2024年高考数学一轮复习（新高考版） 第4章　§4.1　任意角和弧度制、三角函数的概念

§4.1任意角和弧度制、三角函数的概念第四章　三角函数与解三角形 1.了解任意角的概念和弧度制.2.能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性.3.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.考试要求 内容索引第一部分第二部分第三部分落实主干知识探究核心题型课时精练 落实主干知识第一部分 1.角的概念(1)定义：角可以看成一条射线绕着它的旋转所成的图形.(2)分类按旋转方向不同分为、、______按终边位置不同分为和轴线角.(3)相反角：我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角.角α的相反角记为.(4)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝.端点正角负角零角象限角－α{β|β＝α＋k·360°，k∈Z} 2.弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示.半径长 (2)公式角α的弧度数公式角度与弧度的换算弧长公式弧长l＝____扇形面积公式S＝＝______|α|r 3.任意角的三角函数(1)任意角的三角函数的定义：设P(x，y)是角α终边上异于原点的任意一点，其到原点O的距离为r，则(2)三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦，如图. 1.象限角2.轴线角 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)×√(3)若sinα>0，则α是第一或第二象限角.()×√ 1.－660°等于√ 2.某次考试时间为120分钟，则从开始到结束，墙上时钟的分针旋转了______弧度.－4π某次考试时间为120分钟，则从开始到结束，墙上时钟的分针顺时针旋转了－720°，即－4π. 3.已知角α的终边经过点P(2，－3)，则sinα＝________，tanα＝_____. 探究核心题型第二部分 例1(1)(2023·宁波模拟)若α是第二象限角，则A.－α是第一象限角题型一角及其表示D.2α是第三或第四象限角或在y轴负半轴上√ 对于D，可得π＋4kπ<2α<2π＋4kπ，k∈Z，所以2α是第三或第四象限角或在y轴负半轴上，所以D正确. 延伸探究若α是第一象限角，则是第几象限角？因为α是第一象限角，所以k·360°<α<k·360°＋90°，k∈Z， (2)在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为________________.－675°和－315°所有与45°终边相同的角可表示为β＝45°＋k×360°(k∈Z)，当k＝－1时，β＝45°－360°＝－315°，当k＝－2时，β＝45°－2×360°＝－675°. 思维升华 跟踪训练1(1)“α是第四象限角”是“是第二或第四象限角”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件√ 对称，写出一个符合题意的θ＝____________________________. 关于y轴对称， 例2已知一扇形的圆心角为α(α>0)，弧长为l，周长为C，面积为S，半径为r.(1)若α＝35°，r＝8cm，求扇形的弧长；题型二弧度制及其应用 (2)若C＝16cm，求S的最大值及此时扇形的半径和圆心角. 方法一由题意知2r＋l＝16，∴l＝16－2r(0<r<8)，∴S的最大值是16cm2，此时扇形的半径是4cm，圆心角α＝2rad.当且仅当l＝2r，即r＝4(cm)时，S的最大值是16cm2.此时扇形的圆心角α＝2rad. 应用弧度制解决问题的方法(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度.(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为基本不等式或二次函数的最值问题. 跟踪训练2某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面(由扇形OAD挖去扇形OBC后构成的).已知OA＝10，OB＝x(0<x<10)，线段BA，CD与，的长度之和为30，圆心角为θ弧度.(1)求θ关于x的函数表达式；根据题意，可算得＝θx，＝10θ.因为AB＋CD＋＋＝30，所以2(10－x)＋θx＋10θ＝30， (2)记铭牌的截面面积为y，试问x取何值时，y的值最大？并求出最大值. 题型三三角函数的概念√√√ 所以点(tanθ，sinα)在第一象限，D正确. √ (3)若sinαtanα<0，且>0，则角α是A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角√由sinαtanα<0，知α是第二象限或第三象限角，所以角α是第二象限角. (1)利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P的坐标，可以求出α的三角函数值；已知角α的三角函数值，也可以求出点P的坐标.(2)利用角所在的象限判定角的三角函数值的符号时，特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况. 跟踪训练3(1)若角α的终边上有一点P(a,2a)(a≠0)，则2sinα－cosα的值是√ 若α的终边上有一点P(a,2a)(a≠0)， (2)sin2cos3tan4的值A.小于0B.大于0C.等于0D.不存在√∴sin2cos3tan4<0. 课时精练第三部分 12345678910111213141516基础保分练1.与－2023°终边相同的最小正角是A.137°B.133°C.57°D.43°√因为－2023°＝－360°×6＋137°，所以与－2023°终边相同的最小正角是137°. √12345678910111213141516 3.