2024年新高考数学一轮复习：第32讲 正弦定理、余弦定理的应用（解析版）

第31讲正弦定理、余弦定理的应用1．仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①)．2．方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．3．方向角：相对于某一正方向的水平角．(1)北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图③)．(2)北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向．(3)南偏西等其他方向角类似．区分两种角(1)方位角：从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角．(2)方向角：正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角．4．坡角与坡度(1)坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④，角θ为坡角)．(2)坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i为坡度)．坡度又称为坡比．1、（2023年高考真题新高考Ⅱ卷）记的内角的对边分别为a，b，c，已知面积为，若D为BC中点，且．（1）若，求；（2）若，求b，c．【解析】（1）（方法一）由面积为，可知，又在中，有由，可得，21 故，代入可得在中，由余弦定理可得即，解得在中，故，有（方法二）D为BC中点，，则过A作，垂足为E，在中，，（2）在中，由中线定理可得即，所以，由和，所以又，又，21 因，可得.1、为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩A，B(如图)，要测量A，B两点的距离，测量人员在岸边定出基线BC，测得BC＝50m，∠ABC＝105°，∠BCA＝45°．就可以计算出A，B两点的距离为____________．A．20mB．30mC．40mD．50m【答案】：D【解析】：由正弦定理得，则AB＝50(m)．2、已知△ABC的面积S＝(a2＋b2－c2)，则角C的大小为(　　)A.135°B.45°C.60°D.120°【答案】B【解析】因为S＝(a2＋b2－c2)＝absinC，所以a2＋b2－c2＝2absinC，所以c2＝a2＋b2－2absinC.由余弦定理，得sinC＝cosC，所以C＝45°.3、一块形状近似为三角形的草坪，若其中两角的正切值分别为与，且最长的边为m，则最短的边为(　　)A.mB.2mC.mD.5m【答案】C【解析】记草坪为△ABC，tanA＝，tanB＝.因为C＝π－(A＋B)，所以tanC＝－tan(A＋B)＝－＝－1.又因为0＜C＜π，所以C＝，所以边AB最长，即AB＝m．又因为tanA＜tanB，A，B∈，所以角A最小，BC边为最短边．由且A∈，得sinA＝.又由正弦定理＝，得BC＝AB·＝(m).4、（2022年河北省承德市高三模拟试卷）在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且B21 为锐角，若＝，sinB＝，S△ABC＝，则b的值为________．【答案】【解析】由＝，可得＝，故a＝c，①由S△ABC＝acsinB＝且sinB＝得ac＝5，②联立①，②得a＝5，且c＝2.由sinB＝且B为锐角知cosB＝，由余弦定理知b2＝25＋4－2×5×2×＝14，b＝.故答案为：.考向一　利用正弦、余弦定理解决实际问题例1、（2022年江苏省镇江市高三模拟试卷）云台阁，位于镇江西津渡景区，全全落于云台山北峰，建筑形式具有宋､元古建特征.如图，小明同学为测量云台阁的高度，在云台阁的正东方向找到一座建筑物AB，高为12，在它们的地面上的点M（B，M，D三点共线）测得楼顶A，云台阁顶部C的仰角分别为15°和60°，在楼顶A处测得阁顶部C的仰角为30°，则小明估算云台阁的高度为（）（，，精确到1）A.42B.45C.51D.57【答案】D21 【解析】【详解】因为，所以在中，，故，在中，，则，所以由正弦定理得，故，所以在中，，故.故选：D.变式1、（2022年江苏省徐州市高三模拟试卷）如图，有一壁画，最高点A处离地面12m，最低点B处离地面7m.若从离地高4m的C处观赏它，若要视角最大，则离墙的距离为（）A.B.3mC.4mD.【答案】D【解析】【分析】设离墙的距离为为，求得关于的表达式，结合基本不等式求得取得最大值时的值.【详解】设离墙的距离为为，过作，交的延长线于，则，，所以21 ，当且仅当时等号成立.由于，所以当最大时，最大，此时.故选：D变式2、如图，有一段河流，河的一侧是以O为圆心，半径为10m的扇形区域OCD，河的另一侧是一段笔直的河岸l，岸边有一烟囱AB(不计B离河岸的距离)，且OB的连线恰好与河岸l垂直，设OB与圆弧的交点为E．经测量，扇形区域和河岸处于同一水平面，在点C，点O和点E处测得烟囱AB的仰角分别为45°，30°和60°．(1)求烟囱AB的高度；(2)如果要在CE间修一条直路，求CE的长．【解析】：(1)设AB的高度为h．在△CAB中，因为∠ACB＝45°，所以CB＝h．在△OAB中，因为∠AOB＝30°，∠AEB＝60°，所以OB＝h，EB＝h．由题意得h－＝10，解得h＝15．故烟囱AB的高度为15m．21 (2)在△OBC中，cos∠COB＝＝＝．所以在△OCE中，CE2＝OC2＋OE2－2OC·OE·cos∠COE＝300＋300－600×＝100．故CE的长为10m．方法总结：(1)选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．考向二利用正弦、余弦定理解决范围问题例2、（2022年辽宁省大连市高三模拟试卷）在①，②，③．这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知锐角三角形的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，__________，且．（1）求角C的值；（2）求a的取值范围．注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分．