2025年高考数学一轮讲义第1章　高考研究在线1　预备知识在高考中的五大创新命题点　

由八省联考开幕的新高考打破了本单元命题的“送分”模式，如：2021年新高考Ⅱ卷第20题第(2)问将三点共线问题与充要条件交汇在一起，2022年北京卷第9题将集合与立体几何动点轨迹问题交汇在一起，2022年新高考Ⅱ卷第17题第(2)问将集合与数列交汇在一起，2023年新高考Ⅰ卷第7题将充要条件与数列交汇在一起……可见，高考命题在考查基础知识点的同时，也加强了知识模块间的相互渗透．因此，在备考复习中，我们既要熟练掌握数学的本质(概念、性质、运算、思想方法等)，也要重视知识间的内在联系，同时提升自己分析问题和解决问题的能力，全方位、多角度备战新高考．命题点一　集合运算的创新考法[典例1]　(1)(2021·八省联考)已知M，N均为R的子集，若N∪(∁RM)＝N，则(　　)A．M⊆N　　　　　　　B．N⊆MC．M⊆∁RN　D.∁RN⊆M(2)(2020·新高考Ⅰ卷)某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是(　　)A．62%　　B．56%C．46%　　D．42%[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　两道考题与我们日常训练的题目的风格有点不同，尤其是第(1)题过于抽象，如果不深入思考很难找到解题的切入点；第(2)3/3 题情境化较浓，若对容斥原理(人教A版必修第一册P15阅读与思考)不熟，也难以解答．实际上两道试题均考查Venn图的应用，考查直观想象素养．命题点二　集合与其他知识的交汇问题[典例2]　(2022·北京高考)已知正三棱锥PABC的六条棱长均为6，S是△ABC及其内部的点构成的集合．设集合T＝{Q∈S|PQ≤5}，则T表示的区域的面积为(　　)A．3π4　B．πC．2π　D．3π[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　该题源自人教A版必修第二册P163T5，虽然是空间动态问题，但整体难度不大，解答的关键是发现集合T＝{Q∈S|PQ≤5}的本质，同时抓住正三棱锥PABC的顶点P到平面ABC距离(PO)的不变性，借助直角三角形的三边关系求出圆O的半径．命题点三　基于数学知识的逻辑推理问题[典例3]　(2021·八省联考)关于x的方程x2＋ax＋b＝0，有下列四个命题：甲：x＝1是该方程的根；乙：x＝3是该方程的根；丙：该方程两根之和为2；丁：该方程两根异号.如果只有一个假命题，则该命题是(　　)A．甲　　　B．乙C．丙　　　D．丁[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　此题是基于数学知识背景下的逻辑推理问题，实际考查中，也可能基于数学文化、生活生产等，体现对逻辑推理素养及批判性思维能力的考查.命题点四　不等式与基本不等式问题3/3 [典例4]　(多选)(2020·新高考Ⅰ卷)已知a>0，b>0，且a＋b＝1，则(　　)A．a2＋b2≥12　B．2a－b>12C．log2a＋log2b≥－2　D．a+b≤2[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　本题融不等式的性质、基本不等式、对数函数、指数函数等知识于一体，较为综合，解答此题的关键是熟知知识间的联系，如教材中重要不等式与基本不等式的关系：若a＞0，b＞0，则ab≤a+b2≤a2+b22.命题点五　充要条件的探求与证明问题[典例5]　(1)(2023·新高考Ⅰ卷)设Sn为数列{an}的前n项和，设甲：{an}为等差数列；乙：Snn为等差数列．则(　　)A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件(2)(2021·新高考Ⅱ卷)已知椭圆C的方程为x2a2+y2b2＝1(a>b>0)，右焦点为F(2，0)，且离心率为63.①求椭圆C的方程；②设M，N是椭圆C上的两点，直线MN与曲线x2＋y2＝b2(x>0)相切，证明：M，N，F三点共线的充要条件是|MN|＝3.[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　第(2)题借助直线与椭圆的位置关系，考查学生对充分性、必要性的认知和推理论证能力．教材中存在大量的充要条件的习题证明，如人教A版必修第一册P22练习T3、P23练习T5、P85练习T3等等，仔细体会教材习题的设计意图，有效备考，实现教考无缝衔接．3/3