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2023高考数学统考一轮复习课后限时集训32正弦定理余弦定理的综合应用理含解析新人教版202302272139
2023高考数学统考一轮复习课后限时集训32正弦定理余弦定理的综合应用理含解析新人教版202302272139
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课后限时集训(三十二) 正弦定理、余弦定理的综合应用建议用时:40分钟一、选择题1.若点A在点C的北偏东30°,点B在点C的南偏东60°,且AC=BC,则点A在点B的( )A.北偏东15°B.北偏西15°C.北偏东10°D.北偏西10°B [如图所示,由AC=BC得∠CAB=∠CBA=45°.利用内错角相等可知,点A位于点B的北偏西15°,故选B.]2.在200m高的山顶上,测得山下一塔顶与塔底俯角分别为30°,60°,则塔高为( )A.mB.mC.mD.mA [如图,由已知可得∠BAC=30°,∠CAD=30°,∴∠BCA=60°,∴∠ACD=30°,∴∠ADC=120°,又AB=200m,∴AC=m.在△ACD中,由正弦定理,得=,即DC==(m).]\n3.(2020·武昌区模拟)一艘海轮从A处出发,以每小时24海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行,30分钟后到达B处,在C处有一座灯塔,海轮在A处观察灯塔,其方向是南偏东70°,在B处观察灯塔,其方向是北偏东65°,那么B,C两点间的距离是( )A.6海里B.6海里C.8海里D.8海里A [由题意可知:∠BAC=70°-40°=30°,∠ACD=110°,∴∠ACB=110°-65°=45°,∴∠ABC=180°-30°-45°=105°.又AB=24×0.5=12,在△ABC中,由正弦定理得=,即=,∴BC=6,故选A.]4.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且cos2A+cos2B=2cos2C,则cosC的最小值为( )A.B.C.D.-C [因为cos2A+cos2B=2cos2C,所以1-2sin2A+1-2sin2B=2-4sin2C,得a2+b2=2c2,cosC==≥=,当且仅当a=b时等号成立,故选C.]5.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知(a+b-c)(a+b+c)=3ab,且c=4,则△ABC面积的最大值为( )A.8B.4C.2D.B [由已知等式得a2+b2-c2=ab,则cosC===.由C∈(0,π),所以sinC=.又16=c2=a2+b2-ab≥2ab-ab=ab,则ab≤16,所以S△ABC=absinC≤×16×\n=4.故Smax=4.故选B.]6.(2020·贵州模拟)已知△ABC中,BC边上的中线AD=3,BC=4,∠BAC=60°,则△ABC的周长为( )A.+4B.4+4C.5+4D.2+4A [根据余弦定理:AB2=AD2+BD2-2AD·BD·cos∠ADB=13-12cos∠ADB,AC2=AD2+CD2-2AD·CD·cos∠ADC=13-12cos∠ADC,∴AB2+AC2=26,又BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos∠BAC=26-AB·AC=16,∴AB·AC=10,∴(AB+AC)2=AB2+AC2+2AB·AC=26+20=46,所以△ABC的周长为AB+AC+BC=+4,故选A.]二、填空题7.一船向正北航行,看见正西方向相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上,继续航行半小时后,看见一灯塔在船的南偏西60°,另一灯塔在船的南偏西75°,则这艘船的速度是每小时海里.10 [如图所示,依题意有∠BAC=60°,∠BAD=75°,所以∠CAD=∠CDA=15°,从而CD=CA=10,在Rt△ABC中,AC=10,∠CAB=60°,得AB=5,于是这艘船的速度是=10(海里/时).]8.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足asinB=bcosA.若a=4,则△ABC周长的最大值为.12 [由正弦定理=,可将asinB=bcosA转化为sinAsinB=sinBcosA.又在△ABC中,sinB>0,∴sinA=cosA,即tanA=.∵0<A<π,∴A=.由于a=4,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA,得16=b2+c2-2bc·=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc,又bc≤2,∴(b+c)2≤64,即b+c≤8,∴a+b+c≤12.]9.如图,在△ABC中,D是边AC上的点,且AB=AD,2AB=BD,BC=2BD,则sinC的值为.\n [设AB=a,∵AB=AD,2AB=BD,BC=2BD,∴AD=a,BD=,BC=.在△ABD中,cos∠ADB==,∴sin∠ADB=,∴sin∠BDC=.在△BDC中,=,∴sinC==.]三、解答题10.(2020·福州模拟)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,设bsinA=a(2+cosB).(1)求B;(2)若△ABC的面积等于,求△ABC的周长的最小值.[解] (1)因为bsinA=a(2+cosB).由正弦定理得sinBsinA=sinA(2+cosB).显然sinA>0,所以sinB-cosB=2.