2024年新高考数学一轮复习：第31讲 正弦定理、余弦定理（解析版）

第31讲正弦定理、余弦定理1、正弦定理＝＝＝2R(R为△ABC外接圆的半径)．正弦定理的常见变形(1)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；(2)sinA＝，sinB＝，sinC＝；(3)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；(4)＝.2、余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝c2＋a2－2cacosB；c2＝a2＋b2－2abcosC.余弦定理的常见变形(1)cosA＝；(2)cosB＝；(3)cosC＝.3、三角形的面积公式　(1)S△ABC＝aha(ha为边a上的高)；(2)S△ABC＝absinC＝bcsinA＝acsinB；(3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．14 1、（2023年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷））在中，内角的对边分别是，若，且，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】由题意结合正弦定理可得，即，整理可得，由于，故，据此可得，则.故选：C.2、（2023年高考数学新高考I卷）．已知在中，．(1)求；(2)设，求边上的高．【解析】（1），，即，又，，，，即，所以，.（2）由（1）知，，由，由正弦定理，，可得，14 ，.3、（2023年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷））记内角的对边分别为，已知．（1）求；（2）若，求面积．【解析】【小问1详解】因为，所以，解得：．【小问2详解】由正弦定理可得，变形可得：，即，而，所以，又，所以，故的面积为1、在△ABC中，若AB＝，BC＝3，C＝120°，则AC等于(　　)A．1B．2C．3D．4【答案】：A【解析】设在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则a＝3，c＝，C＝120°，由余弦定理得1314 ＝9＋b2＋3b，解得b＝1或b＝－4(舍去)，即AC＝1.2、已知△ABC，a＝，b＝，A＝30°，则c等于(　　)A．2B.C．2或D．均不正确【答案】：C【解析】∵＝，∴sinB＝＝·sin30°＝.∵b>a，∴B＝60°或120°.若B＝60°，则C＝90°，∴c＝＝2.若B＝120°，则C＝30°，∴a＝c＝.3、在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积为，则BC的长为(　　)A.B.C．2D．2【答案】：B【解析】因为S＝AB·ACsinA＝×2×AC＝，所以AC＝1，所以BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcosA＝3.所以BC＝.4、（2022年湖北省宜昌市高三模拟试卷）若在中，角的对边分别为，则（）A.或B.C.D.以上都不对【答案】C【解析】在中，已知，由正弦定理得：，所以，因为，所以，所以，故选：C14 考向一　运用正余弦定理解三角形例1、（2021·全国高三专题练习（理））在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知，，成等差数列.（1）求角B的大小；（2）若，求的值.【解析】（1），，成等差数列，，由正弦定理，，中，，，，又，，，.（2），，，.变式1、（2022年河北省张家口高三模拟试卷）在中，内角所对的边分别为，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（）A.B.C.D.【答案】BC【解析】对于A，因为，所以，所以只有一解；故A错误；对于B，因为，14 所以由正弦定理得，因为，即，所以，所以有两解（，或），故B正确；对于C，因，所以由正弦定理得，即，因为，所以有两解（，或，），故C正确；对于D，因为，所以由正弦定理得，由于，故，所以只有一解，故D错误；故选：BC变式2、（2022年福建省南安国光中学高三模拟试卷）记的内角的对边分别为，．（1）证明：；（2）若，求．【解析】【小问1详解】由题意知，，所以，所以，而，结合正弦定理，所以.【小问2详解】由（1）知：,所以，即，所以解得或（舍）,14 所以.方法总结：本题考查正弦定理、余弦定理的公式．在解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．考查基本运算能力和转化与化归思想．考向二利用正、余弦定理判定三角形形状例2、（河北张家口市·高三月考）（多选题）在中，角、、的对边分别是、、．下面四个结论正确的是（）A．，，则的外接圆半径是4B．若，则C．若，则一定是钝角三角形D．若，则【答案】BC【解析】由正弦定理知，所以外接圆半径是2，故A错误；由正弦定理及可得，，即，由，知，故B正确；因为，所以C为钝角，一定是钝角三角形，故C正确；若，显然，故D错误.故选：BC变式1、在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若＝，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，则△ABC的形状为(　　)A.直角三角形B.等腰非等边三角形C.等边三角形D.钝角三角形【答案】C【解析】因为＝，所以＝，所以b＝c.又(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，所以b2＋c2－a2＝bc，所以cosA＝＝＝.