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2024年高考数学一轮复习(新高考版) 第4章 §4.8 正弦定理、余弦定理
2024年高考数学一轮复习(新高考版) 第4章 §4.8 正弦定理、余弦定理
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§4.8 正弦定理、余弦定理考试要求 1.掌握正弦定理、余弦定理及其变形.2.理解三角形的面积公式并能应用.3.能利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题.知识梳理1.正弦定理、余弦定理在△ABC中,若角A,B,C所对的边分别是a,b,c,R为△ABC外接圆半径,则定理正弦定理余弦定理内容===2Ra2=b2+c2-2bccosA;b2=c2+a2-2cacosB;c2=a2+b2-2abcosC变形(1)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC;(2)sinA=,sinB=,sinC=;(3)a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinCcosA=;cosB=;cosC=2.三角形解的判断A为锐角A为钝角或直角图形关系式a=bsinAbsinA<a<ba≥ba>b解的个数一解两解一解一解3.三角形中常用的面积公式(1)S=aha(ha表示边a上的高);22 (2)S=absinC=acsinB=bcsinA;(3)S=r(a+b+c)(r为三角形的内切圆半径).常用结论在△ABC中,常有以下结论:(1)∠A+∠B+∠C=π.(2)任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.(3)a>b⇔A>B⇔sinA>sinB,cosA<cosB.(4)sin(A+B)=sinC;cos(A+B)=-cosC;tan(A+B)=-tanC;sin =cos ;cos =sin .(5)三角形中的射影定理在△ABC中,a=bcosC+ccosB;b=acosC+ccosA;c=bcosA+acosB.(6)三角形中的面积S=.思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.( × )(2)在△ABC中,若sinA>sinB,则A>B.( √ )(3)在△ABC的六个元素中,已知任意三个元素可求其他元素.( × )(4)当b2+c2-a2>0时,△ABC为锐角三角形.( × )教材改编题1.在△ABC中,AB=5,AC=3,BC=7,则∠BAC等于( )A.B.C.D.答案 C解析 在△ABC中,设AB=c=5,AC=b=3,BC=a=7,由余弦定理得cos∠BAC===-,因为∠BAC为△ABC的内角,所以∠BAC=.2.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若△ABC的面积为4,a=2,B=30°,22 则c等于( )A.8B.4C.D.答案 A解析 由S△ABC=acsinB=×2c×=4,得c=8.3.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知B=30°,b=,c=2,则C=.答案 45°或135°解析 由正弦定理得sinC===,因为c>b,B=30°,所以C=45°或C=135°.题型一 利用正弦定理、余弦定理解三角形例1 (12分)(2022·新高考全国Ⅰ)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知=.(1)若C=,求B;[切入点:二倍角公式化简](2)求的最小值.[关键点:找到角B与角C,A的关系]22 思维升华 解三角形时,如果式子中含有角的余弦或边的二次式,要考虑用余弦定理;如果式子中含有角的正弦或边的一次式,则考虑用正弦定理,以上特征都不明显时,则要考虑两个定理都有可能用到.跟踪训练1 (2022·全国乙卷)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A).(1)证明:2a2=b2+c2;(2)若a=5,cosA=,求△ABC的周长.(1)证明 方法一 由sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A),可得sinCsinAcosB-sinCcosAsinB=sinBsinCcosA-sinBcosCsinA,结合正弦定理==,22 可得accosB-bccosA=bccosA-abcosC,即accosB+abcosC=2bccosA(*).由余弦定理可得accosB=,abcosC=,2bccosA=b2+c2-a2,将上述三式代入(*)式整理,得2a2=b2+c2.方法二 因为A+B+C=π,所以sinCsin(A-B)=sin(A+B)sin(A-B)=sin2Acos2B-cos2Asin2B=sin2A(1-sin2B)-(1-sin2A)sin2B=sin2A-sin2B,同理有sinBsin(C-A)=sin(C+A)sin(C-A)=sin2C-sin2A.又sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A),所以sin2A-sin2B=sin2C-sin2A,即2sin2A=sin2B+sin2C,故由正弦定理可得2a2=b2+c2.