2024年高考数学一轮复习（新高考版） 第4章　§4.8　正弦定理、余弦定理

§4.8　正弦定理、余弦定理考试要求　1.掌握正弦定理、余弦定理及其变形.2.理解三角形的面积公式并能应用.3.能利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题．知识梳理1．正弦定理、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容＝＝＝2Ra2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝c2＋a2－2cacosB；c2＝a2＋b2－2abcosC变形(1)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；(2)sinA＝，sinB＝，sinC＝；(3)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinCcosA＝；cosB＝；cosC＝2．三角形解的判断A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝bsinAbsinA<a<ba≥ba>b解的个数一解两解一解一解3．三角形中常用的面积公式(1)S＝aha(ha表示边a上的高)；22 (2)S＝absinC＝acsinB＝bcsinA；(3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．常用结论在△ABC中，常有以下结论：(1)∠A＋∠B＋∠C＝π.(2)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．(3)a>b⇔A>B⇔sinA>sinB，cosA<cosB.(4)sin(A＋B)＝sinC；cos(A＋B)＝－cosC；tan(A＋B)＝－tanC；sin ＝cos ；cos ＝sin .(5)三角形中的射影定理在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB；b＝acosC＋ccosA；c＝bcosA＋acosB.(6)三角形中的面积S＝.思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．(　×　)(2)在△ABC中，若sinA>sinB，则A>B.(　√　)(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．(　×　)(4)当b2＋c2－a2>0时，△ABC为锐角三角形．(　×　)教材改编题1．在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC等于(　　)A.B.C.D.答案　C解析　在△ABC中，设AB＝c＝5，AC＝b＝3，BC＝a＝7，由余弦定理得cos∠BAC＝＝＝－，因为∠BAC为△ABC的内角，所以∠BAC＝.2．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为4，a＝2，B＝30°，22 则c等于(　　)A．8B．4C．D．答案　A解析　由S△ABC＝acsinB＝×2c×＝4，得c＝8.3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B＝30°，b＝，c＝2，则C＝.答案　45°或135°解析　由正弦定理得sinC＝＝＝，因为c>b，B＝30°，所以C＝45°或C＝135°.题型一　利用正弦定理、余弦定理解三角形例1　(12分)(2022·新高考全国Ⅰ)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝.(1)若C＝，求B；[切入点：二倍角公式化简](2)求的最小值．[关键点：找到角B与角C，A的关系]22 思维升华　解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式，则考虑用正弦定理，以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．跟踪训练1　(2022·全国乙卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinCsin(A－B)＝sinBsin(C－A)．(1)证明：2a2＝b2＋c2；(2)若a＝5，cosA＝，求△ABC的周长．(1)证明　方法一　由sinCsin(A－B)＝sinBsin(C－A)，可得sinCsinAcosB－sinCcosAsinB＝sinBsinCcosA－sinBcosCsinA，结合正弦定理＝＝，22 可得accosB－bccosA＝bccosA－abcosC，即accosB＋abcosC＝2bccosA(*)．由余弦定理可得accosB＝，abcosC＝，2bccosA＝b2＋c2－a2，将上述三式代入(*)式整理，得2a2＝b2＋c2.方法二　因为A＋B＋C＝π，所以sinCsin(A－B)＝sin(A＋B)sin(A－B)＝sin2Acos2B－cos2Asin2B＝sin2A(1－sin2B)－(1－sin2A)sin2B＝sin2A－sin2B，同理有sinBsin(C－A)＝sin(C＋A)sin(C－A)＝sin2C－sin2A.