如图所示的时钟显示的时刻为4：30，此时时针与分针的夹角为α(0<α≤π).若一个半径为1的扇形的圆心角为α，则该扇形的面积为√12345678910111213141516 4.(2023·惠州模拟)如果点P(2sinθ，sinθ·cosθ)位于第四象限，那么角θ所在的象限为A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限√∵点P(2sinθ，sinθ·cosθ)位于第四象限，∴角θ所在的象限是第二象限.12345678910111213141516 123456789101112131415165.(2023·南昌模拟)我国在文昌航天发射场用长征五号运载火箭成功发射探月工程嫦娥五号探测器，顺利将探测器送入预定轨道，经过两次轨道修正，嫦娥五号顺利进入环月轨道飞行，嫦娥五号从椭圆形环月轨道变为近圆形环月轨道，若这时把近圆形环月轨道看作圆形轨道，嫦娥五号距离月球表面400千米，已知月球半径约为1738千米，则嫦娥五号绕月每旋转弧度，飞过的路程约为(取π≈3.14)A.1069千米B.1119千米C.2138千米D.2238千米√ 12345678910111213141516嫦娥五号绕月飞行半径为400＋1738＝2138(千米)， 6.(2023·丽江模拟)屏风文化在我国源远流长，可追溯到汉代.某屏风工艺厂设计了一款造型优美的扇环形屏风，如图，扇环外环弧长为3.6m，内环弧长为1.2m，径长(外环半径与内环半径之差)为1.2m，若不计外框，则扇环内需要进行工艺制作的面积的估计值为A.2.58m2B.2.68m2C.2.78m2D.2.88m2√12345678910111213141516 设扇形的圆心角为α，内环半径为rm，外环半径为Rm，则R－r＝1.2(m)，由题意可知，α·r＝1.2，α·R＝3.6，所以α(R＋r)＝4.8，12345678910111213141516 12345678910111213141516 123456789101112131415168.数学中处处存在着美，机械学家莱洛发现的莱洛三角形就给人以对称的美感.莱洛三角形的画法：先画等边△ABC，再分别以点A，B，C为圆心，线段AB长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形(如图所示).若莱洛三角形的周长为2π，则其面积是_________. 12345678910111213141516 12345678910111213141516(1)试判断角α所在的象限；由lg(cosα)有意义，可知cosα>0，所以α是第四象限角. (2)若角α的终边上一点，且|OM|＝1(O为坐标原点)，求m的值及sinα的值.12345678910111213141516 10.如图，在平面直角坐标系Oxy中，角α的始边与x轴的非负半轴重合且与单位圆相交于点A(1,0)，它的终边与单位圆相交于x轴上方一点B，始边不动，终边在运动.(1)若点B的横坐标为，求sinα的值和与角α终边相同的角β的集合；12345678910111213141516 12345678910111213141516 12345678910111213141516 12345678910111213141516 11.在平面直角坐标系中，若α与β的终边互相垂直，那么α与β的关系式为A.β＝α＋90°B.β＝α±90°C.β＝α＋90°＋k·360°(k∈Z)D.β＝α±90°＋k·360°(k∈Z)12345678910111213141516综合提升练√∵α与β的终边互相垂直，∴β＝α±90°＋k·360°(k∈Z). 1234567891011121314151612.(多选)已知点P(sinx－cosx，－3)在第三象限，则x可能位于的区间是√√ 由点P(sinx－cosx，－3)在第三象限，可得sinx－cosx<0，12345678910111213141516 12345678910111213141516A.1B.－1C.3D.－3√ 12345678910111213141516因为△ABC为锐角三角形，所以sinA>cosB，sinC>cosA，所以θ是第四象限角， 14.在北京冬奥会短道速滑混合接力的比赛中，中国队以2分37秒348的成绩获得金牌.如图，短道速滑的比赛场地的内圈半圆的弯道计算半径为8.5m，直道长为28.85m，点O为半圆的圆心，点N为弯道与直道的连接点，运动员沿滑道逆时针滑行，在某次短道速滑比赛最后一圈的冲刺中，运动员小夏在弯道上的P点处成功超过所有对手，并领先到达终点Q(终点Q为直道的中点).若从P点滑行到Q点的距离为31.425m，则∠PON等于√12345678910111213141516 12345678910111213141516 拓展冲刺练15.(2023·常州模拟)赵爽是我国古代数学家、天文学家，约公元222年，赵爽在注解《周髀算经》一书时介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形.如图所示的是一张弦图，已知大正方形的面积为100，小正方形的面积为20，若直角三角形中较小的锐角为α，则sinαcosα的值为√12345678910111213141516 大正方形的面积为100，则边长为10.12345678910111213141516 16.如图，点P是半径为2的圆O上一点，现将如图放置的边长为2的正方形ABCD(顶点A与P重合)沿圆周逆时针滚动.若从点A离开圆周的这一刻开始，正方形滚动至使点A再次回到圆周上为止，称为正方形滚动了一轮，则当点A第一次回到点P的位置时，正方形滚动了___轮，此时点A走过的路径的长度为__________.312345678910111213141516 正方形滚动一轮，圆周上依次出现的正方形顶点为B→C→D→A，顶点两次回到点P时，正方形顶点将圆周正好分成六等份，又4和6的最小公倍数为3×4＝2×6＝12，所以到点A首次与P重合时，正方形滚动了3轮.12345678910111213141516