【答案】（1）（2）【解析】【小问1详解】选择条件①．∵，∴由正弦定理，得．∵，∴，∴，∴，即，∴．∵，∴，∴．21 选择条件②．由，得，∴．则由余弦定理，得．∵，∴．选择条件③．∵，∴，结合，得．由正弦定理，得，即．则由余弦定理，得．∵，∴．【小问2详解】∵，∴．∵为锐角三角形，且，∴，∴．又，∴，∴．由正弦定理，得，∴，∴，∴，即a的取值范围为．变式1、（2022年福建省福州四校联盟高三模拟试卷）某景区的平面图如图所示，其中AB，AC为两条公路，，M，N为公路上的两个景点，测得，，为了拓展旅游业务，拟在景21 区内建一个观景台P，为了获得最佳观景效果，要求P对M，N的视角.现需要从观景台P到M，N建造两条观光路线PM，PN.（1）求M，N两地间的直线距离；（2）求观光线路长的取值范围.【解析】【小问1详解】由余弦定理得.【小问2详解】设，由正弦定理得，，所以，所以，由于，所以.即长的取值范围是（单位：）.21 变式2、（2022年河北省衡水中学高三模拟试卷）已知的内角，，的对边分别为，，，且满足．（1）求；（2）若，为边的中点，求的最小值．【解析】：（1）中，内角，，的对边分别为，，，且．利用正弦定理得：，整理得：，即，由于，所以：．（2）因为的面积为，解得；在中，,两边同平方得：，当且仅当时，等号成立，所以，即的最小值为．变式3、（2022·江苏宿迁·高三期末）在①；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答.问题：在中，内角的对边分别为，且__________.（1）求角；（2）若是锐角三角形，且，求的取值范围.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【解析】：（1）选择①：条件即，由正弦定理可知，，21 在中，，所以，所以，且，即，所以；选择②：条件即，即，在中，，所以，则，所以，所以.选择③：条件即，所以，在中，，所以.（2）由（1）知，，所以，由正弦定理可知，，由是锐角三角形得，所以.所以，所以，故的取值范围为.方法总结：一边一对角问题求最值或范围问题，有两种处理方法：(1)利用正弦定理转化成角的函数．(2)利用余弦定理转化成边的函数．考向三利用正弦、余弦定理解决多边形的问题例3、（2022·江苏常州·高三期末）已知在四边形中，，，，且，．（1）求；（2）求．【解析】21 （1）在中，则，又在中，，故（2）设，，，，则，由即可知，即在中，，又，则有故在中，即，解之得，即的长为7变式1、（2022年重庆市巴蜀中学高三模拟试卷）重庆奉节小寨天坑景区拥有世界上深度和容积最大的岩溶漏斗，吸引橙子辅导来此参观留影.为了测量天坑边上如图1所示的，两点间的距离，现在旁边取两点，测得米，，，（假设，，21 四点在同一平面上，则两点的距离为______米.【解析】如图所示：在中，，，，，由正弦定理得：，解得，在中，，，，，所以，在中，由余弦定理得，，所以所以两点的距离为.故答案为：变式2、（2022·江苏海安·高三期末）在平面四边形ABCD中，∠BAD＝2∠ACB＝4∠BAC，AB＝2，BC＝－，CD＝．（1）求∠ACB的大小；（2）求四边形ABCD的面积．【解析】（1）由题意，设，则，，在中，由正弦定理有，即，解得.21 所以，因为，所以.（2）由（1），可知，由正弦定理有，即，解得，在中，由余弦定理有，即，解得，四边形ABCD的面积.变式3、（2022·湖北·高三期末）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足．（1）求角A；（2）如图，若，点D是外一点，，设，求平面四边形面积的最大值及相应的值．【解析】21 （1）∵，由正弦定理知，，由余弦定理知，.（2）由（1）以及，得是等边三角形．设，则．余弦定理可得：，则．故四边形面积．∵，∴，∴当时，S取得最大值为，故平面四边形面积的最大值为，此时1、（2022·湖北襄阳·高三期末）在中，，，则角的最大值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】设，则，由余弦定理可得，当且仅当时，等号成立，因为，则.故选：A.2、（2022·江苏如东·高三期末）某校数学建模社团学生为了测量该校操场旗杆的高AB，先在旗杆底端的正西方点C处测得杆顶的仰角为45°，然后从点C处沿南偏东30°方向前进20m到达点D处，在D处测得杆顶的仰角为30°，则旗杆的高为（）A．20mB．10mC．mD．m21 【答案】B【解析】如图示，AB表示旗杆，由题意可知：，所以设，则，在中，,即，解得，（舍去），故选：B.3、（2022年福建省龙岩市高三模拟试卷）如图，中，角的平分线交边于点，，，，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】在中，根据正弦定理得，21 由，所以，所以，所以，则，所以，在中，由余弦定理得，所以．故选：D．4、（2022年湖北省黄冈市高三模拟试卷）在锐角三角形中，已知，，分别是角，，的对边，且，，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】，又为锐角三角形，，，且，即，，即，，．故选:C．5、（2022年福建省福州延安中学高三模拟试卷）给出以下三个条件：①且；②，；③；请从这三个条件中任选一个将下面的题目补充完整，并求解．在锐角△ABC中，，____．（1）求角B；21 （2）求△ABC的周长l的取值范围．【解析】【小问1详解】选①，∵且，∴，即，∵，∴（没有注明角的范围的扣1分）选②，，∵，∴，∵，∴．（没有注明角的范围的扣1分）选③，∵，∴由正弦定理可得，，∴，，即，∵，∴．（没有注明角的范围的扣1分）【小问2详解】由正弦定理可得，则△ABC的周长21 ，解得，∴∴，∴．故△ABC的周长l的取值范围为6、（2022年河北省荆州市高三模拟试卷）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足．（1）求角A；（2）如图，若，点D是外一点，，设，求平面四边形面积的最大值及相应的值．【解析】【小问1详解】∵，由正弦定理知，，21 由余弦定理知，.【小问2详解】由（1）以及，得是等边三角形．设，则．余弦定理可得：，则．故四边形面积．∵，∴，∴当时，S取得最大值为，故平面四边形面积的最大值为，此时．21 21