又sinCsin(A－B)＝sinBsin(C－A)，所以sin2A－sin2B＝sin2C－sin2A，即2sin2A＝sin2B＋sin2C，故由正弦定理可得2a2＝b2＋c2.(2)解　由(1)及a2＝b2＋c2－2bccosA得，a2＝2bccosA，所以2bc＝31.因为b2＋c2＝2a2＝50，所以(b＋c)2＝b2＋c2＋2bc＝81，得b＋c＝9，所以△ABC的周长l＝a＋b＋c＝14.题型二　正弦定理、余弦定理的简单应用命题点1　三角形的形状判断例2　(1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c－acosB＝(2a－b)cosA，则△ABC的形状为(　　)A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形答案　D22 解析　因为c－acosB＝(2a－b)cosA，C＝π－(A＋B)，所以由正弦定理得sinC－sinAcosB＝2sinAcosA－sinBcosA，所以sinAcosB＋cosAsinB－sinAcosB＝2sinAcosA－sinBcosA，所以cosA(sinB－sinA)＝0，所以cosA＝0或sinB＝sinA，所以A＝或B＝A或B＝π－A(舍去)，所以△ABC为等腰三角形或直角三角形．(2)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，＝sin2，则△ABC的形状为(　　)A．直角三角形B．等边三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形答案　A解析　由cosB＝1－2sin2，得sin2＝，所以＝，即cosB＝.方法一　由余弦定理得＝，即a2＋c2－b2＝2a2，所以a2＋b2＝c2.所以△ABC为直角三角形，但无法判断两直角边是否相等．方法二　由正弦定理得cosB＝，又sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC，所以cosBsinC＝sinBcosC＋cosBsinC，即sinBcosC＝0，又sinB≠0，所以cosC＝0，又角C为△ABC的内角，22 所以C＝，所以△ABC为直角三角形，但无法判断两直角边是否相等．延伸探究　将本例(2)中的条件“＝sin2”改为“＝，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc”，试判断△ABC的形状．解　因为＝，所以由正弦定理得＝，所以b＝c.又(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，所以b2＋c2－a2＝bc，所以由余弦定理得cosA＝＝＝.因为A∈(0，π)，所以A＝，所以△ABC是等边三角形．思维升华　判断三角形形状的两种思路(1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．(2)化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角形的形状．此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．命题点2　三角形的面积例3　(2022·浙江)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知4a＝c，cosC＝.(1)求sinA的值；(2)若b＝11，求△ABC的面积．解　(1)由正弦定理＝，得sinA＝.因为cosC＝，所以sinC＝，又＝，所以sinA＝＝.(2)由(1)知sinA＝，因为a＝<c，所以0<A<，22 所以cosA＝，所以sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋sinCcosA＝×＋×＝.因为＝，即＝，所以c＝4，所以S△ABC＝bcsinA＝×11×4×＝22.思维升华　三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式S＝absinC＝acsinB＝bcsinA，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．命题点3　与平面几何有关的问题例4　(2023·厦门模拟)如图，已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，b(1＋cosC)＝csin∠ABC且△ABC的外接圆面积为.(1)求边c的长；(2)若a＝5，延长CB至M，使得cos∠AMC＝，求BM.解　(1)设△ABC的外接圆半径为R，由题意πR2＝，解得R＝.由题意及正弦定理可得sin∠ABC(1＋cosC)＝sinCsin∠ABC，因为sin∠ABC≠0，所以1＋cosC＝sinC，即2sin＝1，因为0<C<π，所以C－∈，故C－＝，即C＝.故c＝2RsinC＝2××＝7.22 (2)因为a＝5，c＝7，C＝，故cosC＝＝，得b2－5b－24＝0，解得b＝8(b＝－3舍去)．在△ABC中，由余弦定理可得cos∠ABC＝＝，所以sin∠ABC＝.由cos∠AMC＝得sin∠AMC＝.故sin∠BAM＝sin(∠ABC－∠AMC)＝sin∠ABCcos∠AMC－cos∠ABCsin∠AMC＝，在△ABM中，由正弦定理可得＝，则BM＝×＝5.