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高考数学重难点题型归纳第7讲 导数构造函数13种题型(解析版)

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第7讲导数构造函数13类【题型一】利用xf(x)构造型【典例分析】函数是定义在区间上的可导函数,其导函数为,且满足,则不等式的解集为A.B.C.D.【答案】D【详解】设,则,由已知当时,,是增函数,不等式等价于,所以,解得.点睛:本题考查导数的综合应用,解题关键是构造新函数,从而可以利用已知的不等式关系判断其导数的正负,以确定新函数的单调性,在构造新函数时,下列构造经常用:,,,,构造新函数时可结合所要求的问题确定新函数的形式.【变式演练】1.已知定义域为的奇函数的导函数为,当时,,若,则的大小关系正确的是A.B.C.D.【答案】C【解析】分析:构造函数,利用已知条件确定的正负,从而得其单调性. 详解:设,则,∵,即,∴当时,,当时,,递增.又是奇函数,∴是偶函数,∴,,∵,∴,即.故选C.2.已知的定义域为,为的导函数,且满足,则不等式的解集是()A.B.C.D.【答案】B【分析】根据题意,构造函数,结合函数的单调性解不等式,即可求解.【详解】根据题意,构造函数,,则,所以函数的图象在上单调递减.又因为,所以,所以,解得或(舍).所以不等式的解集是.故选:B.3.设函数在R上可导,其导函数为,且.则下列不等式在R上恒成立的是()A.B.C.D.【答案】A【分析】根据给定不等式构造函数,利用导数探讨的性质即可判断作答. 【详解】依题意,令函数,则,因,于是得时,时,从而有在上单调递减,在上单调递增,因此得:,而,即f(x)不恒为0,所以恒成立.故选:A【题型二】利用f(x)/x构造型【典例分析】函数在定义域内恒满足:①,②,其中为的导函数,则A.B.C.D.【答案】D【详解】令,,,∵,,∴,,∴函数在上单调递增,∴,即,,令,,,∵,,,∴函数在上单调递减,∴,即,,故选D. 【变式演练】1.已知定义在上的偶函数,其导函数为,若,,则不等式的解集是()A.B.C.D.【答案】A【分析】根据题目中信息其导函数为,若可知,需构造函数,利用导函数判断函数的单调性,利用函数的单调性、奇偶性来解题,当时,即,,当时,即,.【详解】构造函数,,当时,,故,在上单调递增,又为偶函数,为偶函数,所以为偶函数,在单调递减.,则,;,当时,即,,所以;当时,即,,所以.综上所述,.故选:A2.已知定义在上的函数的导函数为,若,,则不等式的解集为()A.B.C.D. 【答案】C【分析】由,可得,令,对其求导可得,可得函数在上单调递增,可得,可得原不等式的解集.【详解】解:因为,所以,即.令,则,所以函数在上单调递增.又因为,不等式,可变形为,即,所以,即不等式的解集为.故选:C.【题型三】利用ef(x)构造型【典例分析】已知函数在上可导,其导函数为,若满足:当时,>0,,则下列判断一定正确的是A.B.C.D.【答案】D【分析】构造函数,结合导函数,判定的单调性,得对称轴,对选项判断即可.【详解】构造函数,计算导函数得到=,由>0,得当,>0当时,<0.所以在单调递增,在单调递减,而,所以关于对称,故,得到,故选:D. 【变式演练】1.已知是上可导的图象不间断的偶函数,导函数为,且当时,满足,则不等式的解集为()A.B.C.D.【答案】B【分析】构造函数,根据,结合题意可知函数是偶函数,且在上是增函数,由此根据结论,构造出的不等式即可.【详解】由题意:不等式可化为:,两边同乘以得:,令,易知该函数为偶函数,因为,,所以所以在上是单调增函数,又因为为偶函数,故,解得:.故选:B.2.设函数的定义域为,是其导函数,若,,则不等式的解集是()A.B.C.D.【答案】A【分析】构造函数,通过求导判断函数的单调性,利用函数的单调性解不等式即可.