2024年高考数学一轮复习（新高考版） 第4章　§4.1　任意角和弧度制、三角函数的概念

§4.1　任意角和弧度制、三角函数的概念考试要求　1.了解任意角的概念和弧度制.2.能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性.3.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．知识梳理1．角的概念(1)定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形．(2)分类(3)相反角：我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．角α的相反角记为－α.(4)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．2．弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示．(2)公式角α的弧度数公式|α|＝(弧长用l表示)角度与弧度的换算1°＝rad；1rad＝°弧长公式弧长l＝|α|r扇形面积公式S＝lr＝|α|r214 3．任意角的三角函数(1)任意角的三角函数的定义：设P(x，y)是角α终边上异于原点的任意一点，其到原点O的距离为r，则sinα＝，cosα＝，tanα＝(x≠0)．(2)三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦，如图．常用结论1．象限角2．轴线角思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)－是第三象限角．(　×　)(2)若角α的终边过点P(－3,4)，则cosα＝－.(　√　)(3)若sinα>0，则α是第一或第二象限角．(　×　)(4)若圆心角为的扇形的弧长为π，则该扇形面积为.(　√　)教材改编题1.－660°等于(　　)A．－πradB．－πrad14 C．－πradD．－πrad答案　C解析　－660°＝－660×rad＝－πrad.2．某次考试时间为120分钟，则从开始到结束，墙上时钟的分针旋转了________弧度．答案　－4π解析　某次考试时间为120分钟，则从开始到结束，墙上时钟的分针顺时针旋转了－720°，即－4π.3．已知角α的终边经过点P(2，－3)，则sinα＝________，tanα＝________.答案　－　－解析　因为x＝2，y＝－3，所以点P到原点的距离r＝＝.则sinα＝＝＝－，tanα＝＝－.题型一　角及其表示例1　(1)(2023·宁波模拟)若α是第二象限角，则(　　)A．－α是第一象限角B.是第三象限角C.＋α是第二象限角D．2α是第三或第四象限角或在y轴负半轴上答案　D解析　因为α是第二象限角，可得＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z，对于A，可得－π－2kπ<－α<－－2kπ，k∈Z，此时－α位于第三象限，所以A错误；对于B，可得＋kπ<<＋kπ，k∈Z，当k为偶数时，位于第一象限；当k为奇数时，位于第三象限，所以B错误；对于C，可得2π＋2kπ<＋α<＋2kπ，k∈Z，14 即2(k＋1)π<＋α<＋2(k＋1)π，k∈Z，所以＋α位于第一象限，所以C错误；对于D，可得π＋4kπ<2α<2π＋4kπ，k∈Z，所以2α是第三或第四象限角或在y轴负半轴上，所以D正确．延伸探究　若α是第一象限角，则是第几象限角？解　因为α是第一象限角，所以k·360°<α<k·360°＋90°，k∈Z，所以k·180°<<k·180°＋45°，k∈Z，当k为偶数时，是第一象限角，当k为奇数时，是第三象限角．(2)在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为________．答案　－675°和－315°解析　所有与45°终边相同的角可表示为β＝45°＋k×360°(k∈Z)，当k＝－1时，β＝45°－360°＝－315°，当k＝－2时，β＝45°－2×360°＝－675°.思维升华　确定kα，(k∈N*)的终边位置的方法先写出kα或的范围，然后根据k的可能取值确定kα或的终边所在位置．