2023高考数学统考一轮复习课后限时集训31正弦定理余弦定理理含解析新人教版202302272138

课后限时集训(三十一)　正弦定理、余弦定理建议用时：40分钟一、选择题1．(2020·大连测试)在△ABC中，AB＝2，AC＝3，B＝60°，则cosC＝(　　)A．B．±C．－D．D　[由正弦定理得＝，∴sinC＝＝＝.又AB＜AC，∴0＜C＜B＝60°，∴cosC＝＝.故选D．]2．(2020·南昌模拟)在△ABC中，已知C＝，b＝4，△ABC的面积为2，则c＝(　　)A．2B．2C．2D．B　[由S＝absinC＝2a×＝2，解得a＝2.由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC＝12，故c＝2.]3．对于△ABC，有如下命题，其中正确的是(　　)A．若sin2A＝sin2B，则△ABC为等腰三角形B．若sinA＝cosB，则△ABC为直角三角形C．若sin2A＋sin2B＋cos2C＜1，则△ABC为钝角三角形D．若AB＝，AC＝1，B＝30°，则△ABC的面积为C　[对于A项，∵sin2A＝sin2B，∴A＝B或2A＋2B＝π，即A＋B＝，∴△ABC是等腰三角形或直角三角形，故A错误；对于B项，∵sinA＝cosB，∴A－B＝或A＋B＝，∴△ABC不一定是直角三角形，故B错误；对于C项，sin2A＋sin2B＜1－cos2C＝sin2C，∴a2＋b2＜c2，∴△ABC为钝角三角形，C正确；对于D项，由正弦定理，得sinC＝＝，且AB＞AC，∴C＝60°或C＝120°，∴A＝90°或A＝30°，∴S△ABC＝AC·ABsinA＝或，D不正确．故选C．]\n4．(2020·全国卷Ⅲ)在△ABC中，cosC＝，AC＝4，BC＝3，则cosB＝(　　)A．B．C．D．A　[由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC×cosC＝16＋9－2×4×3×＝9，AB＝3，所以cosB＝＝，故选A．]5．(2020·毕节模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝，△ABC的周长为5＋，(sinB－sinC)2＝sin2A－sinBsinC，则△ABC的面积为(　　)A．B．C．D．C　[由题意可得：a＝，△ABC的周长为5＋，可得b＋c＝5，因为(sinB－sinC)2＝sin2A－sinBsinC，由正弦定理及余弦定理可得：b2＋c2－a2＝bc＝2bccosA，因为A∈(0，π)，所以cosA＝，A＝，a2＝(b＋c)2－2bc－2bccosA，所以10＝25－2bc－bc，所以bc＝5，所以S△ABC＝bcsinA＝×5×＝，故选C．]6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asin2B＝bcosAcosB，则△ABC的形状是(　　)A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定B　[由asin2B＝bcosAcosB得sinAsin2B＝sinBcosAcosB，即sinB(cosAcosB－sinAsinB)＝0，即sinBcos(A＋B)＝0，∵sinB≠0，∴cos(A＋B)＝0，又∵0＜A＋B＜π，∴A＋B＝，故选B．]二、填空题7．在△ABC中，A＝，a＝c，则＝.1　[由a＝c得sinA＝sinC，即sin＝sinC，\n∴sinC＝，又0＜C＜，∴C＝，从而B＝，∴b＝c，因此＝1.]8．(2019·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsinA＋acosB＝0，则B＝.　[∵bsinA＋acosB＝0，∴＝.由正弦定理，得－cosB＝sinB，∴tanB＝－1.又B∈(0，π)，∴B＝.]9．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝2，B＝，C＝，则△ABC的面积为．＋1　[∵b＝2，B＝，C＝，由正弦定理＝，得c＝＝＝2，A＝π－＝，∴sinA＝sin＝sincos＋cossin＝.则S△ABC＝bc·sinA＝×2×2×＝＋1.]三、解答题10．(2019·北京高考)在△ABC中，a＝3，b－c＝2，cosB＝－.(1)求b，c的值；(2)求sin(B－C)的值．[解]　(1)由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得b2＝32＋c2－2×3×c×.因为b＝c＋2，所以(c＋2)2＝32＋c2－2×3×c×.解得c＝5.所以b＝7.\n(2)由cosB＝－得sinB＝.由正弦定理得sinC＝sinB＝.在△ABC中，∠B是钝角，所以∠C为锐角．所以cosC＝＝.所以sin(B－C)＝sinBcosC－cosBsinC＝.11．