【详解】令,则,因为,所以,化简可得, 即,所以函数在上单调递增,因为,化简得,因为,,所以,解得,所以不等式的解集是.故选:A3.已知定义在上的函数的导函数为,若,,则不等式的解集为()A.B.C.D.【答案】C【分析】由,可得,令,对其求导可得,可得函数在上单调递增,可得,可得原不等式的解集.【详解】解:因为,所以,即.令,则,所以函数在上单调递增.又因为,不等式,可变形为,即,所以,即不等式的解集为.故选:C.【题型四】用f(x)/e构造型【典例分析】已知函数是定义在上的可导函数,且对于,均有,则有A.B.C. D.【答案】D【分析】通过构造函数,研究函数的单调性进而判断出大小关系.【详解】因为。所以<0,即构造函数,所以,即在R上为单调递减函数所以,化简得。同理,化简得所以选D【变式演练】1.已知是定义在上的偶函数,当时,(其中为的导函数),若,则的解集为()A.B.C.D.【答案】A【分析】由,结合已知条件有偶函数在上单调减,上单调增,再由即可求解集.【详解】由,而知:在上单调减,而,即,又知:, ∴在上有,又是定义在上的偶函数,则在上为偶函数,∴在上单调增,即,可得,综上,有,故选:A2.已知函数是定义在上的可导函数,且对于,均有,则有A.B.C.D.【答案】D【分析】通过构造函数,研究函数的单调性进而判断出大小关系.【详解】因为。所以<0,即构造函数,所以,即在R上为单调递减函数所以,化简得。同理,化简得所以选D3.已知定义在上的可导函数满足:,则与的大小关系是A.B.C.D.不确定【答案】A 【详解】令,则,所以函数在上单调递减.因为,所以,选A.点睛:利用导数解抽象函数不等式,实质是利用导数研究对应函数单调性,而对应函数需要构造.构造辅助函数常根据导数法则进行:如构造,构造,构造,构造等【题型五】利用sinx与f(x)构造型【典例分析】已知定义在上的函数,为其导函数,且恒成立,则A.B.C.D.【答案】C【详解】令,则,所以在上单调递增,因此,,所以选C. 【变式演练】1.已知奇函数的导函数为,且在上恒有成立,则下列不等式成立的()A.B.C.D.【答案】B【分析】构造函数,由已知可得出在上为增函数,再根据函数的奇偶性的定义得出为偶函数,由此逐一判断选项可得答案.【详解】构造函数,由在上恒有,,在上为增函数,又由,为偶函数,,,,,故A错误.偶函数在上为增函数,在上为减函数,,,,,故B正确; ,,,,故C错误;,,,,故D错误.故选:B.2.已知偶函数是定义在上的可导函数,当时,,若,则实数的取值范围为()A.B.C.D.【答案】C【分析】构造函数,可得是偶函数,求导可得出在上单调递增,在上单调递减,由可得,列出不等式即可求解.【详解】令,,则当时,,所以函数是定义在上的偶函数.当时,,所以函数在上单调递增,在上单调递减.又,,所以由,可得, 即,所以,所以,解得,所以实数的取值范围为,故选:C.3.设是定义在上的奇函数,其导函数为,当时,,则不等式的解集为()A.B.C.D.【答案】B【分析】令,易得是定义在上的偶函数,因为,可知在上单调递减,在上单调递增,从而可以根据函数的单调性,确定不等式的解.【详解】令,∵是定义在上的奇函数,∴是定义在上的偶函数.当时,,由,得,∴,则在上单调递减. 将化为,即,则.又是定义在上的偶函数.∴在上单调递增,且.当时,,将化为,即,则.综上,所求不等式的解集为.故选:B【题型六】利用cosx与f(x)构造型【典例分析】已知函数的定义域为,其导函数是.有,则关于x的不等式的解集为()A.B.C.D.【答案】B【分析】令,根据题设条件,求得,得到函数在内的单调递减函数,再把不等式化为,结合单调性和定义域,即可求解.【详解】由题意,函数满足,令,则 函数是定义域内的单调递减函数,由于,关于的不等式可化为,即,所以且,解得,不等式的解集为.故选:B【变式演练】1.已知偶函数的定义域为,其导函数为,当时,有成立,则关于x的不等式的解集为()A.B.C.D.