所以2sin=2,∵B∈(0,π).所以B-=,∴B=.(2)依题意=,∴ac=4.所以a+c≥2=4,当且仅当a=c=2时取等号.又由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB=a2+c2+ac≥3ac=12.∴b≥2.当且仅当a=c=2时取等号.所以△ABC的周长最小值为4+2.11.(2020·青岛模拟)如图,在平面四边形ABCD中,AB⊥AD,AB=1,AD=,BC=.\n(1)若CD=1+,求四边形ABCD的面积;(2)若sin∠BCD=,∠ADC∈,求sin∠ADC.[解] (1)连接BD,在Rt△ABD中,由勾股定理可得,BD2=AB2+AD2=4,故BD=2,△BCD中,由余弦定理可得,cosC===,因为C为三角形的内角,故C=,所以S△ABD=AB·AD=×1×=,S△BCD=BC·CDsinC=××(1+)×=,故求四边形ABCD的面积S=+.(2)在△BCD中,由正弦定理可得=,所以sin∠BDC==,因为∠ADC∈,所以∠BDC∈,cos∠BDC=,Rt△ABD中,tan∠ADB==,故∠ADB=,所以sin∠ADC=sin=×+×=.1.(2020·南昌模拟)在△ABC中,角A的平分线交BC边于点D,AB=4,AC=6,AD=3,则BC=( )A.B.C.3D.8\nA [由角平分线性质可得,==,故可设BD=2x,CD=3x,△ABD中,由余弦定理可得,cos∠ADB==,△ACD中,由余弦定理可得,cos∠ADC===,∵∠ADB+∠ADC=π,∴cos∠ADB=-cos∠ADC,∴=-,解可得x=,BC=5x=,故选A.]2.(2020·朝阳区二模)圭表(如图①)是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器,它包括一根直立的标竿(称为“表”)和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺(称为“圭”).当正午太阳照射在表上时,日影便会投影在圭面上,圭面上日影长度最长的那一天定为冬至,日影长度最短的那一天定为夏至.图②是一个根据北京的地理位置设计的圭表的示意图,已知北京冬至正午太阳高度角(即∠ABC)为26.5°,夏至正午太阳高度角(即∠ADC)为73.5°,圭面上冬至线与夏至线之间的距离(即DB的长)为a,则表高(即AC的长)为( )图①图②A.B.C.D.D [由题可知:∠BAD=73.5°-26.5°=47°,\n在△BAD中,由正弦定理可知:=,即=,则AD=,又在△ACD中,=sin∠ADC=sin73.5°,所以AC=,故选D.]3.(2020·凉山模拟)如图,在平面四边形ABCD中,∠D=,sin∠BAC=cosB=,AB=13.(1)求AC;(2)求四边形ABCD面积的最大值.[解] (1)在三角形ABC中,sin∠BAC=cosB=,可得AC⊥BC,AB=13,所以BC=AB·cosB=13×=5,AC=AB·sinB=13×=12,所以AC=12.(2)S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC=AC·BC+AD·CD·sinD=×12×5+×AD·CD=30+·AD·CD,在三角形ADC中,AC2=AD2+CD2-2AD·DC·cos≥2AD·DC+DC=3AD·DC,所以3AD·DC≤AC2=122,所以AD·DC≤48,所以S四边形ABCD≤30+·48=30+12.所以四边形ABCD面积的最大值为30+12.1.(2020·泉州模拟)海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象,被誉为“地球给人类保留宇宙秘密的最后遗产”,我国拥有世界上已知最深的海洋蓝洞.若要测量如图所示的海洋蓝洞的口径(即A,B两点间的距离),现取两点C,D,测得CD=80,∠ADB=135°,∠BDC=∠DCA=15°,∠ACB=120°,则图中海洋蓝洞的口径为.\n80 [由已知得,在△ACD中,∠ACD=15°,∠ADC=150°,所以∠DAC=15°,由正弦定理得AC===40(+).在△BCD中,∠BDC=15°,∠BCD=135°,所以∠DBC=30°,由正弦定理=,得BC===160sin15°=40(-).在△ABC中,由余弦定理,得AB2=1600×(8+4)+1600×(8-4)+2×1600×(+)×(-)×=1600×16+1600×4=1600×20=32000,解得AB=80.故图中海洋蓝洞的口径为80.]2.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D,E分别在边AB,BC上,CD=5,CE=3,且△EDC的面积为3.(1)求边DE的长;(2)若AD=3,求sinA的值.[解] (1)如图,在△ECD中,S△ECD=CE·CDsin∠DCE=×3×5×sin∠DCE=3,所以sin∠DCE=.因为0°<∠DCE<90°,所以cos∠DCE==.\n所以DE2=CE2+CD2-2CD·CEcos∠DCE=9+25-2×3×5×=28,所以DE=2.(2)因为∠ACB=90°,所以sin∠ACD=sin(90°-∠DCE)=cos∠DCE=,在△ADC中,由正弦定理得=,即=,所以sinA=.
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高考 - 一轮复习
发布时间:2022-08-25 17:31:19
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文章作者:U-336598
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