2024年高考数学一轮复习： 函数与基本初等函数 第05讲 对数与对数函数（练习）（解析版）

第05讲对数与对数函数（模拟精练+真题演练）1．（2023·上海金山·上海市金山中学校考模拟预测）“”是“”的（    ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】的解集是，反之不成立.所以“”是“”的必要不充分条件．故选：B2．（2023·安徽·校联考模拟预测）19世纪美国天文学家西蒙·纽康在翻阅对数表时，偶然发现表中以1开头的数出现的频率更高．约半个世纪后，物理学家本·福特又重新发现这个现象，从实际生活得出的大量数据中，以1开头的数出现的频数约为总数的三成，并提出本·福特定律，即在大量进制随机数据中，以开头的数出现的概率为，如斐波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律．后来常有数学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性．若（，），则的值为（）A．2B．3C．4D．5【答案】B【解析】依题意，得，又，故．故选：B．3．（2023·河南·校联考模拟预测）已知，，有以下命题：①；②；③；④．其中正确命题的序号是（    ）A．②③B．①③C．①④D．②④【答案】B【解析】因为，，所以，， 所以，即：所以，故①正确，②错误；又因为，所以，所以，即：，所以，故③正确，④错误．故选：B.4．（2023·河北石家庄·统考三模）18世纪数学家欧拉研究调和级数得到了以下的结果：当很大时，（常数）.利用以上公式，可以估计的值为（    ）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意,所以,故选：C．5．（2023·山西阳泉·统考三模）函数在区间存在零点．则实数m的取值范围是（    ）A．B．C．D．【答案】B【解析】由在上单调递增，在上单调递增，得函数在区间上单调递增，因为函数在区间存在零点，所以，即，解得，所以实数m的取值范围是.故选：B.6．（2023·安徽黄山·统考三模）“”是“函数在区间上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】令，，若在上单调递增，因为是上的增函数，则需使是上的增函数且，则且，解得.因为⫋，故是的必要不充分条件，故选：C.7．（2023·内蒙古赤峰·校联考三模）已知函数，若方程有解，则实数b的取值范围是（    ）A．B．C．D．【答案】C【解析】（当且仅当，也即时取等号）∴，故选：C.8．（2023·天津滨海新·统考三模）已知，，，则的最小值为（    ）A．4B．6C．8D．10【答案】B【解析】由知,结合，以及换底公式可知， ，当且仅当，，即时等号成立，即时等号成立，故的最小值为，故选：B.9．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）下列运算中正确的是（    ）A．B．C．当时，D．若，则【答案】BC【解析】，A错；，B正确；当时，，C正确；时，，所以，D错．故选：BC．10．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）已知，现有下面四个命题中正确的是（    ）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】AB【解析】当时，由，可得，则，此时，所以A正确；当时，由，可得，则，所以B正确.故选：AB.11．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）已知函数（且 ）的图象如下所示．函数的图象上有两个不同的点，，则（    ）A．，B．在上是奇函数C．在上是单调递增函数D．当时，【答案】BCD【解析】对于A，由图像可知，函数（且）在上单调递增，所以，因为经过，所以，所以，，故A错误.对于B，，定义域关于原点对称，，所以在上是奇函数，故B正确.对于C，对于，由题意不妨令，则，因为，，所以，即，所以在上是单调递增函数，故C正确.对于D，，因为，，所以，所以，当且仅当时等号成立，即当时，成立，故D正确.故选：BCD12．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）已知函数的零点为，函数的零点为，则下列不等式中成立的是（）A．B．C．D．【答案】BC【解析】令、，则、， 在同一坐标系中分别绘出函数、、的图像，因为函数的零点为，函数的零点为，所以，，解方程组，因为函数与互为反函数，所以由反函数性质知、关于对称，则，，所以，当且仅当a=b=1时，等号成立，所以A、D错误，B、C正确.故选：BC13．（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）设定义在上且，则______．【答案】【解析】因为，所以，，同理可得.故答案为：14．（2023·全国·模拟预测）写出一个同时具有下列性质①②③的函数______．①；②当时，（为的导函数）；③函数的图象关于点对称．【答案】（答案不唯一）【解析】因为，， 因此满足性质①；若，则当时，，则，当时，，有，因此满足性质②；当时，，则，当时，，有，当时，，有，于是，，即函数的图象关于点对称，因此函数满足性质③，所以具有性质①②③的函数可以为．故答案为：15．（2023·天津和平·统考二模）设，，，若，，则的最大值为__________．【答案】3【解析】因为，所以，.又，，所以，.因为，，根据基本不等式有，当且仅当，即，时等号成立，所以.则，所以的最大值为.故答案为：.16．（2023·辽宁·校联考三模）已知函数，若，且，则实数的取值范围是__________． 【答案】【解析】因为函数的定义域为，且，所以为偶函数，设，而为奇函数，奇函数偶函数奇函数，所以函数为奇函数，关于原点对称，设，则，因为，所以即为上的增函数，故在上单调递增，因为，所以1，解得，实数的取值范围为．故答案为：17．（2023·全国·高三专题练习）求值：(1)；(2)；(3)；(4).(5)2log32－log3＋log38－；(6)(log2125＋log425＋log85)·(log52＋log254＋log1258).(7)lg25＋lg2＋lg＋lg(0.01)－1；(8)(lg2)2＋lg2·lg50＋lg25；(9)(log32＋log92)·(log43＋log83)；(10)2log32－log3＋log38－3log55；【解析】(1)原式. (2)(3)原式=.(4)原式==.(5)原式＝2log32－5log32＋2＋3log32－3＝－1.