【答案】B【分析】由题意,设,利用导数求得在上单调递减,且为偶函数,再把不等式,转化为,结合单调性,即可求解.【详解】由题意,设,则,当时,因为,则有,所以在上单调递减,又因为在上是偶函数,可得,所以是偶函数,由,可得,即,即 又由为偶函数,且在上为减函数,且定义域为,则有,解得或,即不等式的解集为,故选:B.2.已知函数的定义域为,其导函数为.若,且,则下列结论正确的是A.是增函数B.是减函数C.有极大值D.有极小值【答案】A【分析】对化简可得,即为,设函数,研究函数的性质,从而得到的单调性与极值,从而得到答案.解:设函数因为化简可得,即为,故,因为所以恒成立,所以在上单调递增,又因为,所以,所以当时,,当时,,,当时,,,,,故恒成立;当时,,,,,故恒成立; 所以在上恒成立,故在上单调递增,故函数没有极值,不可能单调递减。所以选A.3.【题型七】复杂型:e与af(x)+bg(x)等构造型【典例分析】设定义在上的函数的导函数为,若,,则不等式(其中为自然对数的底数)的解集为()A.B.C.D.【答案】C【分析】根据条件构造函数,分析的单调性并计算的值,将转化为,由此求解出不等式的解集.【详解】设,所以,因为,所以,所以在上单调递减,且,又因为等价于,所以解集为,故选:C.【变式演练】1.函数是定义在上的可导函数,为其导函数,若且,则不等式的解集为__________.【答案】【分析】 构造函数,由题知得到在的最小值为0,得到在单增,在上,等价于,利用单调性可解.【详解】构造函数,在上,等价于,,,得,在上单增,在上单减,在上,恒成立,又,则又在上,等价于,即,则不等式的解集为故答案为:2.函数是定义在上的可导函数,为其导函数,若,且,则的解集为()A.B.C.D.【答案】B【分析】设,则,,故,即,解不等式得到答案.【详解】设,则,,故,故,即,,即,,故.故选:.3.设定义在上的函数的导函数为,若,,则不等式(其中为自然对数的底数)的解集为A.B.C.D. 【答案】A【分析】构造函数,则可判断,故是上的增函数,结合即可得出答案.解:设,则,∵,,∴,∴是上的增函数,又,∴的解集为,即不等式的解集为.故选A.【题型八】复杂型:(kx+b)与f(x)型【典例分析】已知函数的定义域为,其图象关于点中心对称,其导函数,当时,,则不等式的解集为A.B.C.D.【答案】C【详解】由题意设,则,当时,,当时,,则在上递增,函数的定义域为,其图象关于点中心对称,函数的图象关于点中心对称,则函数是奇函数,令是上的偶函数,且在递增,由偶函数的性质得:函数在上递减,不等式化为:,即,解得,不等式解集是,故选C.【变式演练】1.设函数在上存在导函数,对任意实数,都有,当时,,若,则实数的最小值是() A.B.C.D.【答案】A【分析】构造函数,根据等式可得出函数为偶函数,利用导数得知函数在上单调递减,由偶函数的性质得出该函数在上单调递增,由,得出,利用函数的单调性和偶函数的性质解出该不等式即可.【详解】构造函数,对任意实数,都有,则,所以,函数为偶函数,.当时,,则函数在上单调递减,由偶函数的性质得出函数在上单调递增,,即,即,则有,由于函数在上单调递增,,即,解得,因此,实数的最小值为,故选A.2.已知定义域为的函数满足,其中为的导函数,则当时,不等式的解集为()A.B. C.D.【答案】D【分析】构造函数,由已知,所以在上单调递增,利用二倍角余弦公式化简变形,有,即,利用单调性即可求解.解:令,因为,所以,所以在上单调递增,因为,所以,不等式,即,所以,即,所以,又,所以,故选:D.3.已知是奇函数的导函数,当时,,则不等式的解集为A.B.C.D.【答案】B【分析】构造函数,可得为奇函数且在上单调递增,根据奇偶性可得在上单调递增,原不等式化为,从而可得结果.【详解】令,当时,,在上单调递增,为奇函数,也是奇函数,且在上单调递增,由化为. 得,,的解集为,故选B.