2025年高考数学一轮讲义第3章　高考研究在线3　泰勒公式与切线不等式在导数中的应用

“ex≥1＋x”“x－1≥lnx，x∈(0，＋∞)”“sinx<x<tanx，x∈0，π2”这三个不等式，均源自教材习题，其中人教A版必修第一册P256T26仅展示了sinx及cosx的泰勒公式，熟知ex，lnx，sinx及cosx的泰勒展开式，可以快速解答与之相关的试题．1．几个常见函数的泰勒公式(1)ex＝1＋x＋x22！+x33！＋…；(2)11-x＝1＋x＋x2＋x3＋…；(3)ln(1＋x)＝x－x22+x33-x44＋…；(4)cosx＝1－x22！＋x44！－x66！＋…；(5)sinx＝x－x33！＋x55！－x77！＋….2．两个超越不等式从泰勒公式中截取片段就构成了常见的不等式：总结如下：(注意解答题需先证明后使用)3/3 (1)对数型超越放缩：x-1x≤lnx≤x－1(x＞0)；(2)指数型超越放缩：x＋1≤ex≤11-x(x＜1)．命题点一　比较大小[典例1]　(1)(2022·新高考Ⅰ卷)设a＝0.1e0.1，b＝19，c＝－ln0.9，则(　　)A．a<b<c　　　B．c<b<aC．c<a<b　D．a<c<b(2)(2022·全国甲卷)已知a＝3132，b＝cos14，c＝4sin14，则(　　)A．c>b>a　B．b>a>cC．a>b>c　D．a>c>b[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　几个常用不等式：①x∈(0，1)时，sinx＞ln(x＋1)；②x＞0时，lnx≥1－1x(x＝1时取等号)；③x＞0时，x＞sinx；④x＞1时，lnx＞2x-1x+1.[跟进训练]1．(2023·山东济宁二模)设a＝12，b＝ln32，c＝π2sin12，则(　　)A．b<a<c　B．a<b<cC．c<b<a　D．b<c<a2．(2023·河北唐山三模)已知3m＝e且a＝cosm，b＝1－12m2，c＝sinmm，e是自然对数的底数，则(　　)A．a＞b＞c　B．c＞a＞b3/3 C．c＞b＞a　D．b＞a＞c命题点二　证明不等式[典例2]　已知函数f(x)＝lnx－kx＋1.(1)若f(x)≤0恒成立，求实数k的取值范围；(2)证明：1+1221+132…1+1n2＜e^(〖(2))/3〗(n∈N*，n＞1)．[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　证明(2)中不等式的关键是利用(1)中的结论，取k＝1时得到不等式lnx≤x－1，从而得到x＞1时，lnx＜x－1，令x＝1＋1n2，即可构造不等式ln1+1n2＜1n2＜1n2-1＝121n-1-1n+1，从而通过裂项相消法求出ln1+122＋ln1+132＋…＋ln1+1n2的取值范围，从而证明结论．[跟进训练]3．(2022·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)＝xeax－ex.(1)当a＝1时，讨论f(x)的单调性；(2)当x>0时，f(x)<－1，求实数a的取值范围；(3)设n∈N*，证明：112+1+122+2＋…＋1n2+n>ln(n＋1)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　3/3