思维升华　在平面几何图形中研究或求与角有关的长度、角度、面积的最值、优化设计等问题时，通常是转化到三角形中，利用正、余弦定理通过运算的方法加以解决．在解决某些具体问题时，常先引入变量，如边长、角度等，然后把要解三角形的边或角用所设变量表示出来，再利用正、余弦定理列出方程，再解方程即可．若研究最值，常使用函数思想．跟踪训练2　(1)(多选)(2023·合肥模拟)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列四个命题中正确的是(　　)A．若acosA＝bcosB，则△ABC一定是等腰三角形B．若bcosC＋ccosB＝b，则△ABC是等腰三角形C．若＝＝，则△ABC一定是等边三角形D．若B＝60°，b2＝ac，则△ABC是直角三角形答案　BC解析　对于A，若acosA＝bcosB，则由正弦定理得sinAcosA＝sinBcosB，∴sin2A＝sin2B，则2A＝2B或2A＋2B＝180°，即A＝B或A＋B＝90°，则△ABC为等腰三角形或直角三角形，故A错误；对于B，若bcosC＋ccosB＝b，则由正弦定理得sinBcosC＋sinCcosB＝sin(B＋C)＝sinA＝sinB，即A＝B，则△ABC是等腰三角形，故B正确；对于C，若＝＝，则由正弦定理得＝＝，则tanA＝tanB＝tanC，即A＝B＝C，即△ABC是等边三角形，故C正确；对于D，由于B＝60°，b2＝ac，由余弦定理可得b2＝ac＝a2＋c2－ac，可得(a－c)2＝0，解得22 a＝c，可得A＝C＝B，故△ABC是等边三角形，故D错误．(2)在①b2＋ac＝a2＋c2；②cosB＝bcosA；③sinB＋cosB＝这三个条件中任选一个填在下面的横线中，并解决该问题．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，A＝，b＝，求△ABC的面积．解　若选①，则由b2＋ac＝a2＋c2，得ac＝a2＋c2－b2.由余弦定理得cosB＝＝＝.因为B∈(0，π)，所以B＝.由正弦定理得＝，即＝，解得a＝.因为C＝π－A－B＝π－－＝，所以sinC＝sin ＝sin＝sin cos ＋cos sin ＝，所以S△ABC＝absinC＝×××＝.若选②，因为cosB＝bcosA，A＝，b＝，所以cosB＝bcosA＝cos ＝.因为B∈(0，π)，所以B＝.由正弦定理得＝，即＝，解得a＝.22 因为C＝π－A－B＝π－－＝，所以sinC＝sin ＝sin＝sin cos ＋cos sin ＝，所以S△ABC＝absinC＝×××＝.若选③，则由sinB＋cosB＝，得sin＝，所以sin＝1.因为B∈(0，π)，所以B＋∈，所以B＋＝，所以B＝.由正弦定理得＝，即＝，解得a＝.因为C＝π－A－B＝π－－＝，所以sinC＝sin ＝sin＝sin cos ＋cos sin ＝，所以S△ABC＝absinC＝×××＝.(3)(2022·重庆八中模拟)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，在①c(sinA－sinC)＝(a－b)(sinA＋sinB)；②2bcosA＋a＝2c；③acsinB＝a2＋c2－b2三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．22 ①若，求角B的大小；②求sinA＋sinC的取值范围；③如图所示，当sinA＋sinC取得最大值时，若在△ABC所在平面内取一点D(D与B在AC两侧)，使得线段DC＝2，DA＝1，求△BCD面积的最大值．解　①若选①，因为c(sinA－sinC)＝(a－b)(sinA＋sinB)，由正弦定理得c(a－c)＝(a－b)(a＋b)，整理得a2＋c2－b2＝ac，所以cosB＝＝＝，又0<B<π，所以B＝.若选②，因为2bcosA＋a＝2c，由余弦定理得2b·＋a＝2c，化简得，a2＋c2－b2＝ac，所以cosB＝＝＝，又0<B<π，所以B＝.若选③，因为acsinB＝a2＋c2－b2，由余弦定理得acsinB＝2accosB，化简得tanB＝，又0<B<π，所以B＝.②由①得，A＋C＝，22 则0<A<，sinA＋sinC＝sinA＋sin＝sinA＋cosA＝sin，又<A＋<，所以<sin≤1，则sinA＋sinC的取值范围是.③当sinA＋sinC取得最大值时，A＋＝，解得A＝，又B＝，所以△ABC为等边三角形，令∠ACD＝θ，∠ADC＝α，AB＝AC＝BC＝a，则由正弦定理可得＝，所以sinα＝asinθ.又由余弦定理得，a2＝22＋12－2×2×1×cosα，所以a2cos2θ＝a2－a2sin2θ＝cos2α－4cosα＋4，所以acosθ＝2－cosα.S△BCD＝×a×2sin＝acosθ＋asinθ＝(2－cosα)＋sinα＝＋sin≤＋1，当且仅当α＝∠ADC＝时等号成立，所以△BCD面积的最大值为＋1.22 课时精练1．在△ABC中，C＝60°，a＋2b＝8，sinA＝6sinB，则c等于(　　)A.B.C．6D．5答案　B解析　因为sinA＝6sinB，则由正弦定理得a＝6b，又a＋2b＝8，所以a＝6，b＝1，因为C＝60°，所以由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC，即c2＝62＋12－2×6×1×，解得c＝.2．