(2)解 由(1)及a2=b2+c2-2bccosA得,a2=2bccosA,所以2bc=31.因为b2+c2=2a2=50,所以(b+c)2=b2+c2+2bc=81,得b+c=9,所以△ABC的周长l=a+b+c=14.题型二 正弦定理、余弦定理的简单应用命题点1 三角形的形状判断例2 (1)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若c-acosB=(2a-b)cosA,则△ABC的形状为( )A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形答案 D22 解析 因为c-acosB=(2a-b)cosA,C=π-(A+B),所以由正弦定理得sinC-sinAcosB=2sinAcosA-sinBcosA,所以sinAcosB+cosAsinB-sinAcosB=2sinAcosA-sinBcosA,所以cosA(sinB-sinA)=0,所以cosA=0或sinB=sinA,所以A=或B=A或B=π-A(舍去),所以△ABC为等腰三角形或直角三角形.(2)在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,=sin2,则△ABC的形状为( )A.直角三角形B.等边三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形答案 A解析 由cosB=1-2sin2,得sin2=,所以=,即cosB=.方法一 由余弦定理得=,即a2+c2-b2=2a2,所以a2+b2=c2.所以△ABC为直角三角形,但无法判断两直角边是否相等.方法二 由正弦定理得cosB=,又sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC,所以cosBsinC=sinBcosC+cosBsinC,即sinBcosC=0,又sinB≠0,所以cosC=0,又角C为△ABC的内角,22 所以C=,所以△ABC为直角三角形,但无法判断两直角边是否相等.延伸探究 将本例(2)中的条件“=sin2”改为“=,(b+c+a)(b+c-a)=3bc”,试判断△ABC的形状.解 因为=,所以由正弦定理得=,所以b=c.又(b+c+a)(b+c-a)=3bc,所以b2+c2-a2=bc,所以由余弦定理得cosA===.因为A∈(0,π),所以A=,所以△ABC是等边三角形.思维升华 判断三角形形状的两种思路(1)化边:通过因式分解、配方等得出边的相应关系,从而判断三角形的形状.(2)化角:通过三角恒等变换,得出内角的关系,从而判断三角形的形状.此时要注意应用A+B+C=π这个结论.命题点2 三角形的面积例3 (2022·浙江)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知4a=c,cosC=.(1)求sinA的值;(2)若b=11,求△ABC的面积.解 (1)由正弦定理=,得sinA=.因为cosC=,所以sinC=,又=,所以sinA==.(2)由(1)知sinA=,因为a=<c,所以0<A<,22 所以cosA=,所以sinB=sin(A+C)=sinAcosC+sinCcosA=×+×=.因为=,即=,所以c=4,所以S△ABC=bcsinA=×11×4×=22.思维升华 三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式S=absinC=acsinB=bcsinA,一般是已知哪一个角就使用哪一个公式.(2)与面积有关的问题,一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化.命题点3 与平面几何有关的问题例4 (2023·厦门模拟)如图,已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,b(1+cosC)=csin∠ABC且△ABC的外接圆面积为.(1)求边c的长;(2)若a=5,延长CB至M,使得cos∠AMC=,求BM.解 (1)设△ABC的外接圆半径为R,由题意πR2=,解得R=.由题意及正弦定理可得sin∠ABC(1+cosC)=sinCsin∠ABC,因为sin∠ABC≠0,所以1+cosC=sinC,即2sin=1,因为0<C<π,所以C-∈,故C-=,即C=.故c=2RsinC=2××=7.22 (2)因为a=5,c=7,C=,故cosC==,得b2-5b-24=0,解得b=8(b=-3舍去).在△ABC中,由余弦定理可得cos∠ABC==,所以sin∠ABC=.由cos∠AMC=得sin∠AMC=.故sin∠BAM=sin(∠ABC-∠AMC)=sin∠ABCcos∠AMC-cos∠ABCsin∠AMC=,在△ABM中,由正弦定理可得=,则BM=×=5.思维升华 在平面几何图形中研究或求与角有关的长度、角度、面积的最值、优化设计等问题时,通常是转化到三角形中,利用正、余弦定理通过运算的方法加以解决.在解决某些具体问题时,常先引入变量,如边长、角度等,然后把要解三角形的边或角用所设变量表示出来,再利用正、余弦定理列出方程,再解方程即可.若研究最值,常使用函数思想.跟踪训练2 (1)(多选)(2023·合肥模拟)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,下列四个命题中正确的是( )A.