2025年高考数学一轮讲义第4章　高考研究在线4　三角函数中的“结构不良”试题

结构不良题又称开放题，是指条件或结论开放、解题方法多样的试题．该类试题在考试中通常是以选择条件，补充结论型试题出现，可能缺少解决问题的必要条件或者某个条件存在变数，其结论也是多样化的，甚至在某些特定条件下问题是无解的.“结构不良”题具有很好的开放性，可以考查学生的数学理解能力、数学探究能力、建模能力等．命题点一　结论开放型[典例1]　(多选)(2022·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)(0<φ<π)的图象关于点2π3，0对称，则(　　)A．f(x)在0，5π12单调递减B．f(x)在-π12，11π12有两个极值点C．直线x＝7π6是曲线y＝f(x)的一条对称轴D．直线y＝32－x是曲线y＝f(x)的一条切线[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　本题属于既定函数问题，不同的选项代表不同的探究方向，需要考生运用相应的三角函数知识多角度探求每个结论的正确性．[跟进训练]1．(多选)(2024·广东东莞模拟)已知ω＞0，函数f(x)＝cosωx+π33/3 ，下列说法正确的有(　　)A．若f(x)的最小正周期T＝2，则ω＝πB．当ω＝2时，函数f(x)的图象向右平移π3个单位长度后得到g(x)＝cos2x的图象C．若f(x)在区间2π3，π上单调递增，则ω的取值范围是1，53D．若f(x)在区间(0，π)上只有一个零点，则ω的取值范围是16，76命题点二　条件缺失型[典例2]　(2021·北京高考)已知在△ABC中，c＝2bcosB，C＝2π3.(1)求B的大小；(2)在以下三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在且唯一确定，并求BC边上的中线的长度．①c＝2b；②周长为4＋23；③面积为S△ABC＝334.[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　该类试题不是完整呈现，一般需要考生从给出的多个条件中选出一个或两个补充完整后再进行解答，试题具有一定的开放性，不同的选择可能得出不同的结论，难度与平时也会有所不同．在选择条件时一定要观察分析，选择不同，计算量也不同．[跟进训练]2．(2023·北京高考)设函数f(x)＝sinωxcosφ＋cosωxsinφω＞0，φ＜π2.(1)若f(0)＝－32，求φ的值．(2)已知f(x)在区间-π3，2π3上单调递增，f2π3＝1，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数f(x)存在，求ω，φ的值．条件①：fπ3＝2；条件②：f-π3＝－1；3/3 条件③：f(x)在区间-π2，-π3上单调递减．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　命题点三　探究开放问题[典例3]　(2021·新高考Ⅱ卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b＝a＋1，c＝a＋2.(1)若2sinC＝3sinA，求△ABC的面积；(2)是否存在正整数a，使得△ABC为钝角三角形？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　s　开放题通常是改变命题结构，改变设问方式，增强问题的探索性以及解决问题过程中的多角度思考，解题的关键是对相应问题的分析和相应知识点的灵活运用．[跟进训练]3．(2024·江苏盐城模拟)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，满足4S＝(a2－3b2)·sinC.(1)证明：sinA＝3sinB；(2)是否存在正整数m，n，使得c＝mb和tanA＝ntanC同时成立？若存在，求出m，n的值；若不存在，说明理由．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　3/3