2024年高考数学一轮复习（新高考版） 第4章　§4.8　正弦定理、余弦定理

§4.8正弦定理、余弦定理第四章　三角函数与解三角形 1.掌握正弦定理、余弦定理及其变形.2.理解三角形的面积公式并能应用.3.能利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题.考试要求 内容索引第一部分第二部分第三部分落实主干知识探究核心题型课时精练 落实主干知识第一部分 定理正弦定理余弦定理内容＝＝＝2Ra2＝；b2＝；c2＝________________b2＋c2－2bccosAc2＋a2－2cacosBa2＋b2－2abcosC1.正弦定理、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则 变形(1)a＝2RsinA，b＝，c＝；(2)sinA＝，sinB＝，sinC＝；(3)a∶b∶c＝__________________cosA＝；cosB＝；cosC＝____________2RsinB2RsinCsinA∶sinB∶sinC 2.三角形解的判断A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝bsinAbsinA<a<ba≥ba>b解的个数一解两解一解一解 (2)S＝＝＝；(3)S＝(r为三角形的内切圆半径). 在△ABC中，常有以下结论：(1)∠A＋∠B＋∠C＝π.(2)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.(3)a>b⇔A>B⇔sinA>sinB，cosA<cosB. (5)三角形中的射影定理在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB；b＝acosC＋ccosA；c＝bcosA＋acosB. 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.()(2)在△ABC中，若sinA>sinB，则A>B.()(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素.()(4)当b2＋c2－a2>0时，△ABC为锐角三角形.()√××× 1.在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC等于√在△ABC中，设AB＝c＝5，AC＝b＝3，BC＝a＝7， 2.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为4，a＝2，B＝30°，则c等于√ 3.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B＝30°，b＝，c＝2，则C＝.45°或135°因为c>b，B＝30°，所以C＝45°或C＝135°. 探究核心题型第二部分 例1(12分)(2022·新高考全国Ⅰ)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(1)若C＝，求B；[切入点：二倍角公式化简](2)求的最小值.[关键点：找到角B与角C，A的关系]题型一利用正弦定理、余弦定理解三角形 解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式，则考虑用正弦定理，以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到.思维升华 跟踪训练1(2022·全国乙卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinCsin(A－B)＝sinBsin(C－A).(1)证明：2a2＝b2＋c2； 方法一由sinCsin(A－B)＝sinBsin(C－A)，可得sinCsinAcosB－sinCcosAsinB＝sinBsinCcosA－sinBcosCsinA，可得accosB－bccosA＝bccosA－abcosC，即accosB＋abcosC＝2bccosA(*). 2bccosA＝b2＋c2－a2，将上述三式代入(*)式整理，得2a2＝b2＋c2.方法二因为A＋B＋C＝π，所以sinCsin(A－B)＝sin(A＋B)sin(A－B)＝sin2Acos2B－cos2Asin2B＝sin2A(1－sin2B)－(1－sin2A)sin2B＝sin2A－sin2B， 同理有sinBsin(C－A)＝sin(C＋A)sin(C－A)＝sin2C－sin2A.又sinCsin(A－B)＝sinBsin(C－A)，所以sin2A－sin2B＝sin2C－sin2A，即2sin2A＝sin2B＋sin2C，故由正弦定理可得2a2＝b2＋c2. 由(1)及a2＝b2＋c2－2bccosA得，a2＝2bccosA，所以2bc＝31.因为b2＋c2＝2a2＝50，所以(b＋c)2＝b2＋c2＋2bc＝81，得b＋c＝9，所以△ABC的周长l＝a＋b＋c＝14. 命题点1三角形的形状判断例2(1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c－acosB＝(2a－b)cosA，则△ABC的形状为A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形题型二正弦定理、余弦定理的简单应用√ 因为c－acosB＝(2a－b)cosA，C＝π－(A＋B)，所以由正弦定理得sinC－sinAcosB＝2sinAcosA－sinBcosA，所以sinAcosB＋cosAsinB－sinAcosB＝2sinAcosA－sinBcosA，所以cosA(sinB－sinA)＝0，所以cosA＝0或sinB＝sinA，所以△ABC为等腰三角形或直角三角形. A.直角三角形B.