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(a＋b)(sinA－sinB)＝(b＋c)sinC，a＝7，则△ABC外接圆的直径为(　　)A．14B．7C.D.答案　D解析　已知(a＋b)(sinA－sinB)＝(b＋c)sinC，由正弦定理可得(a＋b)(a－b)＝(b＋c)c，化简得b2＋c2－a2＝－bc，所以cosA＝＝＝－，又因为A∈(0，π)，所以A＝，所以sinA＝sin ＝，设△ABC外接圆的半径为R，由正弦定理可得2R＝＝＝，所以△ABC外接圆的直径为.3．(2022·北京模拟)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若asinB＝bcosA，且b＝2，c＝2，则a的值为(　　)A．2B．222 C．2－2D．1答案　B解析　由已知及正弦定理得，sinAsinB＝sinBcosA且sinB≠0，可得tanA＝，又0<A<π，所以A＝，又b＝2，c＝2，所以由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA＝16－12＝4，解得a＝2.4．(2023·枣庄模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A＝60°，b＝1，S△ABC＝，则等于(　　)A.B.C.D．2答案　A解析　由三角形的面积公式可得S△ABC＝bcsinA＝c＝，解得c＝4，由余弦定理可得a＝＝，设△ABC的外接圆半径为r，由正弦定理得＝＝＝2r，所以＝＝2r＝＝＝.5．(2023·马鞍山模拟)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设(sinB＋sinC)2＝sin2A＋(2－)sinBsinC，sinA－2sinB＝0，则sinC等于(　　)A.B.C.D.答案　C解析　在△ABC中，由(sinB＋sinC)2＝sin2A＋(2－)sinBsinC及正弦定理得(b＋c)2＝a2＋(2－)bc，即b2＋c2－a2＝－bc，由余弦定理得cosA＝＝－，而0°<A<180°，解得A＝135°，由sinA－2sinB＝0得sinB＝sinA＝，显然0°<B<90°，则B＝30°，C＝15°，22 所以sinC＝sin(60°－45°)＝sin60°cos45°－cos60°sin45°＝.6．(2023·衡阳模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2cosB(acosC＋ccosA)＝b，lgsinC＝lg3－lg2，则△ABC的形状为(　　)A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形答案　C解析　∵2cosB(acosC＋ccosA)＝b，∴根据正弦定理得，2cosB(sinAcosC＋cosAsinC)＝sinB，∴2cosBsin(A＋C)＝sinB，∴2cosBsin(π－B)＝sinB，即2cosBsinB＝sinB，∵B∈(0，π)，∴sinB≠0，∴cosB＝，∴B＝.∵lgsinC＝lg3－lg2，∴lgsinC＝lg ，∴sinC＝，∵C∈(0，π)，∴C＝或，∵B＝，∴C≠，∴C＝，∴A＝B＝C＝，即△ABC为等边三角形．7．(2022·全国甲卷)已知△ABC中，点D在边BC上，∠ADB＝120°，AD＝2，CD＝2BD.当取得最小值时，BD＝.答案　－1解析　设BD＝k(k>0)，则CD＝2k.根据题意作出大致图形，如图．22 在△ABD中，由余弦定理得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB＝22＋k2－2×2k·＝k2＋2k＋4.在△ACD中，由余弦定理得AC2＝AD2＋CD2－2AD·CDcos∠ADC＝22＋(2k)2－2×2×2k·＝4k2－4k＋4，则＝＝＝4－＝4－＝4－.∵k＋1＋≥2(当且仅当k＋1＝，即k＝－1时等号成立)，∴≥4－＝4－2＝(－1)2，∴当取得最小值－1时，BD＝k＝－1.8．(2023·宜春模拟)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bsinC＋csinB＝4asinBsinC，b2＋c2－a2＝8，则△ABC的面积为．答案　解析　∵bsinC＋csinB＝4asinBsinC，sinBsinC>0，结合正弦定理可得sinBsinC＋sinCsinB＝4sinAsinBsinC，∴sinA＝，∵b2＋c2－a2＝8，结合余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，可得2bccosA＝8，∴A为锐角，且cosA＝，从而求得bc＝，∴△ABC的面积为S＝bcsinA＝××＝.9．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosC＝(2a－c)cosB.22 (1)求B；(2)若b＝3，sinC＝2sinA，求△ABC的面积．解　(1)由正弦定理，得sinBcosC＝2sinAcosB－cosBsinC，即sinBcosC＋cosBsinC＝2sinAcosB，∴sin(B＋C)＝2sinAcosB，∴sinA＝2sinAcosB，又∵sinA≠0，∴cosB＝，∵B为三角形内角，∴B＝.