2024年高考数学一轮复习（新高考版） 第4章　§4.5　三角函数的图象与性质

第四章　三角函数与解三角形§4.5三角函数的图象与性质 1.能画出三角函数的图象.2.了解三角函数的周期性、奇偶性、最大(小)值.考试要求 内容索引第一部分第二部分第三部分落实主干知识探究核心题型课时精练 落实主干知识第一部分 1.用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图(1)在正弦函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，，，，(2π，0).(2)在余弦函数y＝cosx，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，，，，(2π，1).(π，0)(π，－1) 2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象定义域RR____________值域_________________[－1,1][－1,1]R 周期性________奇偶性______________奇函数单调递增区间___________________________________________单调递减区间______________________________2π2ππ奇函数偶函数[2kπ－π，2kπ][2kπ，2kπ＋π] 对称中心_________________对称轴方程________________(kπ，0)x＝kπ 1.对称性与周期性(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期.(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是个周期.2.奇偶性若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，则(1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝＋kπ(k∈Z).(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z). 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)y＝cosx在第一、二象限内单调递减.()(2)若非零常数T是函数f(x)的周期，则kT(k是非零整数)也是函数f(x)的周期.()(3)函数y＝sinx图象的对称轴方程为x＝2kπ＋(k∈Z).()(4)函数y＝tanx在整个定义域上是增函数.()×√×× 1.若函数y＝2sin2x－1的最小正周期为T，最大值为A，则A.T＝π，A＝1B.T＝2π，A＝1C.T＝π，A＝2D.T＝2π，A＝2√ 5 探究核心题型第二部分 题型一三角函数的定义域和值域√ －4∴当cosx＝1时，f(x)有最小值－4. (3)函数y＝sinx－cosx＋sinxcosx的值域为_______________.设t＝sinx－cosx，则t2＝sin2x＋cos2x－2sinx·cosx，当t＝1时，ymax＝1； 思维升华三角函数值域的不同求法(1)把所给的三角函数式变换成y＝Asin(ωx＋φ)的形式求值域.(2)把sinx或cosx看作一个整体，转换成二次函数求值域.(3)利用sinx±cosx和sinxcosx的关系转换成二次函数求值域. √ 由题意，f(－x)＝cos(－x)－cos(－2x)＝cosx－cos2x＝f(x)，所以该函数为偶函数， 题型二三角函数的周期性与对称性√ _____，f(x)图象的对称中心为__________________. 又∵φ∈(0，π)， (1)奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为y＝Asinωx或y＝Atanωx的形式，而偶函数一般可化为y＝Acosωx的形式.(2)周期的计算方法：利用函数y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)(ω>0)的周期为，函数y＝Atan(ωx＋φ)(ω>0)的周期为求解. √ √√√ 题型三三角函数的单调性命题点1求三角函数的单调区间 延伸探究若函数不变，求在[0，π]上的单调递减区间.B＝[0，π]， 命题点2根据单调性求参数√ 而函数f(x)又在[－a，a]上单调递增， 当k≥2，k∈Z时，ω∈∅， (1)已知三角函数解析式求单调区间求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解.但如果ω<0，可先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错.(2)已知三角函数的单调区间求参数先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解. √ 依题意可知f(x)＝cos2x－sin2x＝cos2x.所以A选项不正确； A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件√ 故k只能取0，即0<ω≤1， 课时精练第三部分 12345678910111213141516基础保分练√ 2.(2023·赣州模拟)已知f(x)＝，则f(x)是A.奇函数且最小正周期为πB.偶函数且最小正周期为πC.奇函数且最小正周期为2πD.偶函数且最小正周期为2π√12345678910111213141516 12345678910111213141516A.1B.2C.3D.4√ 12345678910111213141516√ 12345678910111213141516 5.(多选)(2022·海口模拟)已知函数f(x)＝sinx－cosx，则下列结论中正确的是√√12345678910111213141516 12345678910111213141516 12345678910111213141516对于D，f(x)的最小正周期T＝2π，D错误. √√√12345678910111213141516 f(x＋π)＝|sin(x＋π)|＋cos2(x＋π)＝|sinx|＋cos2x＝f(x)，所以π是函数f(x)的一个周期，故D正确；对于A，因为f(x)的一个周期为π，令x∈[0，π]，此时sinx≥0，所以f(x)＝sinx＋1－2sin2x，12345678910111213141516 因为t＝sinx，t∈[0,1]，12345678910111213141516 7.(2022·汕头模拟)请写出一个最小正周期为π，且在(0,1)上单调递增的函数f(x)＝_________________.tanx(答案不唯一)根据函数最小正周期为π，可构造正弦型、余弦型或者正切型函数，再结合在(0,1)上单调递增，构造即可，如f(x)＝tanx满足题意.12345678910111213141516 12345678910111213141516 12345678910111213141516 123456789101112131415169.已知函数f(x)＝cosxsinx＋sin2x.(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间； 12345678910111213141516 12345678910111213141516 10.(2022·北京模拟)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择两个作为一组已知条件，使f(x)的解析式唯一确定.(1)求f(x)的解析式；条件①：f(x)的最小正周期为π；条件②：f(x)为奇函数；条件③：f(x)图象的一条对称轴为直线x＝.注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分.12345678910111213141516 选择条件①②：由条件②f(0)＝0，即sinφ＝0，解得φ＝kπ(k∈Z).经检验φ＝0符合题意.选择条件①③：12345678910111213141516 所以f(x)＝sin2x.12345678910111213141516 12345678910111213141516条件①：f(x)的最小正周期为π；条件②：f(x)为奇函数；条件③：f(x)图象的一条对称轴为直线x＝.注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分. 12345678910111213141516 综合提升练1234567891011121314151611.函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，在区间(0,1)上不可能A.单调递增B.单调递减C.有最大值D.有最小值√ 当x∈(0,1)时，因为ω>0，所以0<ωx<ω，故f(x)在(0,1)上不可能单调递减.12345678910111213141516 √√12345678910111213141516 12345678910111213141516 12345678910111213141516 12345678910111213141516 12345678910111213141516 12345678910111213141516f(x)＝________________________. 12345678910111213141516 14.(2023·唐山模拟)已知sinx＋cosy＝，则sinx－sin2y的最大值为_____.12345678910111213141516 12345678910111213141516 12345678910111213141516 拓展冲刺练1234567891011121314151615.已知函数f(x)＝＋3sinπx，则函数f(x)在[－1,3]上的所有零点的和为A.2B.4C.2πD.4π√ 12345678910111213141516 12345678910111213141516共有4个交点，这4个点关于点(1,0)对称，所以其横坐标的和为4，所以函数f(x)在[－1,3]上的所有零点的和为4. 1234567891011121314151616.(2023·沈阳模拟)已知函数f(x)＝sinx＋|cosx|，写出函数f(x)的一个单调递增区间__________；当x∈[0，a]时，函数f(x)的值域为[1,2]，则a的取值范围是_________. 12345678910111213141516 12345678910111213141516 因为当x∈[0，a]时，函数f(x)的值域为[1,2]，12345678910111213141516