3x－1>0，由7·3x－1>0，解得x>－log37；由3x＋3－x≥7·3x－1，得6·(3x)2－3x－1≤0，得0<3x≤，即x≤－log32，综上，不等式的解集为(－log37，－log32]．11．若非零实数a，b，c满足2a＝3b＝6c＝k，则(　　)A.＋＝B.＋＝C.＋＝D.＋＝答案　A解析　由已知，得2a＝3b＝6c＝k，得a＝log2k，b＝log3k，c＝log6k，所以＝logk2，＝logk3，＝logk6，而2×3＝6，所以＋＝.12．(多选)关于函数f(x)＝log2x＋log2(4－x)，下列说法正确的是(　　)A．f(x)的最大值为1B．f(x)在区间(0,2)上为增函数C．f(x)的图象关于直线x＝2对称14 D．f(x)的图象关于点(2,0)对称答案　BC解析　函数f(x)＝log2x＋log2(4－x)＝log2(4x－x2)(0<x<4)，当x＝2时，4x－x2取到最大值4，故此时f(x)＝log2x＋log2(4－x)取到最大值log24＝2，A错误；f(x)＝log2(4x－x2)(0<x<4)可以看作是由函数y＝log2u，u＝－x2＋4x(0<x<4)复合而成，而y＝log2u是定义域上的增函数，u＝－x2＋4x(0<x<4)在(0,2)上单调递增，在(2,4)上单调递减，故f(x)在区间(0,2)上为增函数，在(2,4)上为减函数，故B正确；因为函数f(4－x)＝log2(4－x)＋log2x＝f(x)，故f(x)的图象关于直线x＝2对称，C正确；因为f(4－x)＝log2(4－x)＋log2x＝f(x)≠－f(x)，故f(x)的图象不关于点(2,0)对称，D错误．13．已知函数f(x)的定义域为R，图象恒过点(0,1)，对任意x1，x2∈R，x1≠x2，都有>1，则不等式f(ln(ex－1))<1＋ln(ex－1)的解集为(　　)A．(ln2，＋∞)B．(－∞，ln2)C．(ln2,1)D．(0，ln2)答案　D解析　因为>1，不妨设x1>x2，则f(x1)－x1>f(x2)－x2，令g(x)＝f(x)－x，则g(x)在R上单调递增，又f(0)＝1，则不等式f(ln(ex－1))<1＋ln(ex－1)，等价于f(ln(ex－1))－ln(ex－1)<1＝f(0)－0，即g(ln(ex－1))<g(0)，所以ln(ex－1)<0，则0<ex－1<1，解得0<x<ln2.14．(多选)已知函数f(x)＝若f(x)＝a有四个解x1，x2，x3，x4且满足x1<x2<x3<x4，则下列命题正确的是(　　)A．0<a<1B．x1＋2x2∈(3，＋∞)C．x1＋x2＋x3＋x4∈D．x4∈[4，＋∞)14 答案　AC解析　作函数f(x)＝的图象如图所示，f(x)＝a有四个解，即y＝a与y＝f(x)的图象有4个交点x1，x2，x3，x4且x1<x2<x3<x4，可得0<a<1，故选项A正确；由图象可得x1·x2＝1，则＝x2，∴x1＋2x2＝x1＋，∵<x1<1，且1<x2<2，对勾函数y＝x＋在区间上单调递减，故当<x1<1时，x1＋2x2＝x1＋∈，故B错误；x1＋x2＝＋x1，∵<x1<1，∴＋x1∈，∵x3＋x4＝8，∴x1＋x2＋x3＋x4∈，故选项C正确；令x2－8x＋13＝0，解得x＝4±，由图象可知x4∈(4＋，6)，故选项D错误．14