跟踪训练1　(1)“α是第四象限角”是“是第二或第四象限角”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案　A解析　当α是第四象限角时，＋2kπ<α<2π＋2kπ，k∈Z，则＋kπ<<π＋kπ，k∈Z，即是第二或第四象限角．当＝为第二象限角时，α＝不是第四象限角，故“α是第四象限角”是“是第二或第四象限角”的充分不必要条件．(2)(2021·北京)若点P(cosθ，sinθ)与点Q关于y轴对称，14 写出一个符合题意的θ＝________.答案　解析　∵P(cosθ，sinθ)与Q关于y轴对称，即θ，θ＋关于y轴对称，θ＋＋θ＝π＋2kπ，k∈Z，则θ＝kπ＋，k∈Z，当k＝0时，可取θ的一个值为.题型二　弧度制及其应用例2　已知一扇形的圆心角为α(α>0)，弧长为l，周长为C，面积为S，半径为r.(1)若α＝35°，r＝8cm，求扇形的弧长；(2)若C＝16cm，求S的最大值及此时扇形的半径和圆心角．解　(1)α＝35°＝35×rad＝πrad，扇形的弧长l＝αr＝π×8＝π(cm)．(2)方法一　由题意知2r＋l＝16，∴l＝16－2r(0<r<8)，则S＝lr＝(16－2r)r＝－r2＋8r＝－(r－4)2＋16，当r＝4(cm)时，Smax＝16(cm2)，l＝16－2×4＝8(cm)，α＝＝2，∴S的最大值是16cm2，此时扇形的半径是4cm，圆心角α＝2rad.方法二　S＝lr＝l·2r≤·2＝16，当且仅当l＝2r，即r＝4(cm)时，S的最大值是16cm2.此时扇形的圆心角α＝2rad.思维升华　应用弧度制解决问题的方法(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为基本不等式或二次函数的最值问题．跟踪训练2　某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，14 铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面(由扇形OAD挖去扇形OBC后构成的)．已知OA＝10，OB＝x(0<x<10)，线段BA，CD与，的长度之和为30，圆心角为θ弧度．(1)求θ关于x的函数表达式；(2)记铭牌的截面面积为y，试问x取何值时，y的值最大？并求出最大值．解　(1)根据题意，可算得＝θx，＝10θ.因为AB＋CD＋＋＝30，所以2(10－x)＋θx＋10θ＝30，所以θ＝(0<x<10)．(2)根据题意，可知y＝S扇形AOD－S扇形BOC＝θ·(102－x2)＝×＝(x＋5)(10－x)＝－x2＋5x＋50＝－2＋，当x＝时，ymax＝.综上所述，当x＝时，铭牌的截面面积最大，且最大面积为.题型三　三角函数的概念例3　(1)(多选)已知角θ的终边经过点(－2，－)，且θ与α的终边关于x轴对称，则下列选项正确的是(　　)A．sinθ＝－B．α为钝角C．cosα＝－D．点(tanθ，sinα)在第一象限答案　ACD解析　角θ的终边经过点(－2，－)，sinθ＝－，A正确；θ与α的终边关于x轴对称，由题意得α的终边经过点(－2，)，α为第二象限角，不一定为钝角，cosα＝－，B错误，C正确；14 因为tanθ＝>0，sinα＝>0，所以点(tanθ，sinα)在第一象限，D正确．(2)已知角θ的终边经过点(2a＋1，a－2)，且cosθ＝，则实数a的值是(　　)A．－2B.C．－2或D．1答案　B解析　由题设可知，＝且2a＋1>0，即a>－，∴＝，则11a2＋20a－4＝0，解得a＝－2或a＝，又a>－，∴a＝.(3)若sinαtanα<0，且>0，则角α是(　　)A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角答案　B解析　由sinαtanα<0，知α是第二象限或第三象限角，由>0，知α是第一象限或第二象限角，所以角α是第二象限角．思维升华　(1)利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P的坐标，可以求出α的三角函数值；已知角α的三角函数值，也可以求出点P的坐标．(2)利用角所在的象限判定角的三角函数值的符号时，特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况．