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2023高考数学统考一轮复习课后限时集训31正弦定理余弦定理理含解析新人教版202302272138
2023高考数学统考一轮复习课后限时集训31正弦定理余弦定理理含解析新人教版202302272138
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课后限时集训(三十一) 正弦定理、余弦定理建议用时:40分钟一、选择题1.(2020·大连测试)在△ABC中,AB=2,AC=3,B=60°,则cosC=( )A.B.±C.-D.D [由正弦定理得=,∴sinC===.又AB<AC,∴0<C<B=60°,∴cosC==.故选D.]2.(2020·南昌模拟)在△ABC中,已知C=,b=4,△ABC的面积为2,则c=( )A.2B.2C.2D.B [由S=absinC=2a×=2,解得a=2.由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC=12,故c=2.]3.对于△ABC,有如下命题,其中正确的是( )A.若sin2A=sin2B,则△ABC为等腰三角形B.若sinA=cosB,则△ABC为直角三角形C.若sin2A+sin2B+cos2C<1,则△ABC为钝角三角形D.若AB=,AC=1,B=30°,则△ABC的面积为C [对于A项,∵sin2A=sin2B,∴A=B或2A+2B=π,即A+B=,∴△ABC是等腰三角形或直角三角形,故A错误;对于B项,∵sinA=cosB,∴A-B=或A+B=,∴△ABC不一定是直角三角形,故B错误;对于C项,sin2A+sin2B<1-cos2C=sin2C,∴a2+b2<c2,∴△ABC为钝角三角形,C正确;对于D项,由正弦定理,得sinC==,且AB>AC,∴C=60°或C=120°,∴A=90°或A=30°,∴S△ABC=AC·ABsinA=或,D不正确.故选C.]\n4.(2020·全国卷Ⅲ)在△ABC中,cosC=,AC=4,BC=3,则cosB=( )A.B.C.D.A [由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC×BC×cosC=16+9-2×4×3×=9,AB=3,所以cosB==,故选A.]5.(2020·毕节模拟)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=,△ABC的周长为5+,(sinB-sinC)2=sin2A-sinBsinC,则△ABC的面积为( )A.B.C.D.C [由题意可得:a=,△ABC的周长为5+,可得b+c=5,因为(sinB-sinC)2=sin2A-sinBsinC,由正弦定理及余弦定理可得:b2+c2-a2=bc=2bccosA,因为A∈(0,π),所以cosA=,A=,a2=(b+c)2-2bc-2bccosA,所以10=25-2bc-bc,所以bc=5,所以S△ABC=bcsinA=×5×=,故选C.]6.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,asin2B=bcosAcosB,则△ABC的形状是( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定B [由asin2B=bcosAcosB得sinAsin2B=sinBcosAcosB,即sinB(cosAcosB-sinAsinB)=0,即sinBcos(A+B)=0,∵sinB≠0,∴cos(A+B)=0,又∵0<A+B<π,∴A+B=,故选B.]二、填空题7.在△ABC中,A=,a=c,则=.1 [由a=c得sinA=sinC,即sin=sinC,\n∴sinC=,又0<C<,∴C=,从而B=,∴b=c,因此=1.]8.(2019·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知bsinA+acosB=0,则B=. [∵bsinA+acosB=0,∴=.由正弦定理,得-cosB=sinB,∴tanB=-1.又B∈(0,π),∴B=.]9.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=2,B=,C=,则△ABC的面积为.+1 [∵b=2,B=,C=,由正弦定理=,得c===2,A=π-=,∴sinA=sin=sincos+cossin=.则S△ABC=bc·sinA=×2×2×=+1.]三、解答题10.(2019·北京高考)在△ABC中,a=3,b-c=2,cosB=-.(1)求b,c的值;(2)求sin(B-C)的值.[解] (1)由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,得b2=32+c2-2×3×c×.因为b=c+2,所以(c+2)2=32+c2-2×3×c×.解得c=5.所以b=7.\n(2)由cosB=-得sinB=.由正弦定理得sinC=sinB=.在△ABC中,∠B是钝角,所以∠C为锐角.所以cosC==.所以sin(B-C)=sinBcosC-cosBsinC=.11.