若acosA=bcosB,则△ABC一定是等腰三角形B.若bcosC+ccosB=b,则△ABC是等腰三角形C.若==,则△ABC一定是等边三角形D.若B=60°,b2=ac,则△ABC是直角三角形答案 BC解析 对于A,若acosA=bcosB,则由正弦定理得sinAcosA=sinBcosB,∴sin2A=sin2B,则2A=2B或2A+2B=180°,即A=B或A+B=90°,则△ABC为等腰三角形或直角三角形,故A错误;对于B,若bcosC+ccosB=b,则由正弦定理得sinBcosC+sinCcosB=sin(B+C)=sinA=sinB,即A=B,则△ABC是等腰三角形,故B正确;对于C,若==,则由正弦定理得==,则tanA=tanB=tanC,即A=B=C,即△ABC是等边三角形,故C正确;对于D,由于B=60°,b2=ac,由余弦定理可得b2=ac=a2+c2-ac,可得(a-c)2=0,解得22 a=c,可得A=C=B,故△ABC是等边三角形,故D错误.(2)在①b2+ac=a2+c2;②cosB=bcosA;③sinB+cosB=这三个条件中任选一个填在下面的横线中,并解决该问题.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,,A=,b=,求△ABC的面积.解 若选①,则由b2+ac=a2+c2,得ac=a2+c2-b2.由余弦定理得cosB===.因为B∈(0,π),所以B=.由正弦定理得=,即=,解得a=.因为C=π-A-B=π--=,所以sinC=sin =sin=sin cos +cos sin =,所以S△ABC=absinC=×××=.若选②,因为cosB=bcosA,A=,b=,所以cosB=bcosA=cos =.因为B∈(0,π),所以B=.由正弦定理得=,即=,解得a=.22 因为C=π-A-B=π--=,所以sinC=sin =sin=sin cos +cos sin =,所以S△ABC=absinC=×××=.若选③,则由sinB+cosB=,得sin=,所以sin=1.因为B∈(0,π),所以B+∈,所以B+=,所以B=.由正弦定理得=,即=,解得a=.因为C=π-A-B=π--=,所以sinC=sin =sin=sin cos +cos sin =,所以S△ABC=absinC=×××=.(3)(2022·重庆八中模拟)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,在①c(sinA-sinC)=(a-b)(sinA+sinB);②2bcosA+a=2c;③acsinB=a2+c2-b2三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并解答.22 ①若,求角B的大小;②求sinA+sinC的取值范围;③如图所示,当sinA+sinC取得最大值时,若在△ABC所在平面内取一点D(D与B在AC两侧),使得线段DC=2,DA=1,求△BCD面积的最大值.解 ①若选①,因为c(sinA-sinC)=(a-b)(sinA+sinB),由正弦定理得c(a-c)=(a-b)(a+b),整理得a2+c2-b2=ac,所以cosB===,又0<B<π,所以B=.若选②,因为2bcosA+a=2c,由余弦定理得2b·+a=2c,化简得,a2+c2-b2=ac,所以cosB===,又0<B<π,所以B=.若选③,因为acsinB=a2+c2-b2,由余弦定理得acsinB=2accosB,化简得tanB=,又0<B<π,所以B=.②由①得,A+C=,22 则0<A<,sinA+sinC=sinA+sin=sinA+cosA=sin,又<A+<,所以<sin≤1,则sinA+sinC的取值范围是.③当sinA+sinC取得最大值时,A+=,解得A=,又B=,所以△ABC为等边三角形,令∠ACD=θ,∠ADC=α,AB=AC=BC=a,则由正弦定理可得=,所以sinα=asinθ.又由余弦定理得,a2=22+12-2×2×1×cosα,所以a2cos2θ=a2-a2sin2θ=cos2α-4cosα+4,所以acosθ=2-cosα.S△BCD=×a×2sin=acosθ+asinθ=(2-cosα)+sinα=+sin≤+1,当且仅当α=∠ADC=时等号成立,所以△BCD面积的最大值为+1.22 课时精练1.在△ABC中,C=60°,a+2b=8,sinA=6sinB,则c等于( )A.B.C.6D.5答案 B解析 因为sinA=6sinB,则由正弦定理得a=6b,又a+2b=8,所以a=6,b=1,因为C=60°,所以由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC,即c2=62+12-2×6×1×,解得c=.2.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若(a+b)(sinA-sinB)=(b+c)sinC,a=7,则△ABC外接圆的直径为( )A.14B.7C.D.答案 D解析 已知(a+b)(sinA-sinB)=(b+c)sinC,由正弦定理可得(a+b)(a-b)=(b+c)c,化简得b2+c2-a2=-bc,所以cosA===-,又因为A∈(0,π),所以A=,所以sinA=sin =,设△ABC外接圆的半径为R,由正弦定理可得2R===,所以△ABC外接圆的直径为.3.