因为A∈(0，π)，所以A＝，所以△ABC是等边三角形．14 变式2、在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c－acosB＝(2a－b)cosA，则△ABC的形状为(　　)A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形【答案】D【解析】因为c－acosB＝(2a－b)cosA，所以由正弦定理，得sinC－sinAcosB＝2sinAcosA－sinBcosA.又C＝π－(A＋B)，所以sinAcosB＋cosAsinB－sinAcosB＝2sinAcosA－sinB·cosA，所以cosA(sinB－sinA)＝0，所以cosA＝0或sinB＝sinA，所以A＝或B＝A，所以△ABC为等腰或直角三角形．方法总结：　判定三角形形状的途径：①化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；②化角为边，通过代数变形找出边之间的关系．正(余)弦定理是转化的桥梁．考查转化与化归思想．考点三运用正余弦定理研究三角形的面积考向三运用正余弦定理解决三角形的面积、周长例3、（2022年江苏省徐州市高三模拟试卷）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.（1）证明：；（2）若，，求的面积.【解析】【小问1详解】在中，由余弦定理及，得，得.由正弦定理得，因为，所以，所以，即.因为A，B，C是三角形的内角，所以，即；【小问2详解】由（1）可得，因为，所以，所以，，14 ，由正弦定理得，，所以，所以的面积.变式1、已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，△ABC的面积为.(1)求sinBsinC的值；(2)若6cosBcosC＝1，a＝3，求△ABC的周长．【解析】(1)由题意，得acsinB＝，即csinB＝.由正弦定理，得sinCsinB＝，故sinBsinC＝.(2)由题意及(1)，得cosBcosC－sinBsinC＝－，即cos(B＋C)＝－，所以B＋C＝，故A＝.由题意，得bcsinA＝，则bc＝8.由余弦定理，得b2＋c2－bc＝9，即(b＋c)2－3bc＝9，则b＋c＝，故△ABC的周长为3＋.变式2、已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sinA＋cosA＝0，a＝2，b＝2.(1)求c的值；(2)设D为边BC上的一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．【解析】(1)由sinA＋cosA＝0，得tanA＝－，所以A＝.在△ABC中，由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA，即28＝4＋c2－4ccos，即c2＋2c－24＝0，解得c＝4（负值舍去）.14 (2)由题设，得∠CAD＝，所以∠BAD＝∠BAC－∠CAD＝，所以＝＝1.又S△ABC＝×4×2×sin＝2，所以△ABD的面积为.变式3、（2022年广州番禺中学高三模拟试卷）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，.（1）求角B；（2）求的面积.【解析】【小问1详解】因为，所以，又，所以，又，所以；【小问2详解】由正弦定理可知：，又，所以，所以.方法总结：1．求三角形面积的方法(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积．(2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积．总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．14 2．已知三角形面积求边、角的方法(1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解．(2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解．1、.（2022·山东泰安·高三期末）在中，“”是“为钝角三角形”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由：若，则为钝角；若，则，此时，故充分性成立.△为钝角三角形，若为钝角，则不成立；∴“”是“△为钝角三角形”的充分不必要条件.故选：.2、（2022年河北省张家口高三模拟试卷）在中，若，则的形状为（）A.钝角三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形【答案】B【解析】由二倍角公式可得,由正弦定理可得，由余弦定理边角互化可得：，化简得，因此或，故为直角三角形，故选：B14 3、（2022·山东莱西·高三期末）在中，，，，，，若的外接圆的半径为，则角___________.【答案】【解析】设角A,B,C的对边分别为a，b，c，由正弦定理，，，，即为钝角，为锐角，，，.故答案为：.4、（2022年河北省承德市高三模拟试卷）在中，内角，，的对边分别为，，，且.（1）求角的大小；（2）若，，求的面积.【解析】（1）由，因为，可得，又由正弦定理，得，即，由余弦定理，得，∵，∴.（2）在中，因为，所以，可得，14 又因为，由正弦定理可得，又由，∴的面积.5、（2022年重庆市高三模拟试卷）在中，角，，的对边分别为，，，且．（1）求的值；（2）若，的面积是，求的值．【解析】【小问1详解】依题意，，由正弦定理得，，所以，由于，所以，所以，则．【小问2详解】由（1）得，所以，由解得，由于，所以，由余弦定理得.14 14