【题型九】复杂型:与ln(kx+b)结合型【典例分析】设函数是定义在上的连续函数,且在处存在导数,若函数及其导函数满足,则函数A.既有极大值又有极小值B.有极大值,无极小值C.有极小值,无极大值D.既无极大值也无极小值【答案】C【分析】本题首先可以根据构造函数,然后利用函数在处存在导数即可求出的值并求出函数的解析式,然后通过求导即可判断出函数的极值.【详解】由题意可知,,即,所以,令,则,因为函数在处存在导数,所以为定值,,,所以,令,当时,,构建函数,则有,所以函数在上单调递增,当,,令,解得,所以在上单调递减,在上单调递增,因为,,所以当时函数必有一解,令这一解为,,则当时,当时, 综上所述,在上单调递减,在上单调递增,在上单调递增,所以有极小值,无极大值.【变式演练】1..已知是定义在上的奇函数,是的导函数,且满足:则不等式的解集为()A.B.C.D.【答案】D【分析】根据给定含导数的不等式构造函数,由此探求出在上恒负,在上恒正,再解给定不等式即可.【详解】令,,则,在上单调递减,而,因此,由得,而,则,由得,而,则,又,于是得在上,,而是上的奇函数,则在上,,由得:或,即或,解得或,所以不等式的解集为.故选:D2.设定义在上的函数恒成立,其导函数为,若,则()A.B.C.D. 【答案】B【分析】由题设构造,易知上,即单调递减,进而可比较、的大小.【详解】由题意,在上的函数恒成立,若,则,∵上,即,∴在上单调递减,而,故∴,可得.故选:B3.已知定义在上的连续奇函数的导函数为,已知,且当时有成立,则使成立的的取值范围是()A.B.C.D.【答案】B【分析】根据题意,设,对求导,利用导数与函数单调性的关系分析可得在上单调递减,分析的特殊值,结合函数单调性分析可得在区间和上,都有,结合函数的奇偶性可得在区间和上,都有,进而将不等式变形转化,解得的取值范围,即可得到答案.【详解】令,则, 因为当时有成立,所以当时,恒成立,所以在上单调递减,所以当时,,所以,又,所以,当时,,所以,又,所以,在是连续的函数,且,所以,时,,又由为奇函数,时,,所以或,解得或,则的取值范围是.故选:B.【题型十】复杂型:基础型添加因式型【典例分析】已知函数的导函数为,对任意的实数都有,,则不等式的解集是()A.B.C.D.【答案】C【分析】由已知条件构造函数,再根据,求,不等式转化为,结合函数的单调性和奇偶性,解抽象不等式.解:由题意得,则,由,解得:,故,(2),当时,,,,在上恒成立,即在上单调递增,又,故为上的偶函数,其图象关于轴对称,在上单调递减,故,故,故选:C.【变式演练】 1.定义在上的函数的导函数满足,则下列不等式中,一定成立的是A.B.C.D.【答案】A【详解】设,则,故函数在上递减,所以,所以,即,故选择A.2.已知定义在上的函数的导函数为,且满足,则关于不等式的解集为()A.B.C.D.【答案】A【分析】构造新函数,利用已知不等式可得的单调性,从而可解不等式.【详解】涉及函数定义域为,设,则,∵,∴,∴在上单调递增,不等式可化为,即,所以,,又,得,∴原不等式的解为.故选:A. 3.已知函数为上的可导函数,其导函数为,且满足恒成立,,则不等式的解集为A.B.C.D.【答案】A【分析】由,构造函数,求导,可得在R上单调递减,结合单调性,可求出不等式的解集.【详解】由题意知,,则构造函数,则,所以在R是单调递减.又因为,则.所求不等式可变形为,即,又在R是单调递减,所以,故选A【题型十一】复杂型:二次构造【典例分析】已知是函数的导函数,且对于任意实数都有,,则不等式的解集为()A.B.C.D.【答案】A【分析】本题解题关键在于根据已知构造出合适的函数,,再通过逆用求导公式得到,根据已知条件求得m的值,从而将抽象不等式转化为一元二次不等式,进而得解.【详解】因为,所以,即,亦即 ,又,所以,即有.原不等式可等价于,即,解得的取值范围是.故选:A.【变式演练】1.已知定义域为的函数满足(为函数的导函数),则不等式的解集为()A.B.C.D.