(2020·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos2＋cosA＝.(1)求A；(2)若b－c＝a，证明：△ABC是直角三角形．[解]　(1)由已知得sin2A＋cosA＝，即cos2A－cosA＋＝0.所以2＝0，cosA＝.由于0<A<π，故A＝.(2)证明：由正弦定理及已知条件可得sinB－sinC＝sinA．由(1)知B＋C＝，所以sinB－sin＝sin.即sinB－cosB＝，sin＝.由于0<B<，故B＝.从而△ABC是直角三角形．1．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，△ABC的外接圆的面积为3π，且cos2A－cos2B＋cos2C＝1＋sinAsinC，则△ABC的最大边长为(　　)A．2B．3C．D．2\nC　[由cos2A－cos2B＋cos2C＝1＋sinAsinC得1－sin2A－1＋sin2B＋1－sin2C＝1＋sinAsinC，即－sin2A＋sin2B－sin2C＝sinAsinC，由正弦定理得b2－a2－c2＝ac，即c2＋a2－b2＝－ac，则cosB＝＝＝－，则B＝150°，即最大值的边为b，∵△ABC的外接圆的面积为3π，设外接圆的半径为R，∴πR2＝3π，得R＝，则＝2R＝2，即b＝2sinB＝2×＝，故选C．]2．(2020·广西桂林模拟)在△ABC中，若＝，则△ABC的形状是(　　)A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形D　[由已知＝＝＝，所以＝或＝0，即C＝90°或＝，由正弦定理，得sinCcosC＝sinBcosB，即sin2C＝sin2B，因为B，C均为△ABC的内角，所以2C＝2B或2C＋2B＝180°，所以B＝C或B＋C＝90°，所以△ABC为等腰三角形或直角三角形，故选D．]3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2－(b－c)2＝(2－)bc，sinAsinB＝cos2，BC边上的中线AM的长为.(1)求角A和角B的大小；(2)求△ABC的面积．[解]　(1)由a2－(b－c)2＝(2－)bc，得a2－b2－c2＝－bc，∴cosA＝＝，又0＜A＜π，∴A＝.由sinAsinB＝cos2，得sinB＝，即sinB＝1＋cosC，则cosC＜0，即C为钝角，∴B为锐角，且B＋C＝，\n则sin＝1＋cosC，化简得cos＝－1，解得C＝，∴B＝.(2)由(1)知，a＝b，在△ACM中，由余弦定理得AM2＝b2＋－2b··cosC＝b2＋＋＝()2，解得b＝2，故S△ABC＝absinC＝×2×2×＝.1．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足cos2A－cos2B＋cos2C＝1＋sinAsinC，且sinA＋sinC＝1，则△ABC的形状为(　　)A．等边三角形B．等腰直角三角形C．顶角为150°的等腰三角形D．顶角为120°的等腰三角形D　[∵cos2A－cos2B＋cos2C＝1＋sinAsinC，∴(1－sin2A)－(1－sin2B)＋(1－sin2C)＝1＋sinAsinC，∴可得sin2A＋sin2C－sin2B＝－sinAsinC，∴根据正弦定理得a2＋c2－b2＝－ac，∴由余弦定理得cosB＝＝＝－，∵B∈(0°，180°)，∴B＝120°，∵sin2B＝sin2A＋sin2C＋sinAsinC．∴变形得＝(sinA＋sinC)2－sinAsinC，又∵sinA＋sinC＝1，得sinAsinC＝，∴上述两式联立得sinA＝sinC＝，∵0°＜A＜60°，0°＜C＜60°，∴A＝C＝30°，∴△ABC是顶角为120°的等腰三角形，故选D．]\n2．[结构不良试题](2020·北京高考)在△ABC中，a＋b＝11，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：(1)a的值；(2)sinC和△ABC的面积．条件①：c＝7，cosA＝－；条件②：cosA＝，cosB＝.[解]　选条件①：c＝7，cosA＝－，且a＋b＝11.(1)在△ABC中，由余弦定理，得cosA＝＝＝－，解得a＝8.(2)∵cosA＝－，A∈(0，π)，∴sinA＝.在△ABC中，由正弦定理，得＝，∴sinC＝＝＝.∵a＋b＝11，a＝8，∴b＝3，∴S△ABC＝absinC＝×8×3×＝6.若选条件②：cosA＝，cosB＝，且a＋b＝11.(1)∵A∈(0，π)，B∈(0，π)，cosA＝，cosB＝，∴sinA＝，sinB＝.在△ABC中，由正弦定理，可得＝，∴＝＝＝.又∵a＋b＝11，∴a＝6，b＝5.(2)sinC＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)\n＝sinAcosB＋cosAsinB＝×＋×＝＝.∴S△ABC＝absinC＝×6×5×＝.