等边三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形√ 即a2＋c2－b2＝2a2，所以a2＋b2＝c2.所以△ABC为直角三角形，但无法判断两直角边是否相等. 又sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC，所以cosBsinC＝sinBcosC＋cosBsinC，即sinBcosC＝0，又sinB≠0，所以cosC＝0，又角C为△ABC的内角， 又(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，所以b2＋c2－a2＝bc，所以△ABC是等边三角形. 判断三角形形状的两种思路(1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状.(2)化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角形的形状.此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论. 命题点2三角形的面积例3(2022·浙江)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.(1)求sinA的值； (2)若b＝11，求△ABC的面积. 所以sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋sinCcosA 三角形面积公式的应用原则(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化. 命题点3与平面几何有关的问题例4(2023·厦门模拟)如图，已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，b(1＋cosC)＝csin∠ABC且△ABC的外接圆面积为.(1)求边c的长； 由题意及正弦定理可得sin∠ABC(1＋cosC) 解得b＝8(b＝－3舍去).故sin∠BAM＝sin(∠ABC－∠AMC) 在平面几何图形中研究或求与角有关的长度、角度、面积的最值、优化设计等问题时，通常是转化到三角形中，利用正、余弦定理通过运算的方法加以解决.在解决某些具体问题时，常先引入变量，如边长、角度等，然后把要解三角形的边或角用所设变量表示出来，再利用正、余弦定理列出方程，再解方程即可.若研究最值，常使用函数思想. 跟踪训练2(1)(多选)(2023·合肥模拟)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列四个命题中正确的是A.若acosA＝bcosB，则△ABC一定是等腰三角形B.若bcosC＋ccosB＝b，则△ABC是等腰三角形D.若B＝60°，b2＝ac，则△ABC是直角三角形√√ 对于A，若acosA＝bcosB，则由正弦定理得sinAcosA＝sinBcosB，∴sin2A＝sin2B，则2A＝2B或2A＋2B＝180°，即A＝B或A＋B＝90°，则△ABC为等腰三角形或直角三角形，故A错误；对于B，若bcosC＋ccosB＝b，则由正弦定理得sinBcosC＋sinCcosB＝sin(B＋C)＝sinA＝sinB，即A＝B，则△ABC是等腰三角形，故B正确； 则tanA＝tanB＝tanC，即A＝B＝C，即△ABC是等边三角形，故C正确；对于D，由于B＝60°，b2＝ac，由余弦定理可得b2＝ac＝a2＋c2－ac，可得(a－c)2＝0，解得a＝c，可得A＝C＝B，故△ABC是等边三角形，故D错误. 因为B∈(0，π)， 因为B∈(0，π)， (3)(2022·重庆八中模拟)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，在①c(sinA－sinC)＝(a－b)(sinA＋sinB)；②2bcosA＋a＝2c；③acsinB＝a2＋c2－b2三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.①若，求角B的大小； 若选①，因为c(sinA－sinC)＝(a－b)(sinA＋sinB)，由正弦定理得c(a－c)＝(a－b)(a＋b)，整理得a2＋c2－b2＝ac，若选②，因为2bcosA＋a＝2c， 化简得，a2＋c2－b2＝ac，若选③， ②求sinA＋sinC的取值范围； ③如图所示，当sinA＋sinC取得最大值时，若在△ABC所在平面内取一点D(D与B在AC两侧)，使得线段DC＝2，DA＝1，求△BCD面积的最大值. 令∠ACD＝θ，∠ADC＝α，AB＝AC＝BC＝a，所以sinα＝asinθ.又由余弦定理得，a2＝22＋12－2×2×1×cosα， 所以a2cos2θ＝a2－a2sin2θ＝cos2α－4cosα＋4，所以acosθ＝2－cosα. 课时精练第三部分 基础保分练1.在△ABC中，C＝60°，a＋2b＝8，sinA＝6sinB，则c等于√因为sinA＝6sinB，则由正弦定理得a＝6b，又a＋2b＝8，所以a＝6，b＝1，因为C＝60°，所以由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC，12345678910111213141516 123456789101112131415162.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(a＋b)(sinA－sinB)＝(b＋c)sinC，a＝7，则△ABC外接圆的直径为√ 已知(a＋b)(sinA－sinB)＝(b＋c)sinC，由正弦定理可得(a＋b)(a－b)＝(b＋c)c，化简得b2＋c2－a2＝－bc，12345678910111213141516 12345678910111213141516 12345678910111213141516√ 12345678910111213141516所以由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA＝16－12＝4，解得a＝2. √12345678910111213141516 12345678910111213141516 √12345678910111213141516 而0°<A<180°，解得A＝135°，显然0°<B<90°，则B＝30°，C＝15°，12345678910111213141516 123456789101112131415166.