2024年新高考数学一轮复习：第13讲 对数与对数函数（解析版）

第13讲对数与对数函数1、对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象与性质底数a>10<a<1图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R图象过定点(1，0)，即恒有loga1＝0当x>1时，恒有y>0；当0<x<1时，恒有y<0当x>1时，恒有y<0；当0<x<1时，恒有y>0在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数注意当对数函数的底数a的大小不确定时，需分a>1和0<a<1两种情况进行讨论2、反函数指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．对数函数的图象与底数大小的比较3、如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数．故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．1、【2021年甲卷文科】青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足．已知某同 学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（       ）（）A．1.5B．1.2C．0.8D．0.6【答案】C【解析】由，当时，，则.故选：C.2、【2021年新高考2卷】已知，，，则下列判断正确的是（       ）A．B．C．D．【答案】C【解析】，即.故选：C.3、【2022年全国甲卷】已知9m=10,a=10m-11,b=8m-9，则（       ）A．a>0>bB．a>b>0C．b>a>0D．b>0>a【答案】A【解析】由9m=10可得m=log910=lg10lg9>1，而lg9lg11<lg9+lg1122=lg9922<1=lg102，所以lg10lg9>lg11lg10，即m>lg11，所以a=10m-11>10lg11-11=0．又lg8lg10<lg8+lg1022=lg8022<lg92，所以lg9lg8>lg10lg9，即log89>m，所以b=8m-9<8log89-9=0．综上，a>0>b．故选：A.4、【2021年乙卷理科】设，，．则（       ）A．B．C．D．【答案】B【解析】,所以;下面比较与的大小关系.记,则,， 由于所以当0<x<2时，,即,,所以在上单调递增，所以,即,即;令,则,,由于，在x>0时,,所以,即函数在[0,+∞)上单调递减，所以,即,即b<c;综上，,故选：B.5、【2020年新课标3卷理科】已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则（       ）A．a<b<cB．b<a<cC．b<c<aD．c<a<b【答案】A【解析】由题意可知、、，，；由，得，由，得，，可得；由，得，由，得，，可得.综上所述，.故选：A.6、【2020年新高考2卷（海南卷）】已知函数在上单调递增，则的取值范围是（       ）A．B．C．D．【答案】D【解析】由得或所以的定义域为 因为在上单调递增所以在上单调递增所以故选：D1、函数f(x)＝log2(－x2＋2)的值域为()A.　　　B.C.　　　　D.【答案】B【解析】　由题意可得－x2＋2>0，即－x2＋2∈(0，2]得所求函数值域为.故选B.2、当a>1时，在同一坐标系中，函数y＝a－x与y＝logax的图象为(　　)【答案】　C【解析】：　y＝a－x＝，∵a>1，∴0<<1，则y＝a－x在(－∞，＋∞)上是减函数，过定点(0，1)；对数函数y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，过定点(1，0).故选C.3、函数y＝loga(x－2)＋2(a>0且a≠1)的图象恒过定点．【答案】　(3,2)【解析】：∵loga1＝0，令x－2＝1，∴x＝3，∴y＝loga1＋2＝2，∴原函数的图象恒过定点(3,2)．4、已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则(　　)A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.b<c<a【答案】　B 【解析】：　由对数函数的单调性可得a＝log20.2<log21＝0，由指数函数的单调性可得b＝20.2>20＝1，0<c＝0.20.3<0.20＝1，所以a<c<b5、函数f(x)＝log2(2x＋1)的单调增区间为________．【答案】【解析】因为y＝log2x为单调增函数，y＝2x＋1也为单调增函数，所以f(x)的单调增区间即为函数的定义域．令2x＋1>0，解得x>－，故函数f(x)的单调增区间为(－，＋∞).考向一　对数函数的运算例1　化简下列各式：(1)÷；(2)log225×log34×log59；(3)lg－lg＋lg.【解析】(1)原式＝lg×10＝－2×10＝－20.(2)原式＝××＝××＝8.(3)原式＝lg－lg4＋lg7＝lg(××7)＝.