跟踪训练3　(1)若角α的终边上有一点P(a,2a)(a≠0)，则2sinα－cosα的值是(　　)A．－B.C．－D.或－答案　D解析　若α的终边上有一点P(a,2a)(a≠0)，则cosα＝＝＝14 sinα＝＝＝所以2sinα－cosα＝(2)sin2cos3tan4的值(　　)A．小于0B．大于0C．等于0D．不存在答案　A解析　∵<2<3<π<4<，∴sin2>0，cos3<0，tan4>0.∴sin2cos3tan4<0.(3)若A(1，a)是角θ终边上的一点，且sinθ＝，则实数a的值为________．答案　解析　根据三角函数的终边上点的定义可得，r＝，所以sinθ＝＝>0，即a>0且a2＝11，所以a＝.课时精练1．与－2023°终边相同的最小正角是(　　)A．137°B．133°C．57°D．43°答案　A解析　因为－2023°＝－360°×6＋137°，所以与－2023°终边相同的最小正角是137°.2．(2023·合肥模拟)在平面直角坐标系中，若角θ的终边经过点P，则cosθ等于(　　)A.B．－C.D．－答案　D解析　由角θ的终边经过点P，即P，所以cosθ＝＝－.14 3．如图所示的时钟显示的时刻为4：30，此时时针与分针的夹角为α(0<α≤π)．若一个半径为1的扇形的圆心角为α，则该扇形的面积为(　　)A.B.C.D.答案　C解析　由图可知，α＝×2π＝，所以该扇形的面积S＝××12＝.4．(2023·惠州模拟)如果点P(2sinθ，sinθ·cosθ)位于第四象限，那么角θ所在的象限为(　　)A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案　B解析　∵点P(2sinθ，sinθ·cosθ)位于第四象限，∴即∴角θ所在的象限是第二象限．5．(2023·南昌模拟)我国在文昌航天发射场用长征五号运载火箭成功发射探月工程嫦娥五号探测器，顺利将探测器送入预定轨道，经过两次轨道修正，嫦娥五号顺利进入环月轨道飞行，嫦娥五号从椭圆形环月轨道变为近圆形环月轨道，若这时把近圆形环月轨道看作圆形轨道，嫦娥五号距离月球表面400千米，已知月球半径约为1738千米，则嫦娥五号绕月每旋转弧度，飞过的路程约为(取π≈3.14)(　　)A．1069千米B．1119千米C．2138千米D．2238千米答案　D解析　嫦娥五号绕月飞行半径为400＋1738＝2138(千米)，所以嫦娥五号绕月每旋转弧度，飞过的路程约为l＝αr＝×2138≈×2138≈2238(千米)．6.(2023·丽江模拟)屏风文化在我国源远流长，可追溯到汉代．某屏风工艺厂设计了一款造型优美的扇环形屏风，如图，扇环外环弧长为3.6m，内环弧长为1.2m，径长(外环半径与内环半径之差)为1.2m，若不计外框，则扇环内需要进行工艺制作的面积的估计值为(　　)14 A．2.58m2B．2.68m2C．2.78m2D．2.88m2答案　D解析　设扇形的圆心角为α，内环半径为rm，外环半径为Rm，则R－r＝1.2(m)，由题意可知，α·r＝1.2，α·R＝3.6，所以α(R＋r)＝4.8，所以扇环内需要进行工艺制作的面积的估计值为S＝α(R2－r2)＝α(R＋r)(R－r)＝×4.8×1.2＝2.88(m2)．7．(2023·安阳模拟)已知角α的终边上一点P的坐标为，则角α的最小正值为________．答案　解析　因为sin >0，cos <0，所以角α的终边在第四象限，根据三角函数的定义，可知sinα＝cos ＝－，故角α的最小正值为α＝2π－＝.8.数学中处处存在着美，机械学家莱洛发现的莱洛三角形就给人以对称的美感．莱洛三角形的画法：先画等边△ABC，再分别以点A，B，C为圆心，线段AB长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形(如图所示)．若莱洛三角形的周长为2π，则其面积是________．答案　2π－2解析　由条件可知，弧长＝＝＝，等边三角形的边长AB＝BC＝AC＝＝214 ，则以点A，B，C为圆心，圆弧AB，BC，AC所对的扇形面积为××2＝，中间等边△ABC的面积S＝×2×＝.所以莱洛三角形的面积是3×－2＝2π－2.9．已知＝－，且lg(cosα)有意义．