2025年高考数学一轮讲义第4章 第1课时　任意角和弧度制、三角函数的概念

第1课时　任意角和弧度制、三角函数的概念[考试要求]　1．了解任意角的概念和弧度制.2．能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性.3．借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．1．角的概念(1)定义：角可以看成一条射线绕着它的____旋转所成的图形．(2)分类：①按旋转方向不同分为____、____、____．②按终边位置不同分为______和轴线角．(3)相反角：我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．角α的相反角记为____．(4)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝______________________}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．2．弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于______的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示，读作弧度．(2)公式角α的弧度数公式|α|＝lr(l表示弧长，r表示半径)角度与弧度的换算1°＝__rad；1rad＝________弧长公式弧长l＝____(R是圆的半径，α(0＜α＜2π)为圆心角)扇形面积公式S＝12lR＝______(R是圆的半径，α(0＜α＜2π)为圆心角，6/6 l是扇形弧长，S是扇形面积)提醒：在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．3．任意角的三角函数(1)定义前提如图，设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与______交于点P(x，y)定义正弦__叫做α的正弦函数，记作sinα余弦__叫做α的余弦函数，记作cosα正切__叫做α的正切函数，记作tanα(2)定义的推广设P(x，y)是角α终边上异于原点的任一点，它到原点的距离为r(r>0)，那么sinα＝__，cosα＝__，tanα＝__(x≠0)．[常用结论]1．三角函数值在各象限的符号规律一全正，二正弦，三正切，四余弦．2．象限角3．轴线角4．若α∈0，π2，则tanα>α>sinα.6/6 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)锐角是第一象限角，第一象限角也都是锐角．(　　)(2)将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是π6．(　　)(3)若sinα>0，则α是第一或第二象限角．(　　)(4)终边落在直线y＝x上的角可以表示为k·360°＋45°，k∈Z．(　　)二、教材经典衍生1．(人教A版必修第一册P175练习T1改编)660°等于(　　)A．11π3rad　　　　B．13π3radC．23π6rad　D．25π6rad2．(人教A版必修第一册P180例3改编)若sinα<0，且tanα>0，则角α是(　　)A．第一象限角　B．第二象限角C．第三象限角　D．第四象限角3．(人教A版必修第一册P175练习T6改编)已知圆心角为π6的扇形所对的弧长为2π，则该扇形的面积为________．4．(人教A版必修第一册P180练习T3改编)已知角α的终边经过点P(2，－3)，则sinα＝________，cosα＝________，tanα＝________．考点一　任意角[典例1]　(1)(多选)(2023·云南丽江一模)与－835°终边相同的角有(　　)A．－245°　B．245°C．－115°　D．－475°(2)若α是第二象限角，则(　　)A．－α是第一象限角B．α2是第三象限角C．3π2＋α是第二象限角D．2α是第三或第四象限角或在y轴负半轴上[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　6/6 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　确定mα，αm(m∈N*)的终边位置的步骤(1)用终边相同的角的形式表示出角α的范围．(2)写出mα或αm的范围．(3)根据k的可能取值确定mα或αm的终边所在的位置．技巧：分母m是几，对k连取几个值判断，k＝0，1，2，….[跟进训练]1．(1)终边在直线y＝3x上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为________．(2)(2024·北师大二附中模拟)若点P(cosθ，sinθ)与点Qcosθ+π3，sinθ+π3关于直线y＝－x对称，写出一个符合题意的θ值为________．考点二　扇形的弧长及面积公式[典例2]　已知一扇形的圆心角为α(α>0)，弧长为l，周长为C，面积为S，半径为r.(1)若α＝35°，r＝8cm，求扇形的弧长；(2)若C＝16cm，求S的最大值及此时扇形的半径和圆心角．[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　应用弧度制解决问题的方法(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为基本不等式或二次函数的最值问题．[跟进训练]2．(1)(2023·天津河东区一模)在面积为4的扇形中，其周长最小时半径的值为(　　)A．4　　B．22　6/6 C．2　　D．1(2)“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出入怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的“宠物”，所以有“怀袖雅物”的别号．当折扇所在扇形的圆心角为2π3时，折扇的外观看上去是比较美观的，则此时折扇所在扇形的弦AB的长与AB的长的比为(　　)A．23π3　　　B．233π　　C．332π　D．3π3考点三　三角函数的概念及应用[典例3]　(1)(2020·全国Ⅱ卷)若α为第四象限角，则(　　)A．cos2α＞0　B．cos2α＜0C．sin2α＞0　D．sin2α＜0(2)(2023·陕西宝鸡二模)已知角α的终边经过点(2a＋1，a－2)，且cosα＝－35，则sin(2023π－2α)＝________．[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(1)利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P的坐标，可以求出α的三角函数值；已知角α的三角函数值，可以求出角α终边的位置．(2)判断三角函数值的符号，关键是确定角的终边所在的象限，特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况．[跟进训练]3．(1)(多选)在平面直角坐标系Oxy中，角α的顶点在原点O，以x轴正半轴为始边，终边经过点P(1，m)(m<0)，则下列各式的值恒大于0的是(　　)A．sinαtanα　B．cosα－sinαC．sinαcosα　D．sinα＋cosα6/6 (2)(多选)(2024·江西吉安模拟)质点A和B在以坐标原点O为圆心、半径为1的⊙O上逆时针作匀速圆周运动，同时出发．A的角速度大小为3rad/s，起点为⊙O与x轴正半轴的交点；B的角速度大小为1rad/s，起点为射线y＝3x(x≥0)与⊙O的交点．当A与B重合时，点A的坐标可以是(　　)A．12，32　B．(0，1)C．(－1，0)　D．(0，－1)6/6