变式1、（2022·湖北·襄阳五中模拟预测）区块链作为一种新型的技术，已经被应用于许多领域.在区块链技术中，某个密码的长度设定为512B，则密码一共有种可能，为了破解该密码，最坏的情况需要进行次运算.现在有一台计算机，每秒能进行次运算，那么在最坏的情况下，这台计算机破译该密码所需时间大约为（       ）（参考数据：，）A．B．C．D．【答案】D【解析】设在最坏的情况下，这台计算机破译该密码所需时间为秒，则有；两边取常用对数，得；； 所以.故选：D.方法总结：对数式的运算化简要注意变成同底的对数式来进行．考向二　对数函数的性质及其应用例1、（1）函数的定义域为（）A．B．C．D．（2）设函数f(x)＝若f(a)＞f(－a)，则实数a的取值范围是________．（3）若f(x)＝lg(x2－2ax＋1＋a)在区间(－∞，1]上递减，则a的取值范围为________．【答案】（1）D.（2）(－1，0)∪(1，＋∞)．（3）[1，2)【解析】（1）由题意，，解得且，即函数的定义域为.故选：D.（2）由题意可得或解得a＞1或－1＜a＜0．∴a的取值范围是(－1，0)∪(1，＋∞)．（3）．令函数g(x)＝x2－2ax＋1＋a＝(x－a)2＋1＋a－a2，对称轴x＝a，要使函数在上(－∞，1]递减，则有，即，解得1≤a＜2，即a∈[1，2)．变式1、（1）（2022·湖北·黄冈中学二模）已知函数，，则的值为（       ）A．1B．0C．D．【答案】B【解析】构造函数，则 ，故函数为奇函数.又，∴，∴.故选：B（2）（2022·湖南湖南·二模）已知函数是R上的奇函数，当时，，若，是自然对数的底数，则（       ）A．B．C．D．【答案】D【解析】解：依题意得，，由，即，得，所以当时，所以.故选：D变式2、（1）（2022·湖南·岳阳一中一模）设，，，则（       ）A．B．C．D．【答案】A【解析】,所以，，而，所以．故选：A．（2）（2022·湖南·长郡中学一模）已知，，，则下列关系正确的是（       ）A．B．C．D．【答案】D 【解析】，，所以；，所以；，所以.综上，.故选：D.方法总结：对数函数的性质有着十分广泛的应用，常见的有：比较大小，解不等式，求函数的单调区间和值域、最值等等．(1)对数值大小比较的主要方法：①化为同底数后利用函数的单调性；②化为同真数后利用图像比较；③借用中间量(0或1等)进行估值比较．(2)在利用指数函数的性质解决与指数函数相关的问题时，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时须分底数0<a<1和a>1两种情形进行分类讨论，防止错解．考向三对数函数的图像及其应用例2、已知函数f(x)＝且关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是________.【答案】　(1，＋∞)【解析】如图，在同一坐标系中分别作出y＝f(x)与y＝－x＋a的图象，其中a表示直线y＝－x＋a在y轴上的截距.由图可知，当a>1时，直线y＝－x＋a与y＝f(x)只有一个交点.变式1、　(1)已知函数f(x)＝loga(2x＋b－1)(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是(　　)A．0<a－1<b<1B．0<b<a－1<1C．0<b－1<a<1D．0<a－1<b－1<1【答案】　A【解析】　由函数图象可知，f(x)为增函数，故a>1.函数图象与y轴的交点坐标为(0，logab)，由函数图象可知－1<logab<0，解得<b<1.综上有0<<b<1.(2)若方程4x＝logax在上有解，则实数a的取值范围为．【答案】　 【解析】　若方程4x＝logax在上有解，则函数y＝4x和函数y＝logax在上有交点，由图象知解得0<a≤.变式2、（2022·湖北·蕲春县第一高级中学模拟预测）已知，，为正实数，满足，，，则，，的大小关系为（       ）A．B．C．D．【答案】D【分析】设，，，，在同一坐标系中作出函数的图象，可得答案.【详解】设，，，在同一坐标系中作出函数的图象，如图为函数的交点的横坐标为函数的交点的横坐标为函数的交点的横坐标根据图像可得：故选：D 方法总结：(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图像的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图像问题，利用数形结合法求解．考向三对数函数的综合及应用例3、已知函数．（1）当时，求该函数的值域；（2）求不等式的解集；【解析】（1）令，，则，则在上递减，在上递增，所以当时，取得最小值为，当时，取得最大值为，所以当时，求该函数的值域为.（2）不等式可化为，分解因式得，所以或，所以或.所以不等式的解集为或变式1、(多选)已知函数f (x)的图象与g(x)＝2x的图象关于直线y＝x对称，令h(x)＝f (1－|x|)，则关于函数h(x)有下列说法，其中正确的说法为(　　)A．h(x)的图象关于原点对称B．h(x)的图象关于y轴对称 C．h(x)的最大值为0D．h(x)在区间(－1,1)上单调递增【答案】BC【解析】函数f (x)的图象与g(x)＝2x的图象关于直线y＝x对称，∴f (x)＝log2x，h(x)＝log2(1－|x|)，为偶函数，不是奇函数，∴A错误，B正确；根据偶函数性质可知D错误；∵1－|x|≤1，∴h(x)≤log21＝0，故C正确．