(2)∵sinC＝2sinA，∴由正弦定理得c＝2a，∴由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋4a2－2a2＝9，即3a2＝9，∴a＝，c＝2，∴△ABC的面积为S＝acsinB＝××2×＝.10．(2023·湖州模拟)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知bsin＝asinB.(1)求角A的大小；(2)若b，a，c成等比数列，判断△ABC的形状．解　(1)∵bsin＝asinB，由诱导公式得bcosA＝asinB，由正弦定理得sinBcosA＝sinAsinB，∵sinB≠0，∴cosA＝sinA，即tanA＝，∵A∈(0，π)，∴A＝.(2)∵b，a，c成等比数列，∴a2＝bc，由余弦定理得cosA＝＝＝，即b2＋c2－bc＝bc，∴(b－c)2＝0，∴b＝c，又由(1)知A＝，∴△ABC为等边三角形．22 11．(多选)对于△ABC，有如下判断，其中正确的是(　　)A．若cosA＝cosB，则△ABC为等腰三角形B．若A>B，则sinA>sinBC．若a＝8，c＝10，B＝60°，则符合条件的△ABC有两个D．若sin2A＋sin2B<sin2C，则△ABC是钝角三角形答案　ABD解析　对于A，若cosA＝cosB，则A＝B，所以△ABC为等腰三角形，故A正确；对于B，若A>B，则a>b，由正弦定理＝＝2R，得2RsinA>2RsinB，即sinA>sinB成立，故B正确；对于C，由余弦定理可得b＝＝，只有一解，故C错误；对于D，若sin2A＋sin2B<sin2C，则根据正弦定理得a2＋b2<c2，cosC＝<0，所以C为钝角，所以△ABC是钝角三角形，故D正确．12．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sinAsinBsinC＝，△ABC的面积为2，则下列选项错误的是(　　)A．abc＝16B．若a＝，则A＝C．△ABC外接圆的半径R＝2D．2≥32sinC答案　B解析　由题可得absinC＝2，则sinC＝，代入sinAsinBsinC＝，得＝，即R2＝8，即R＝2，C正确；abc＝8R3sinAsinBsinC＝128×＝16，A正确；22 若a＝，则sinA＝＝＝，此时A≠，B错误；因为sinA>0，sinB>0，所以(sinA＋sinB)2≥4sinAsinB，所以≥，由sinAsinBsinC＝，得＝32sinC，所以≥32sinC，即2≥32sinC，D正确．13．(2023·嘉兴模拟)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知csinA＝acosC，c＝2，ab＝8，则a＋b的值是．答案　6解析　∵csinA＝acosC，根据正弦定理得sinCsinA＝sinAcosC，∵sinA≠0，故tanC＝，∵C∈(0，π)，∴C＝，再由余弦定理得cosC＝＝＝，代入c＝2，ab＝8，得a＋b＝6.14．在△ABC中，已知AB＝4，AC＝7，BC边的中线AD＝，那么BC＝.答案　9解析　在△ABD中，结合余弦定理得cos∠ADB＝，在△ACD中，结合余弦定理得cos∠ADC＝，由题意知BD＝CD，∠ADB＋∠ADC＝π，所以cos∠ADB＋cos∠ADC＝0，所以＋＝0，即＋＝0，解得CD＝，所以BC＝9.15．(多选)(2023·珠海模拟)已知△ABC满足sinA∶sinB∶sinC＝2∶3∶，且△ABC的面22 积S△ABC＝，则下列命题正确的是(　　)A．△ABC的周长为5＋B．△ABC的三个内角A，B，C满足关系A＋B＝2CC．△ABC的外接圆半径为D．△ABC的中线CD的长为答案　ABD解析　因为△ABC满足sinA∶sinB∶sinC＝2∶3∶，所以a∶b∶c＝2∶3∶，设a＝2t，b＝3t，c＝t，t>0，利用余弦定理cosC＝＝＝，由于C∈(0，π)，所以C＝.对于A，因为S△ABC＝，所以absinC＝·2t·3t·＝，解得t＝1.所以a＝2，b＝3，c＝，所以△ABC的周长为5＋，故A正确；对于B，因为C＝，所以A＋B＝，故A＋B＝2C，故B正确；对于C，利用正弦定理＝＝＝2R，解得R＝，所以△ABC的外接圆半径为，故C错误；对于D，如图所示，在△ABC中，利用正弦定理＝，解得sinA＝，22 又a<c，所以cosA＝，在△ACD中，利用余弦定理CD2＝AC2＋AD2－2AC·AD·cosA＝9＋－2×3××＝，解得CD＝，故D正确．16.如图，△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c.已知a2＋c2＝b2＋ac，则B＝.若线段AC的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，且BC＝4，DE＝.则△BCE的面积为．答案　　2解析　在△ABC中，由余弦定理知cosB＝，而a2＋c2＝b2＋ac，∴cosB＝，又0<B<π，则B＝，在△BCE中，设∠CEB＝θ，则＝，可得CE＝，又AC的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，则∠ECA＝∠EAC＝，∴sin ＝＝，可得cos ＝，而0<θ<π，故＝，即θ＝.∴CE＝2，BE＝2，故△BCE的面积为·CE·BE＝2.22