2024年高考数学一轮复习讲义（学生版）第4章　§4.1　任意角和弧度制、三角函数的概念

§4.1　任意角和弧度制、三角函数的概念考试要求　1.了解任意角的概念和弧度制.2.能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性.3.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．知识梳理1．角的概念(1)定义：角可以看成一条射线绕着它的旋转所成的图形．(2)分类(3)相反角：我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．角α的相反角记为.(4)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝_____________________．2．弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示．(2)公式角α的弧度数公式|α|＝(弧长用l表示)角度与弧度的换算1°＝rad；1rad＝________弧长公式弧长l＝_______扇形面积公式S＝________＝_______5 3．任意角的三角函数(1)任意角的三角函数的定义：设P(x，y)是角α终边上异于原点的任意一点，其到原点O的距离为r，则sinα＝，cosα＝，tanα＝(x≠0)．(2)三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦，如图．常用结论1．象限角2．轴线角思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)－是第三象限角．(　　)(2)若角α的终边过点P(－3,4)，则cosα＝－.(　　)(3)若sinα>0，则α是第一或第二象限角．(　　)(4)若圆心角为的扇形的弧长为π，则该扇形面积为.(　　)教材改编题1.－660°等于(　　)A．－πradB．－πrad5 C．－πradD．－πrad2．某次考试时间为120分钟，则从开始到结束，墙上时钟的分针旋转了________弧度．3．已知角α的终边经过点P(2，－3)，则sinα＝________，tanα＝________.题型一　角及其表示例1　(1)(2023·宁波模拟)若α是第二象限角，则(　　)A．－α是第一象限角B.是第三象限角C.＋α是第二象限角D．2α是第三或第四象限角或在y轴负半轴上延伸探究　若α是第一象限角，则是第几象限角？________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为________．听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华　确定kα，(k∈N*)的终边位置的方法先写出kα或的范围，然后根据k的可能取值确定kα或的终边所在位置．跟踪训练1　(1)“α是第四象限角”是“是第二或第四象限角”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(2)(2021·北京)若点P(cosθ，sinθ)与点Q关于y轴对称，写出一个符合题意的θ＝________.题型二　弧度制及其应用例2　已知一扇形的圆心角为α(α>0)，弧长为l，周长为C，面积为S，半径为r.5 (1)若α＝35°，r＝8cm，求扇形的弧长；________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)若C＝16cm，求S的最大值及此时扇形的半径和圆心角．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华　应用弧度制解决问题的方法(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为基本不等式或二次函数的最值问题．跟踪训练2　某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面(由扇形OAD挖去扇形OBC后构成的)．已知OA＝10，OB＝x(0<x<10)，线段BA，CD与，的长度之和为30，圆心角为θ弧度．(1)求θ关于x的函数表达式；(2)记铭牌的截面面积为y，试问x取何值时，y的值最大？并求出最大值．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________题型三　三角函数的概念例3　(1)(多选)已知角θ的终边经过点(－2，－)，且θ与α的终边关于x轴对称，则下列选项正确的是(　　)A．sinθ＝－B．α为钝角C．cosα＝－D．点(tanθ，sinα)在第一象限(2)已知角θ的终边经过点(2a＋1，a－2)，且cosθ＝，则实数a的值是(　　)5 A．－2B.C．－2或D．1(3)若sinαtanα<0，且>0，则角α是(　　)A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华　(1)利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P的坐标，可以求出α的三角函数值；已知角α的三角函数值，也可以求出点P的坐标．(2)利用角所在的象限判定角的三角函数值的符号时，特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况．跟踪训练3　(1)若角α的终边上有一点P(a,2a)(a≠0)，则2sinα－cosα的值是(　　)A．－B.C．－D.或－(2)sin2cos3tan4的值(　　)A．小于0B．大于0C．等于0D．不存在(3)若A(1，a)是角θ终边上的一点，且sinθ＝，则实数a的值为________．5