变式2、已知函数f(x)＝lg(k∈R).(1)当k＝0时，求函数f(x)的值域；(2)当k＞0时，求函数f(x)的定义域；(3)若函数f(x)在区间[10，＋∞)上是单调增函数，求实数k的取值范围．【解析】(1)当k＝0时，f(x)＝lg，则>0，解得x<1.因为y＝在(－∞，1)上的值域为(0，＋∞)，所以f(x)的值域为R.(2)当k>0时，f(x)＝lg，则>0，即(x－1)>0.①当＝1，即k＝1时，(x－1)2>0，解得x≠1，所以f(x)的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)；②当>1，即0<k<1时，则x<1或x>；③当<1，即k>1时，则x<或x>1.综上，当0<k<1时，f(x)的定义域为(－∞，1)∪；当k＝1时，f(x)的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)；当k>1时，f(x)的定义域为∪(1，＋∞).(3)设g(x)＝＝＋k.因为f(x)在区间[10，＋∞)上单调递增，且y＝lgx在区间[10，＋∞)上单调递增，所以g(x)在区间[10，＋∞)上单调递增，所以解得<k<1， 所以实数k的取值范围是.方法总结：高考对对数函数的考查多以对数与对数函数为载体，考查对数的运算和对数函数的图像和性质的应用，且常与二次函数、方程、不等式等内容交汇命题．解决此类问题的关键是根据已知条件，将问题转化为(或构造)对数函数或对数型函数，再利用图像或性质求解．1、（2022·湖北·黄冈中学二模）已知，，，则（       ）．A．B．C．D．【答案】C【解析】试题分析：因为所以选C2、设函数，则（）A．是偶函数，且在单调递增B．是奇函数，且在单调递减C．是偶函数，且在单调递增D．是奇函数，且在单调递减【答案】D【解析】由得定义域为，关于坐标原点对称，又，为定义域上的奇函数，可排除AC；当时，，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，排除B； 当时，，在上单调递减，在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知：在上单调递减，D正确．故选D3、（2022·山东·济南市历城第二中学模拟预测）在如今这个5G时代，6G研究已方兴未艾．2021年8月30日第九届未来信息通信技术国际研讨会在北京举办．会上传出消息，未来6G速率有望达到1Tbps，并启用毫米波、太赫兹、可见光等尖端科技，有望打造出空天地融合的立体网络，预计6G数据传输速率有望比5G快100倍，时延达到亚毫秒级水平．香农公式是被广泛公认的通信理论基础和研究依据，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递率C取决于信道带宽W、信道内信号的平均功率S，信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比．若不改变带宽W，而将信噪比从11提升至499，则最大信息传递率C会提升到原来的（       ）参考数据：．A．2.4倍B．2.5倍C．2.6倍D．2.7倍【答案】B【解析】设提升前最大信息传递率为，提升后最大信息传递率为，则由题意可知，，，所以倍.所以最大信息传递率C会提升到原来的倍.故选：B.4、（2022·广东佛山·三模）（多选题）已知，则下列不等式成立的是（       ）A．B．C．D．【答案】BC【解析】选项A： 由，可得，则，，则，则.判断错误；选项B：由，可得为上减函数，又，则.判断正确；选项C：由，可知为R上减函数，又，则由，可知为上增函数，又，则，则又为上增函数，则，则.判断正确；选项D：令，则，，则，即.判断错误.故选：BC5、（2022·江苏·南京市宁海中学模拟预测）若函数满足：（1）对于任意实数，当时，都有；（2），则___________.(答案不唯一，写出满足这些条件的一个函数即可)【答案】型的都对【解析】：对于任意实数，，当时，都有，说明该函数在上单调递增，又对数函数满足运算性质：，故可选一个递增的对数函数：．故答案为：．6、已知函数f(x)＝loga(8－ax)(a>0，且a≠1)，若f(x)>1在区间[1，2]上恒成立，则实数a的取值范围是________；【答案】【解析】当a>1时，f(x)＝loga(8－ax)在区间[1，2]上单调递减．由f(x)>1在区间[1，2]上恒成立，得f(x)min ＝f(2)＝loga(8－2a)>1，且8－2a>0，解得1<a<；当0<a<1时，f(x)在区间[1，2]上单调递增．由f(x)>1在区间[1，2]上恒成立，得f(x)min＝f(1)＝loga(8－a)>1，且8－2a>0，无解．综上可知，实数a的取值范围是.7、已知函数f(x)＝|log2x|，实数a，b满足0<a<b，且f(a)＝f(b).若f(x)在[a2，b]上的最大值为2，则＋b＝________．【答案】4【解析】如图，画出f(x)＝|log2x|的图象．因为f(a)＝f(b)，且0<a<b，所以0<a<1，b>1，且ab＝1，所以a2<a.由图，知f(x)max＝f(a2)＝|log2a2|＝－2log2a＝2，所以a＝，所以b＝2，所以＋b＝4.