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2023高考数学统考一轮复习课后限时集训64二项式定理理含解析新人教版202302272174
2023高考数学统考一轮复习课后限时集训64二项式定理理含解析新人教版202302272174
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课后限时集训(六十四) 二项式定理建议用时:25分钟一、选择题1.已知C+2C+22C+23C+…+2nC=729,则C+C+C+…+C等于( )A.63B.64C.31D.32A [运用二项式定理得C+2C+22C+23C+…+2nC=(1+2)n=3n=729,即3n=36,所以n=6,所以C+C+C+…+C=26-C=64-1=63.]2.(2019·全国卷Ⅲ)(1+2x2)(1+x)4的展开式中x3的系数为( )A.12B.16C.20D.24A [展开式中含x3的项可以由“1与x3”和“2x2与x”的乘积组成,则x3的系数为C+2C=4+8=12.]3.(x2+x+y)5的展开式中,x5y2项的系数为( )A.10B.20C.30D.60C [法一:利用二项展开式的通项公式求解.(x2+x+y)5=[(x2+x)+y]5,含y2的项为T3=C(x2+x)3·y2.其中(x2+x)3中含x5的项为Cx4·x=Cx5.所以x5y2项的系数为CC=30.故选C.法二:利用组合知识求解.(x2+x+y)5为5个x2+x+y之积,其中有两个取y,两个取x2,一个取x即可,所以x5y2的系数为CCC=30.故选C.]4.已知(1+x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为( )A.212B.211C.210D.29D [因为展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,所以C=C,解得n=10.根据二项式系数和的相关公式得,奇数项的二项式系数和为2n-1=29.故选D.]5.在(x-2)6展开式中,二项式系数的最大值为a,含x5项的系数为b,则=( )A.B.-C.D.-B [由条件知a=C=20,b=C(-2)1=-12,∴=-,故选B.]\n6.已知的展开式中各项系数的和为2,则该展开式中常数项为( )A.-80B.-40C.40D.80D [令x=1,得展开式的各项系数和为=1+a,∴1+a=2,∴a=1,∴==+,所求展开式中常数项为的展开式的常数项与x项的系数和,展开式的通项为Tr+1=C(2x)5-r(-1)r·=(-1)r25-rCx5-2r,令5-2r=1得r=2;令5-2r=0,无整数解,∴展开式中常数项为8C=80,故选D.]7.若(1+x+x2)6=a0+a1x+a2x2+…+a12x12,则a2+a4+…+a12=( )A.284B.356C.364D.378C [令x=0,则a0=1;令x=1,则a0+a1+a2+…+a12=36, ①令x=-1,则a0-a1+a2-…+a12=1, ②①②两式左右分别相加,得2(a0+a2+…+a12)=36+1=730,所以a0+a2+…+a12=365.又a0=1,所以a2+a4+…+a12=364.]二、填空题8.在1+(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+(1+x)4+(1+x)5的展开式中,含x2项的系数是.20 [含x2项的系数为C+C+C+C=20.]9.在的展开式中,含x5项的系数为.-6 [由=C-C+C-…-C+C,可知只有-C的展开式中含有x5,所以的展开式中含x5项的系数为-CC=-6.]10.在(x+y)n的展开式中,若第7项系数最大,则n的值可能等于.\n11,12,13 [根据题意,分三种情况:①若仅T7系数最大,则共有13项,n=12;②若T7与T6系数相等且最大,则共有12项,n=11;③若T7与T8系数相等且最大,则共有14项,n=13.所以n的值可能等于11,12,13.]1.已知(x+1)10=a1+a2x+a3x2+…+a11x10.若数列a1,a2,a3,…,ak(1≤k≤11,k∈Z)是一个单调递增数列,则k的最大值是( )A.5B.6C.7D.8B [由二项式定理知an=C(n=1,2,3,…,11).又(x+1)10展开式中二项式系数最大项是第6项,∴a6=C,则k的最大值为6.]2.已知(2x-m)7=a0+a1(1-x)+a2(1-x)2+…+a7(1-x)7,若a0+++…+=-128,则下列等式不成立的是( )A.m=2B.a3=-280C.a0=-1D.-a1+2a2-3a3+4a4-5a5+6a6-7a7=14A [令1-x=,即x=,可得7=(1-m)7=a0+++…+=-128,得m=3,则令x=1,得a0=(-1)7=-1.(2x-3)7=[-1-2(1-x)]7,所以a3=C×(-1)7-3×(-2)3=-280.对(2x-3)7=a0+a1(1-x)+a2(1-x)2+…+a7(1-x)7两边求导得14(2x-3)6=-a1-2a2(1-x)-…-7a7(1-x)6,令x=2,得-a1+2a2-3a3+4a4-5a5+6a6-7a7=14.]3.(1+ax)2(1-x)5的展开式中,所有x的奇数次幂项的系数和为-64,则正实数a的值为,展开式中x2项的系数为.3 -11 [设(1+ax)2(1-x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6+a7x7,令x=1得0=a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7, ①令x=-1得(1-a)225=a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7, ②②-①得:(1-a)225=-2(a1+a3+a5+a7),又a1+a3+a5+a7=-64,所以(1-a)225=128,解得a=3或a=-1(舍),则(1+3x)2(1-x)5的展开式中x2项的系数为C32+C×3×C(-1)+C×30×C(-1)2=-11.]4.若x10-x5=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a10(x-1)10,则a5=.251 [x10-x5=[(x-1)+1]10-[(x-1)+1]5,则a5=C-C=252-1=251.]1.中国南北朝时期的著作《孙子算经》中,对同余除法有较深的研究.设a,b,m(m>0)为整数,若a和b被m除所得的余数相同,则称a和b对模m同余,记为a≡b(modm).若a\n=C+C·2+C·22+…+C·220,a≡b(mod10),则b的值可以是( )A.2011B.2012C.2013D.2014A [因为a=(1+2)20=320=910=(10-1)10=C1010-C109+…-C10+1,所以a被10除所得的余数为1.观察各选项,知2011被10除得的余数是1,故选A.]2.已知(a>0)的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等,且展开式的各项系数之和为1024,则下列说法错误的是( )A.展开式中奇数项的二项式系数和为256B.展开式中第6项的系数最大C.展开式中存在常数项D.展开式中含x15项的系数为45A [因为的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等,所以C=C,得n=10.因为展开式中各项系数之和为1024,所以令x=1,得(a+1)10=1024,得a=1.故给定的二项式为,其展开式中奇数项的二项式系数和为×210=512,故A不正确.由n=10可知二项式系数最大的项是展开式的第6项,而展开式的系数与对应的二项式系数相等,故B正确.展开式的通项公式为Tk+1=C(x2)10-k·=Cx(k=0,1,2,…,10),令20-=0,解得k=8,即常数项为第9项,故C正确.令20-=15,得k=2.故展开式中含x15项的系数为C=45.故D正确.]
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高考 - 一轮复习
发布时间:2022-08-25 17:31:34
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文章作者:U-336598
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