2024年新高考数学一轮复习：第23讲 导数中的构造问题（微专题）（解析版）

第23讲导数中的构造问题（微专题）题型一构造函数的比较大小例1、（2023·广东·校联考模拟预测）已知，，，则下列结论中，正确的是（    ）A．B．C．D．【答案】A【解析】比较b、c只需比较，设，则，当时，，即函数在上单调递减，所以，即，所以，所以.比较a、b只需比较，设，则，因为单调递减，且，所以当时，，所以在上单调递减.即，，所以，即.综上，.故选：A变式1、（东莞市高三期末试题）已知实数a，b满足，则下列选项中一定正确的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【详解】令，则在定义域内单调递增，∵，即，∴，A错误，B正确； 令，则，且，∴，此时，C错误；令，则，且，∴，此时，D错误；故选：B.变式2、（2023·江苏南京·校考一模）已知是自然对数的底数，设，则（    ）A．B．C．D．【答案】A【分析】首先设，利用导数判断函数的单调性，比较的大小，设利用导数判断，放缩，再设函数，利用导数判断单调性，得，再比较的大小，即可得到结果.【详解】设，，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，，时，，即，设，，时，，函数单调递减，时，，函数单调递增，所以当时，函数取得最小值，，即恒成立，即，令，，时，，单调递减，时，，单调递增，时，函数取得最小值，即，得：，那么，即，即，综上可知.故选：A. 变式3、（清远市高三期末试题）（多选题）设，，，，则（）A.B.C.D.【答案】ACD【解析】【详解】解：，，，，对于A，设，则，令，则恒成立，所以在上单调递增，则恒成立，所以在上单调递增，则，即，所以，故A正确；对于B，设，则，故在上单调递增，则，整理得，所以，故B不正确；对于D，设，则，当时，，所以在上单调递增，所以有，即，所以，则，故D正确；由前面可知，所以，故C正确.故选：ACD.变式4、（2022·福建省漳州第一中学模拟预测）设，，，则（    ）A．B．C．D．【答案】D【解析】设则， ，，在上单调递增，，即，，，，，又，所以.设，则，所以在上单调递增，所以，所以，，所以，，，又，故，综上：，故选：D题型二构造函数的研究不等式问题例2、（2023·江苏连云港·统考模拟预测）（多选题）利用“”可得到许多与n（且）有关的结论，则正确的是（    ）A．B．C．D．【答案】ABD【分析】先证明出，当且仅当时，等号成立，A选项，令，得到，累加后得到A正确；B选项，推导出，，当且仅当时等号成立，令，可得，累加后得到B正确；C选项，推导出，累加后得到C错误；D选项，将中的替换为，推导出，故，当且仅当时，等号成立，累加后得到D正确.【详解】令，则，当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增，故在处取得极小值，也时最小值，，故，当且仅当时，等号成立，A选项，令，所以，故，其中，所以，A正确；B选项，将中的替换为，可得，，当且仅当时等号成立，令，可得，所以，故，其中所以，B正确；C选项，将中的替换为，显然，则，故，故，C错误；D选项，将中的替换为，其中，，则，则，故，当且仅当时，等号成立， 则，D正确.故选：ABD.变式1、（2022·湖北·襄阳五中高三开学考试）设是定义在R上的连续的函数的导函数，（e为自然对数的底数），且，则不等式的解集为（       ）A．B．C．D．【答案】C【解析】设，则，∵，∴，函数在R上单调递增，又，∴,由，可得，即，又函数在R上单调递增，所以，即不等式的解集为.故选：C．变式2、（2022·山东德州·高三期末）设函数在上的导函数为，若，，，则不等式的解集为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】由找到原函数，得在上单调递增，再由，，得到，进而得到，在对不等式进行化简得，即，再根据的单调性即可得到答案.【详解】令，在上单调递增， ，，，不等式，即，由函数在上单调递增得，故不等式的解集为.故选：C.变式3、（2022·湖南·麻阳苗族自治县第一中学高三开学考试）若，则（       ）A．B．C．D．【答案】B【解析】由得，设，易知是增函数，所以由得，当时，C不存在，错误，A错误，，则，，从而，D错误．由不等式性质，B正确．故选：B．变式4、（2022·湖北武昌·高三期末）已知实数a，b满足，，则下列判断正确的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，所以；由且，所以，所以，令，，令，则，则，等价于，；又，所以当时，，故，所以． 故选：C．题型三构造函数的研究含参的范围例3、（2022·湖北江岸·高三期末）满足，则实数a的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】满足等价于在恒成立，构造函数，利用导数判断其单调性，进而即可判断结果.【详解】满足，即，令，，，，当时，在恒成立，在为增函数，则，即，符合题意，当时，令，，当时，，当时，，所以在为增函数，在为减函数，，命题成立只需即可.令，，当，，即，即，命题不成立.综上.故选：D.变式1、（2022·江苏海门·高三期末）已知函数有三个零点，则实数的取值范围是（）A．(0，)B．[0，)C．[0，]D．(0，)【答案】A 【解析】【分析】对分离参数，构造函数，利用导数研究其单调性和最值，即可求得参数的取值范围.【详解】有三个零点，即方程有三个根，不妨令,则，故在单调递减，在单调递增，在单调递减，，且当时，恒成立.当趋近于负无穷时，趋近于正无穷；趋近于正无穷时，趋近于，故当时，满足题意.故选：A.变式2、（2023·广东揭阳·校考模拟预测）已知函数，，若存在，（），使得，（），则实数的取值范围是（    ）A．B．C．D．【答案】D【解析】，得，由题意得该方程在上有两解，令，令，得，当时，，单调递增，当时，，单调递减，而，，，则实数的取值范围是故选：D.变式3、（2022·湖南·长沙市明德中学高三开学考试）已知，，其中，若恒成立，则实数的取值范围为（       ）A．B．C．D． 【答案】C【解析】令，则，当时，，当时，，，设，则，两式相减，得，则，，，，令，，令，则，令，则，函数在上单调递减，即，，函数在上单调递减，，，，，实数的取值范围为，故选：C变式4、（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考一模）已知函数，若存在使得关于的不等式成立，则实数的取值范围（    ）A．B．C．D．【答案】C【分析】将不等式变形为，构造函数，分析可知该函数为增函数，可得出，求出函数的最小值，可得出关于实数的不等式，即可得出实数的取值范围.【详解】因为，由可得，即函数的定义域为，可得，即，构造函数，其中，则，故函数在上单调递增， 所以，，可得，则，即，其中，令，其中，则，当时，，此时函数单调递减，当时，，此时函数单调递增，所以，，解得.故选：C.