(2022·北京模拟)在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,若asinB=bcosA,且b=2,c=2,则a的值为( )A.2B.222 C.2-2D.1答案 B解析 由已知及正弦定理得,sinAsinB=sinBcosA且sinB≠0,可得tanA=,又0<A<π,所以A=,又b=2,c=2,所以由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA=16-12=4,解得a=2.4.(2023·枣庄模拟)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,A=60°,b=1,S△ABC=,则等于( )A.B.C.D.2答案 A解析 由三角形的面积公式可得S△ABC=bcsinA=c=,解得c=4,由余弦定理可得a==,设△ABC的外接圆半径为r,由正弦定理得===2r,所以==2r===.5.(2023·马鞍山模拟)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,设(sinB+sinC)2=sin2A+(2-)sinBsinC,sinA-2sinB=0,则sinC等于( )A.B.C.D.答案 C解析 在△ABC中,由(sinB+sinC)2=sin2A+(2-)sinBsinC及正弦定理得(b+c)2=a2+(2-)bc,即b2+c2-a2=-bc,由余弦定理得cosA==-,而0°<A<180°,解得A=135°,由sinA-2sinB=0得sinB=sinA=,显然0°<B<90°,则B=30°,C=15°,22 所以sinC=sin(60°-45°)=sin60°cos45°-cos60°sin45°=.6.(2023·衡阳模拟)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知2cosB(acosC+ccosA)=b,lgsinC=lg3-lg2,则△ABC的形状为( )A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形答案 C解析 ∵2cosB(acosC+ccosA)=b,∴根据正弦定理得,2cosB(sinAcosC+cosAsinC)=sinB,∴2cosBsin(A+C)=sinB,∴2cosBsin(π-B)=sinB,即2cosBsinB=sinB,∵B∈(0,π),∴sinB≠0,∴cosB=,∴B=.∵lgsinC=lg3-lg2,∴lgsinC=lg ,∴sinC=,∵C∈(0,π),∴C=或,∵B=,∴C≠,∴C=,∴A=B=C=,即△ABC为等边三角形.7.(2022·全国甲卷)已知△ABC中,点D在边BC上,∠ADB=120°,AD=2,CD=2BD.当取得最小值时,BD=.答案 -1解析 设BD=k(k>0),则CD=2k.根据题意作出大致图形,如图.22 在△ABD中,由余弦定理得AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos∠ADB=22+k2-2×2k·=k2+2k+4.在△ACD中,由余弦定理得AC2=AD2+CD2-2AD·CDcos∠ADC=22+(2k)2-2×2×2k·=4k2-4k+4,则===4-=4-=4-.∵k+1+≥2(当且仅当k+1=,即k=-1时等号成立),∴≥4-=4-2=(-1)2,∴当取得最小值-1时,BD=k=-1.8.(2023·宜春模拟)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bsinC+csinB=4asinBsinC,b2+c2-a2=8,则△ABC的面积为.答案 解析 ∵bsinC+csinB=4asinBsinC,sinBsinC>0,结合正弦定理可得sinBsinC+sinCsinB=4sinAsinBsinC,∴sinA=,∵b2+c2-a2=8,结合余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,可得2bccosA=8,∴A为锐角,且cosA=,从而求得bc=,∴△ABC的面积为S=bcsinA=××=.9.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bcosC=(2a-c)cosB.22 (1)求B;(2)若b=3,sinC=2sinA,求△ABC的面积.解 (1)由正弦定理,得sinBcosC=2sinAcosB-cosBsinC,即sinBcosC+cosBsinC=2sinAcosB,∴sin(B+C)=2sinAcosB,∴sinA=2sinAcosB,又∵sinA≠0,∴cosB=,∵B为三角形内角,∴B=.(2)∵sinC=2sinA,∴由正弦定理得c=2a,∴由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB=a2+4a2-2a2=9,即3a2=9,∴a=,c=2,∴△ABC的面积为S=acsinB=××2×=.10.(2023·湖州模拟)在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,已知bsin=asinB.(1)求角A的大小;(2)若b,a,c成等比数列,判断△ABC的形状.