(2023·衡阳模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2cosB(acosC＋ccosA)＝b，lgsinC＝lg3－lg2，则△ABC的形状为A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形√ ∵2cosB(acosC＋ccosA)＝b，∴根据正弦定理得，2cosB(sinAcosC＋cosAsinC)＝sinB，∴2cosBsin(A＋C)＝sinB，∴2cosBsin(π－B)＝sinB，即2cosBsinB＝sinB，∵B∈(0，π)，∴sinB≠0，12345678910111213141516 12345678910111213141516 12345678910111213141516 设BD＝k(k>0)，则CD＝2k.根据题意作出大致图形，如图.在△ABD中，由余弦定理得AB2＝AD2＋BD2－12345678910111213141516 12345678910111213141516 12345678910111213141516 8.(2023·宜春模拟)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bsinC＋csinB＝4asinBsinC，b2＋c2－a2＝8，则△ABC的面积为.12345678910111213141516 ∵bsinC＋csinB＝4asinBsinC，sinBsinC>0，结合正弦定理可得sinBsinC＋sinCsinB＝4sinAsinBsinC，结合余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，可得2bccosA＝8，12345678910111213141516 123456789101112131415169.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosC＝(2a－c)cosB.(1)求B； 由正弦定理，得sinBcosC＝2sinAcosB－cosBsinC，即sinBcosC＋cosBsinC＝2sinAcosB，∴sin(B＋C)＝2sinAcosB，∴sinA＝2sinAcosB，12345678910111213141516 12345678910111213141516(2)若b＝3，sinC＝2sinA，求△ABC的面积.∵sinC＝2sinA，∴由正弦定理得c＝2a，∴由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋4a2－2a2＝9，即3a2＝9， 12345678910111213141516 12345678910111213141516 (2)若b，a，c成等比数列，判断△ABC的形状.∵b，a，c成等比数列，∴a2＝bc，即b2＋c2－bc＝bc，∴(b－c)2＝0，∴b＝c，∴△ABC为等边三角形.12345678910111213141516 11.(多选)对于△ABC，有如下判断，其中正确的是A.若cosA＝cosB，则△ABC为等腰三角形B.若A>B，则sinA>sinBC.若a＝8，c＝10，B＝60°，则符合条件的△ABC有两个D.若sin2A＋sin2B<sin2C，则△ABC是钝角三角形12345678910111213141516综合提升练√√√ 对于A，若cosA＝cosB，则A＝B，所以△ABC为等腰三角形，故A正确；对于B，若A>B，则a>b，即sinA>sinB成立，故B正确；12345678910111213141516 12345678910111213141516 √12345678910111213141516 12345678910111213141516 因为sinA>0，sinB>0，所以(sinA＋sinB)2≥4sinAsinB，12345678910111213141516 123456789101112131415166 1234567891011121314151614.在△ABC中，已知AB＝4，AC＝7，BC边的中线AD＝，那么BC＝.9 由题意知BD＝CD，∠ADB＋∠ADC＝π，所以cos∠ADB＋cos∠ADC＝0，12345678910111213141516 12345678910111213141516所以BC＝9. 拓展冲刺练√√√12345678910111213141516 12345678910111213141516 12345678910111213141516 对于D，如图所示，12345678910111213141516 16.如图，△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c.已知a2＋c2＝b2＋ac，则B＝.若线段AC的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，且BC＝4，DE＝.则△BCE的面积为.12345678910111213141516 而a2＋c2＝b2＋ac，又AC的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，12345678910111213141516 12345678910111213141516