(1)试判断角α所在的象限；(2)若角α的终边上一点M，且|OM|＝1(O为坐标原点)，求m的值及sinα的值．解　(1)由＝－，得sinα<0，由lg(cosα)有意义，可知cosα>0，所以α是第四象限角．(2)因为|OM|＝1，所以2＋m2＝1，解得m＝±.又α为第四象限角，故m<0，从而m＝－，sinα＝＝＝＝－.10．如图，在平面直角坐标系Oxy中，角α的始边与x轴的非负半轴重合且与单位圆相交于点A(1,0)，它的终边与单位圆相交于x轴上方一点B，始边不动，终边在运动．(1)若点B的横坐标为－，求sinα的值和与角α终边相同的角β的集合；(2)若α∈，请写出弓形AB的面积S与α的函数关系式．(注：弓形是指在圆中由弦及其所对的弧组成的图形)14 解　(1)由题意知，若点B的横坐标为－，可得B的坐标为，∴sinα＝，于是α＝＋2kπ，k∈Z，与角α终边相同的角β的集合为.(2)△AOB的高为1×cos ，AB＝2sin ，故S△AOB＝×2sin ×cos ＝sinα，故弓形AB的面积S＝·α·12－sinα＝(α－sinα)，α∈.11．在平面直角坐标系中，若α与β的终边互相垂直，那么α与β的关系式为(　　)A．β＝α＋90°B．β＝α±90°C．β＝α＋90°＋k·360°(k∈Z)D．β＝α±90°＋k·360°(k∈Z)答案　D解析　∵α与β的终边互相垂直，∴β＝α±90°＋k·360°(k∈Z)．12．(多选)已知点P(sinx－cosx，－3)在第三象限，则x可能位于的区间是(　　)A.B.C.D.答案　AD解析　由点P(sinx－cosx，－3)在第三象限，可得sinx－cosx<0，即sinx<cosx，所以－＋2kπ<x<＋2kπ，k∈Z.当k＝0时，x所在的一个区间是，当k＝1时，x所在的一个区间是.13．已知△ABC为锐角三角形，若角θ的终边过点P(sinA－cosB，cosA－sinC)，则＋＋的值为(　　)A．1B．－1C．3D．－314 答案　B解析　因为△ABC为锐角三角形，所以A＋B>，A＋C>，即A>－B，C>－A，所以sinA>cosB，sinC>cosA，所以θ是第四象限角，所以＋＋＝－1＋1－1＝－1.14．在北京冬奥会短道速滑混合接力的比赛中，中国队以2分37秒348的成绩获得金牌．如图，短道速滑的比赛场地的内圈半圆的弯道计算半径为8.5m，直道长为28.85m，点O为半圆的圆心，点N为弯道与直道的连接点，运动员沿滑道逆时针滑行，在某次短道速滑比赛最后一圈的冲刺中，运动员小夏在弯道上的P点处成功超过所有对手，并领先到达终点Q(终点Q为直道的中点)．若从P点滑行到Q点的距离为31.425m，则∠PON等于(　　)A.B.C．2D.答案　C解析　扇形PON的弧长为31.425－×28.85＝17，故∠PON＝＝2.15.(2023·常州模拟)赵爽是我国古代数学家、天文学家，约公元222年，赵爽在注解《周髀算经》一书时介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形．如图所示的是一张弦图，已知大正方形的面积为100，小正方形的面积为20，若直角三角形中较小的锐角为α，则sinαcosα的值为(　　)A.B.C.D.答案　B解析　设直角三角形的短直角边为x，一个直角三角形的面积为＝20，小正方形的面积为20，则边长为2.大正方形的面积为100，则边长为10.14 直角三角形的面积为·x(x＋2)＝20⇒x＝2.则直角三角形的长直角边为4.故sinα＝，cosα＝，即sinαcosα＝.16．如图，点P是半径为2的圆O上一点，现将如图放置的边长为2的正方形ABCD(顶点A与P重合)沿圆周逆时针滚动．若从点A离开圆周的这一刻开始，正方形滚动至使点A再次回到圆周上为止，称为正方形滚动了一轮，则当点A第一次回到点P的位置时，正方形滚动了________轮，此时点A走过的路径的长度为________．答案　3　(＋2)π解析　正方形滚动一轮，圆周上依次出现的正方形顶点为B→C→D→A，顶点两次回到点P时，正方形顶点将圆周正好分成六等份，又4和6的最小公倍数为3×4＝2×6＝12，所以到点A首次与P重合时，正方形滚动了3轮．这一轮中，点A路径A→A′→A″→A是圆心角为，半径分别为2,2，2的三段弧，故路径长l＝·(2＋2＋2)＝，所以点A与P重合时总路径长为(＋2)π.14