(6)原式.(7)原式＝(8)原式＝(lg2)2＋(1＋lg5)lg2＋lg52＝(lg2＋lg5＋1)lg2＋2lg5＝(1＋1)lg2＋2lg5＝2(lg2＋lg5)＝2.(9)(log32＋log92)·(log43＋log83)＝·＝·＝·＝.(10)2log32－log3＋log38－3log55＝log322＋log3(32×2－5)＋log323－3＝log3(22×32×2－5×23)－3＝log332－3＝2－3＝－1.18．（2023·全国·高三专题练习）（1）计算；（2）已知，求实数x的值；（3）若，，用a，b，表示．【解析】（1）原式=；（2）因为，所以，所以，所以x=109；（3）因为，所以，所以．19．（2023·四川成都·统考二模）已知函数(1)当时，求函数的定义域；(2)当函数的值域为R时，求实数的取值范围.【解析】（1）当时，令， 即①，或②，或③，解①得：，解②得：，解③得：，所以定义域为；（2）因为的值域为R，故能取遍所有正数，由绝对值三角不等式，故，所以，故实数的取值范围是.20．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，有意义时的取值范围为，其中为实数．(1)求的值；(2)写出函数的单调区间，并求函数的最大值．【解析】（1）因为有意义时的取值范围为，所以的解集为，所以和是方程的两根．由韦达定理可得，解得．（2）由（1）知，，令，因为为增函数，且在上单调递增，在上单调递减，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以当时，取得最大值21．（2023·海南省直辖县级单位·校联考一模）已知函数为奇函数．(1)求常数的值；(2)当时，判断的单调性；(3)若函数，且在区间上没有零点，求实数的取值范围．【解析】（1）由，即， 所以，故，则，当时，显然不成立，经验证：符合题意；所以；（2）单调递增由（1）知：，若，则，而，即，所以，故单调递增.（3）由，令，所以，由（2）知：在上递增，而在上递减，所以在上递减，则.又在区间上无解，故22．（2023·高三课时练习）已知函数的定义域为，值域为，且函数为上的严格减函数，求实数a的取值范围.【解析】由题意有，得或，由且，则，又∵已知函数的定义域为，∴．为上的严格减函数，函数在其定义域上为增函数，则函数在定义域内为减函数，有；函数的定义域为，值域为，则有且，说明是方程的两个相异实数根，且， 即方程在区间（3，+∞）内有两相异实根．设，则有，解得，又因为，综上可得：，即实数a的取值范围为.1．（2022·北京·统考高考真题）在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是．下列结论中正确的是（    ）A．当，时，二氧化碳处于液态B．当，时，二氧化碳处于气态C．当，时，二氧化碳处于超临界状态D．当，时，二氧化碳处于超临界状态【答案】D【解析】当，时，，此时二氧化碳处于固态，故A错误.当，时，，此时二氧化碳处于液态，故B错误.当，时，与4非常接近，故此时二氧化碳处于固态，对应的是非超临界状态，故C错误. 当，时，因,故此时二氧化碳处于超临界状态，故D正确.故选：D2．（2022·全国·统考高考真题）设，则（    ）A．B．C．D．【答案】C【解析】方法一：构造法设，因为，当时，，当时，所以函数在单调递减，在上单调递增，所以，所以，故，即，所以，所以，故，所以，故，设，则,令，，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，又，所以当时，，所以当时，，函数单调递增，所以，即，所以故选：C.方法二：比较法，，，①，令则，故在上单调递减，可得，即，所以；②， 令则，令，所以，所以在上单调递增，可得，即，所以在上单调递增，可得，即，所以故3．（2021·全国·高考真题）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（    ）（）A．1.5B．1.2C．0.8D．0.6【答案】C【解析】由，当时，，则.故选：C.4．（2020·海南·高考真题）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（    ）A．B．C．D．【答案】D【解析】由得或所以的定义域为因为在上单调递增所以在上单调递增所以故选：D5．（2020·天津·统考高考真题）设，则的大小关系为（    ）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，，，所以. 故选：D.6．（2020·全国·统考高考真题）Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：，其中K为最大确诊病例数．当I()=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则约为（    ）（ln19≈3）A．60B．63C．66D．69【答案】C【解析】，所以，则，所以，，解得.故选：C.7．（2020·全国·统考高考真题）设，则（    ）A．B．C．D．【答案】B【解析】由可得，所以，所以有，故选：B.8．（2020·全国·统考高考真题）设函数，则f(x)（    ）A．是偶函数，且在单调递增B．是奇函数，且在单调递减C．是偶函数，且在单调递增D．是奇函数，且在单调递减【答案】D【解析】由得定义域为，关于坐标原点对称，又，为定义域上的奇函数，可排除AC；当时，，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，排除B； 当时，，在上单调递减，在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知：在上单调递减，D正确.故选：D.9．（2022·全国·统考高考真题）若是奇函数，则_____，______．【答案】；．【解析】[方法一]：奇函数定义域的对称性若，则的定义域为，不关于原点对称若奇函数的有意义，则且且，函数为奇函数，定义域关于原点对称，，解得，由得，，，故答案为：；．[方法二]：函数的奇偶性求参函数为奇函数 [方法三]：因为函数为奇函数，所以其定义域关于原点对称．由可得，，所以，解得：，即函数的定义域为，再由可得，．即，在定义域内满足，符合题意．故答案为：；．10．（2020·山东·统考高考真题）若，则实数的值是______.【答案】【解析】，即，解得：.故答案为：11．（2020·北京·统考高考真题）函数的定义域是____________．【答案】【解析】由题意得，故答案为：