【答案】C【分析】构造函数,由题意可知在上单调递增,再对分情况讨论,利用函数的单调性即可求出不等式的解集.解:由,当时,可得,即,即,构造函数,所以函数递增,则,此时,即满足;当时,可得,由函数递增,则,此时或,即满足;当时,,即满足.综上,.故选:C.2.已知函数的导函数为,且对任意的实数都有(是自然对数的底数),且,若关于的不等式的解集中恰有两个整数,则实数的取值范围是() A.B.C.D.【答案】C【分析】由题意得即求出解析式,利用导数研究其单调性和极值与最值,结合图象即可求解.【详解】即,所以,则,所以,因为,所以,所以,,由得,此时单调递增,由得或,此时单调递减,所以时,取得极大值为,当时,取得极小值,又因为,,,且时,, 的解集中恰有两个整数等价于在下方的图象只有2个横坐标为整数的点,结合函数图象可得:则,解得,所以时,的解集中恰有两个整数,故实数的取值范围是故选:C3.已知定义域为的函数的导函数为,且,若,则函数的零点个数为()A.1B.2C.3D.4【答案】B【分析】采用构造函数法,同乘得,变形得,即,由此可得表达式,将求出具体解析式,再结合导数研究增减性,画出大致图象,即可求解.【详解】依题意,,故,则,即,故 ,令,则,解得,故,故;令,则,当时,,当,,故,故当时,,当时,;作出函数的大致图象如图所示;观察可知,与有2个交点,即函数有2个零点,故选:B.【题型十二】综合构造【典例分析】定义在上的连续函数的导函数为,且成立,则下列各式一定成立的是()A.B.C.D.【答案】C【分析】设,由条件可得,即在上单调递减,且,由此卡判断选项A,B,C,将代入条件可得,可判断选项D.【详解】由题可得,所以,设则,所以在上单调递减,且由可得,所以,,所以选项A、B错误,选项C正确. 把代入,可得,所以选项D错误,故选:C.【变式演练】1.已知函数的导函数为,对任意的实数都有,,则不等式的解集是()A.B.C.D.【答案】C【分析】先求出的解析式,然后再探究其奇偶性和单调性,最后将原不等式转化,进而求出结果.【详解】由可得,即,所以(其中为常数),因此,,由可得,故.显然,是上的偶函数.当时,,所以,在上是增函数.故故选:C.2.定义在上的函数的导函数为,当时,且,.则下列说法一定正确的是()A.B. C.D.【答案】B【分析】构造函数,分析出函数为奇函数,利用导数分析出函数在上为增函数,由此可得出该函数在上为增函数,再利用函数的单调性可判断各选项的正误.【详解】令,,,所以,,,所以,函数为上的奇函数,,当时,,即,,所以,在上单调递增,由奇函数的性质可知,函数在上单调递增,所以,函数在上单调递增.对于A选项,,则,即,A选项错误;对于B选项,,,即,B选项正确;对于C选项,,,即,C选项错误;对于D选项,,,即,D选项错误.故选:B. 3.已知函数的定义域为,且是偶函数,(为的导函数).若对任意的,不等式恒成立,则实数的取值范围是()A.B.C.D.【答案】D【分析】设函数,求得时,,得到当时,,得到函数的单调性,把任意的,恒成立,转化为,即可求解.【详解】由为偶函数,得函数的图象关于直线对称.设函数,则,当时,,函数在上单调递增,可得当时,,所以当时,,所以函数在上单调递增,在上单调递减.设函数,则当时,因为,所以由对任意的,恒成立,可得,即,解得或,即实数的取值范围是.【题型十三】技巧计算型构造【典例分析】 定义在上的函数的导函数为,若,且,则A.B.C.D.【答案】C【分析】由得,构造函数:,求导判单调性得,进而得则可求【详解】因为,所以.构造函数:,所以.所以函数在上单调递增,所以,即,即.故选C【变式演练】1.已知是定义在上的奇函数,记的导函数为,当时,满足.若使不等式成立,则实数的最小值为A.B.C.D.【答案】D【详解】分析:由题意构造函数,借助单调性问题转化为ex(x3﹣3x+3)﹣aex﹣x≤0在上有解,变量分离求最值即可. 详解:由是定义在上的奇函数,当时,满足.