解 (1)∵bsin=asinB,由诱导公式得bcosA=asinB,由正弦定理得sinBcosA=sinAsinB,∵sinB≠0,∴cosA=sinA,即tanA=,∵A∈(0,π),∴A=.(2)∵b,a,c成等比数列,∴a2=bc,由余弦定理得cosA===,即b2+c2-bc=bc,∴(b-c)2=0,∴b=c,又由(1)知A=,∴△ABC为等边三角形.22 11.(多选)对于△ABC,有如下判断,其中正确的是( )A.若cosA=cosB,则△ABC为等腰三角形B.若A>B,则sinA>sinBC.若a=8,c=10,B=60°,则符合条件的△ABC有两个D.若sin2A+sin2B<sin2C,则△ABC是钝角三角形答案 ABD解析 对于A,若cosA=cosB,则A=B,所以△ABC为等腰三角形,故A正确;对于B,若A>B,则a>b,由正弦定理==2R,得2RsinA>2RsinB,即sinA>sinB成立,故B正确;对于C,由余弦定理可得b==,只有一解,故C错误;对于D,若sin2A+sin2B<sin2C,则根据正弦定理得a2+b2<c2,cosC=<0,所以C为钝角,所以△ABC是钝角三角形,故D正确.12.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,sinAsinBsinC=,△ABC的面积为2,则下列选项错误的是( )A.abc=16B.若a=,则A=C.△ABC外接圆的半径R=2D.2≥32sinC答案 B解析 由题可得absinC=2,则sinC=,代入sinAsinBsinC=,得=,即R2=8,即R=2,C正确;abc=8R3sinAsinBsinC=128×=16,A正确;22 若a=,则sinA===,此时A≠,B错误;因为sinA>0,sinB>0,所以(sinA+sinB)2≥4sinAsinB,所以≥,由sinAsinBsinC=,得=32sinC,所以≥32sinC,即2≥32sinC,D正确.13.(2023·嘉兴模拟)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知csinA=acosC,c=2,ab=8,则a+b的值是.答案 6解析 ∵csinA=acosC,根据正弦定理得sinCsinA=sinAcosC,∵sinA≠0,故tanC=,∵C∈(0,π),∴C=,再由余弦定理得cosC===,代入c=2,ab=8,得a+b=6.14.在△ABC中,已知AB=4,AC=7,BC边的中线AD=,那么BC=.答案 9解析 在△ABD中,结合余弦定理得cos∠ADB=,在△ACD中,结合余弦定理得cos∠ADC=,由题意知BD=CD,∠ADB+∠ADC=π,所以cos∠ADB+cos∠ADC=0,所以+=0,即+=0,解得CD=,所以BC=9.15.(多选)(2023·珠海模拟)已知△ABC满足sinA∶sinB∶sinC=2∶3∶,且△ABC的面22 积S△ABC=,则下列命题正确的是( )A.△ABC的周长为5+B.△ABC的三个内角A,B,C满足关系A+B=2CC.△ABC的外接圆半径为D.△ABC的中线CD的长为答案 ABD解析 因为△ABC满足sinA∶sinB∶sinC=2∶3∶,所以a∶b∶c=2∶3∶,设a=2t,b=3t,c=t,t>0,利用余弦定理cosC===,由于C∈(0,π),所以C=.对于A,因为S△ABC=,所以absinC=·2t·3t·=,解得t=1.所以a=2,b=3,c=,所以△ABC的周长为5+,故A正确;对于B,因为C=,所以A+B=,故A+B=2C,故B正确;对于C,利用正弦定理===2R,解得R=,所以△ABC的外接圆半径为,故C错误;对于D,如图所示,在△ABC中,利用正弦定理=,解得sinA=,22 又a<c,所以cosA=,在△ACD中,利用余弦定理CD2=AC2+AD2-2AC·AD·cosA=9+-2×3××=,解得CD=,故D正确.16.如图,△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c.已知a2+c2=b2+ac,则B=.若线段AC的垂直平分线交AC于点D,交AB于点E,且BC=4,DE=.则△BCE的面积为.答案 2解析 在△ABC中,由余弦定理知cosB=,而a2+c2=b2+ac,∴cosB=,又0<B<π,则B=,在△BCE中,设∠CEB=θ,则=,可得CE=,又AC的垂直平分线交AC于点D,交AB于点E,则∠ECA=∠EAC=,∴sin ==,可得cos =,而0<θ<π,故=,即θ=.∴CE=2,BE=2,故△BCE的面积为·CE·BE=2.22
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(广东专用)2022高考数学第一轮复习用书 第39课 正弦定理、余弦定理 文
【高考领航】2022高考数学总复习 3-7 正弦定理和余弦定理练习 苏教版
第四章 §4.8 正弦定理、余弦定理
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2023年新高考一轮复习讲义第28讲 正弦定理和余弦定理(解析版)
2023年新高考一轮复习讲义第28讲 正弦定理和余弦定理(原卷版)
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高考 - 一轮复习
发布时间:2024-09-11 13:00:01
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