(2020·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cos2+cosA=.(1)求A;(2)若b-c=a,证明:△ABC是直角三角形.[解] (1)由已知得sin2A+cosA=,即cos2A-cosA+=0.所以2=0,cosA=.由于0<A<π,故A=.(2)证明:由正弦定理及已知条件可得sinB-sinC=sinA.由(1)知B+C=,所以sinB-sin=sin.即sinB-cosB=,sin=.由于0<B<,故B=.从而△ABC是直角三角形.1.已知△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,△ABC的外接圆的面积为3π,且cos2A-cos2B+cos2C=1+sinAsinC,则△ABC的最大边长为( )A.2B.3C.D.2\nC [由cos2A-cos2B+cos2C=1+sinAsinC得1-sin2A-1+sin2B+1-sin2C=1+sinAsinC,即-sin2A+sin2B-sin2C=sinAsinC,由正弦定理得b2-a2-c2=ac,即c2+a2-b2=-ac,则cosB===-,则B=150°,即最大值的边为b,∵△ABC的外接圆的面积为3π,设外接圆的半径为R,∴πR2=3π,得R=,则=2R=2,即b=2sinB=2×=,故选C.]2.(2020·广西桂林模拟)在△ABC中,若=,则△ABC的形状是( )A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形D [由已知===,所以=或=0,即C=90°或=,由正弦定理,得sinCcosC=sinBcosB,即sin2C=sin2B,因为B,C均为△ABC的内角,所以2C=2B或2C+2B=180°,所以B=C或B+C=90°,所以△ABC为等腰三角形或直角三角形,故选D.]3.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a2-(b-c)2=(2-)bc,sinAsinB=cos2,BC边上的中线AM的长为.(1)求角A和角B的大小;(2)求△ABC的面积.[解] (1)由a2-(b-c)2=(2-)bc,得a2-b2-c2=-bc,∴cosA==,又0<A<π,∴A=.由sinAsinB=cos2,得sinB=,即sinB=1+cosC,则cosC<0,即C为钝角,∴B为锐角,且B+C=,\n则sin=1+cosC,化简得cos=-1,解得C=,∴B=.(2)由(1)知,a=b,在△ACM中,由余弦定理得AM2=b2+-2b··cosC=b2++=()2,解得b=2,故S△ABC=absinC=×2×2×=.1.已知△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,满足cos2A-cos2B+cos2C=1+sinAsinC,且sinA+sinC=1,则△ABC的形状为( )A.等边三角形B.等腰直角三角形C.顶角为150°的等腰三角形D.顶角为120°的等腰三角形D [∵cos2A-cos2B+cos2C=1+sinAsinC,∴(1-sin2A)-(1-sin2B)+(1-sin2C)=1+sinAsinC,∴可得sin2A+sin2C-sin2B=-sinAsinC,∴根据正弦定理得a2+c2-b2=-ac,∴由余弦定理得cosB===-,∵B∈(0°,180°),∴B=120°,∵sin2B=sin2A+sin2C+sinAsinC.∴变形得=(sinA+sinC)2-sinAsinC,又∵sinA+sinC=1,得sinAsinC=,∴上述两式联立得sinA=sinC=,∵0°<A<60°,0°<C<60°,∴A=C=30°,∴△ABC是顶角为120°的等腰三角形,故选D.]\n2.[结构不良试题](2020·北京高考)在△ABC中,a+b=11,再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知,求:(1)a的值;(2)sinC和△ABC的面积.条件①:c=7,cosA=-;条件②:cosA=,cosB=.[解] 选条件①:c=7,cosA=-,且a+b=11.(1)在△ABC中,由余弦定理,得cosA===-,解得a=8.(2)∵cosA=-,A∈(0,π),∴sinA=.在△ABC中,由正弦定理,得=,∴sinC===.∵a+b=11,a=8,∴b=3,∴S△ABC=absinC=×8×3×=6.若选条件②:cosA=,cosB=,且a+b=11.(1)∵A∈(0,π),B∈(0,π),cosA=,cosB=,∴sinA=,sinB=.在△ABC中,由正弦定理,可得=,∴===.又∵a+b=11,∴a=6,b=5.(2)sinC=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)\n=sinAcosB+cosAsinB=×+×==.∴S△ABC=absinC=×6×5×=.
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高考 - 一轮复习
发布时间:2022-08-25 17:31:19
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