可设故为上的增函数,又∴ex(x3﹣3x+3)﹣aex﹣x≤0在上有解,∴a≥x3﹣3x+3﹣,令g(x)=x3﹣3x+3﹣,g′(x)=3x2﹣3+=(x﹣1)(3x+3+),故当x∈(﹣2,1)时,g′(x)<0,当x∈(1,+∞)时,g′(x)>0,故g(x)在(﹣2,1)上是减函数,在(1,+∞)上是增函数;故gmin(x)=g(1)=1﹣3+3﹣=1﹣;故选D.2.定义在上的函数满足:是的导函数,则不等式的解集为A.B.C.D.【答案】A【详解】分析:设,得到函数,即函数为单调递增函数,不等式转化为,即可不等式的解集.详解:设,则,又由,则,所以,所以函数为单调递增函数,又由,所以,由不等式,即,即,所以不等式的解集为,故选A. 3.已知函数在上处处可导,若,则()A.一定小于B.一定大于C.可能大于D.可能等于【答案】A【解析】,即即,设,则,即函数在上单调递增,而,所以选A【课后练习】1.已知定义在上的函数的导函数为,且,则()A.B.C.D. 【答案】C【分析】根据题意以及选项对比可知,本题需要构造和,求导后判断其单调性得出和的结论代入化简即可.【详解】由题意可知,函数在上单调递减.,.构造,定义域为,则,所以在上单调递减,所以,即,故A,B错误.构造,定义域为,则,所以在上单调递增,所以,即,故B,D错误.。故选:C2.定义在上的函数有不等式恒成立,其中为函数的导函数,则()A.B.C.D.【答案】B【分析】根据已知条件可以得到,在(0,+∞)上的单调性,从而分别得到,进而得到结论.解:,即,因为定义在上,,令则,,则函数在上单调递增.由得,即,;同理令,, 则函数在上单调递减.。由得,,即.综上,.故选:B.3.已知函数的定义域为,其导函数为,对恒成立,且,则不等式的解集为()A.B.C.D.【答案】D【分析】根据已知条件构造一个函数,再利用的单调性求解不等式即可.【详解】由,可得,即,令,则.令,,所以在上是单调递减函数.不等式,等价于,即,,所求不等式即,由于在上是单调递减函数,所以,解得,且,即,故不等式的解集为.故选:D4.若函数满足:,,其中为的导函数,则函数 在区间的取值范围为()A.B.C.D.【答案】D【分析】变换得到,代入数据计算得到,求导得到函数单调性,计算最值得到答案.【详解】由有,可得:,故有:,得(为常数),得,由,解得:.故,∴,当时,,函数单调递减;当时,,函数单调递增.则当时,,,,由,故所求取值范围为:.故选:D.5.若定义域为的函数的导函数为,并且满足,则下列正确的是()A.B. C.D.【答案】B【分析】根据题意,可知,构造函数,利用导数研究函数的单调性,可知在上单调递增,得出,整理即可得出答案.解:由题可知,则,令,而,则,所以在上单调递增,故,即,故,即,所以.故选:B.6.已知是定义在上的函数,是的导函数,且满足,,则的解集为A.B.C.D.【答案】A【分析】令,利用导数证明函数在上为增函数,再将所求不等式转化为不等式进而得到;【详解】令,则,则在上为增函数,又,,∴所求不等式,,则,故选:A. 7.设函数是函数的导函数,若,且当时,,则不等式的解集为()A.B.C.D.【答案】B【分析】先构造函数令,由题意判断出的奇偶性和单调性,将不等式转化成,即,由函数单调性可得到,解得即可.【详解】令,,则由,可得,故为偶函数,又当时,,即,在上为增函数.不等式化为,,由函数单调性奇偶性可知:,解得,故选:.8.设是定义在上的函数,其导函数为,若,,则不等式(其中为自然对数的底数)的解集为()A.B.C.D.【答案】D【分析】构造函数,证明其单调递减,将不等式转化为,解得答案.【详解】设,则,函数单调递减,,故, ,即,即,故.故选:D.9.已知偶函数的定义域为,其导函数为,当时,有成立,则关于的不等式的解集为A.B.C.D.【答案】D【分析】构造函数,求导之后由题可知其在时单调递减,再由偶函数定义证得是的定义域在上的偶函数,进而转化已知不等式,由函数的性质解不等式即可.【详解】构造函数,则,即其在时,,函数单调递减,又因为函数是的定义域在上的偶函数,则,故函数是的定义域在上的偶函数,故不等式,所以故选:D10.设函数是偶函数的导函数,当时,,若,则实数的取值范围为()A.B.C.D.【答案】A 【分析】构造函数,求导,由题意可知在上是增函数,再由为偶函数可得也为偶函数,最后将不等式转化为,进而得到,由此可得的取值范围.【详解】令,则,当时,,在上是增函数,,为偶函数,,,,,解得,所以实数的取值范围为.故选:A.11.已知定义在R上的函数,其导函数为,若,且当时,,则不等式的解集为()A.B.C.D.【答案】C【分析】构造函数,根据已知条件,可得的单调性和奇偶性,将目标式转化为的不等式,进而利用的性质,求解不等式即可.【详解】构造函数,故可得;因为,故可得:即可得,故是偶函数;又因为时,,即,故当时,单调递减;又因为是偶函数,故当时,单调递增.又等价于, 整理得,结合是偶函数,且在单调递增,在单调递减,则原不等式等价于解得.12.已知函数的导函数为,且对任意的实数都有(是自然对数的底数),且,若关于的不等式的解集中恰有唯一一个整数,则实数的取值范围是()A.B.C.D.【答案】B【分析】对任意的实数都有,变形得到=构造函数对函数进行求导,根据已知条件可以求出函数的表达式,进而可以求出的解析式,求导,求出单调性,画出函数图象,利用数形结合思想进行求解即可.【详解】对任意的实数都有,变形得到=构造函数.故根据,得到进而得到,对函数求导得到根据导函数的正负得到函数在,,由此可得到函数的图像, 不等式的解集中恰有唯一一个整数,则此整数只能为,故,解得m的范围是:.13.已知定义在上的奇函数,导函数为,且当时,,若关于的不等式恒成立,则实数的取值范围为()A.B.C.D.【答案】D【分析】将不等式化为,构造函数,可得恒成立,根据已知可得在上为增函数,转化为恒成立,设,求出,即为所求.【详解】设,当时,,,所以在上是增函数,是在上的奇函数,所以是在上的奇函数,在上是增函数,且在处连续,所以在上为增函数,恒成立,,恒成立,即恒成立,设, 当时,单调递减,当时,单调递增,所以时,取得极小值,也是最小值,所以实数的取值范围是.故选:D.14.设函数f(x)的导函数为,f(0)=1,且,则的解集是A.B.C.D.【答案】B【分析】构造函数,计算,,故为常函数,,代入不等式得到答案.【详解】构造函数,,故.,故为常函数.故,,,,即,解得.故选:.15.已知是定义在区间上的函数,是的导函数,且,,则不等式的解集是__________.【答案】.【解析】分析:构造函数,利用已知条件判断出的单调性,结合列出不等式后求解. 详解:设,则,∵且,∴,即函数在上是增函数,,不等式等价于,即,又,∴,∴,解得,由定义域知,,故原不等式的解集是.故答案为(0,1).16.函数是定义在上的可导函数,为其导函数,若,且,则的解集为()A.B.C.D.【答案】B【分析】设,则,,故,即,解不等式得到答案.【详解】设,则,,故,故,即,,即,,故.故选:.17.已知定义在上的函数的导函数为、的图象关于点对称,且对于任意的实数,均有成立,若,则不等式的解集为()A.B.C.D.【答案】D 【分析】由的图象关于点对称,可知为奇函数,,构造新函数,求导可知在上单调递减,可转化为,即为,利用已知可求出进而可求的解集.【详解】的图象关于点对称,为奇函数,则有,令,则,则在上单调递减,由,得,所以.所以,所以.故选:.

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发布时间:2024-05-06 01:20:01 页数:49
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文章作者:180****8757

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