高考数学重难点题型归纳第6讲 函数单调性讨论16种题型（原卷版）

第6讲函数单调性含参讨论16类【题型一】讨论思维基础：求导后一元一次型参数在常数位置（单参）【典例分析】已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若函数与的图像有两个不同的公共点，求的取值范围.【变式演练】1.已知函数，，其中.（1）试讨论函数的单调性；（2）若，证明：.2.已知函数.（1）求的单调区间（2）若的极值点为，且，证明：.【题型二】讨论思维基础：求导后一元一次型参数在系数位置（单参）【典例分析】已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若是的两个极值点，证明：.【变式演练】 1.已知函数fx=alnx+1x+4，其中a∈R．（1）讨论函数fx的单调性；（2）对任意x∈1,e，不等式fx≥1x+x+12恒成立，求实数a的取值范围．2.己知函数(其中为自然对数的底数)（1）讨论函数的单调性;（2）当时，若恒成立，求实数的取值范围.3.已知函数，，其中.（1）试讨论函数的单调性；（2）若，证明：.【题型三】讨论思维基础：求导后一元一次型参数在“斜率”和常数位置（双参）【典例分析】已知函数，其中，．（1）讨论函数的单调性；（2）设函数的导函数为．若函数恰有两个零点，，证明：．【变式演练】1.已知函数，其中e为自然对数的底数． （1）求函数f（x）的单调区间；（2）取a＝0并记此时曲线y＝f（x）在点（其中）处的切线为l，l与x轴、y轴所围成的三角形面积为，求的解析式及的最大值．2.函数()．讨论的单调性﹒3.已知．（1）求的单调区间；（2）设，，为函数的两个零点，求证：．【题型四】上下平移思维基础：反比例函数型【典例分析】已知函数．（1）求的极值；（2）若（e为自然对数的底数）时恒成立，求a的取值范围．【变式演练】1.设函数.（1）若在点处的切线为，求a，b的值；（2）求的单调区间. 2.已知．（1）讨论的单调性；（2）当时，对任意都有成立，求实数a的最大值．【题型五】上下平移：指数型【典例分析】已知函数.（1）讨论函数的极值；（2）若函数在上的最小值是，求实数的值.【变式演练】1.设函数.（1）求函数的极值；（2）若在时恒成立，求的取值范围.2.设函数．（1）求函数的单调区间；（2）若函数有两个不同的零点，，为的导函数，求证：． 【题型六】上下平移：对数函数型【典例分析】已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）当时，恒成立，求实数的取值范围；（3）设，求证：．【变式演练】1.已知函数，（其中a为非零实数）．（1）讨论的单调性；（2）若函数（e为自然对数的底数）有两个零点．①求实数a的取值范围；②设两个零点分别为、，求证：．2.已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）当函数与函数图象的公切线经过坐标原点时，求实数的取值集合；（3）证明：当时，函数有两个零点，，且满足． 3.设为实数，且，函数.（1）求函数的单调区间；（2）若对任意，函数有两个不同的零点，求a的取值范围.【题型七】一元二次可因式分解型【典例分析】已知函数．（1）设讨论函数的单调性；（2）当时，函数在区间（，a，）上的最大值和最小值分别为和，求实数t的取值范围．【变式演练】1.已知函数.（1）讨论的单调性.（2）当时，证明：.2.设函数，其中.（1）讨论的单调性；（2）当时，若的图像与直线没有公共点，求的取值范围. 3.已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）当时，方程有四个根，求实数的取值范围．【题型八】一元二次不能因式分解：判别式+韦达定理+求根公式【典例分析】已知函数（）.（1）讨论的单调性；（2）若，且正数满足，证明.【变式演练】1.已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）设存在两个极值点，且，若，求证：.2.已知函数（）（1）讨论的单调性（2）当时，若函数的两个零点为，判断是否其导函数的零点？并说明理由 3.已知函数．（1）讨论的单调性；（2）当时，，求的取值范围.【题型九】双线法：指数型【典例分析】已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）若函数有两个不同的零点，求的取值范围．【变式演练】1.已知函数，其中．（1）讨论的单调性；（2）若，设，求证：函数在区间内有唯一的一个零点．2.已知函数（其中，为自然对数的底数）．（1）讨论函数的单调性；（2）当时，，求的取值范围． 3.已知函数.（1）讨论的单调性；（2）当时，令，若是函数的极值点，且，求证：.【题型十】双线法：对数型【典例分析】已知函数．（1）讨论的单调性；（2）当时，恒成立，求实数的取值范围．【题型十一】含三角函数型讨论【典例分析】已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）如果对于任意的，恒成立，求实数的取值范围；（3）设函数.过点作函数的图象的所有切线，令各切点的横坐标构成数列，求数列的所有项之和S的值. 【变式演练】1.已知函数．（1）讨论函数在区间上的单调性；（2）求函数的最值．2.已知.（1）求的单调区间；（2）若，证明:当时，有且只有两个零点.【题型十二】二阶求导讨论型【典例分析】已知函数（其中为自然对数的底数）.（1）讨论函数的导函数的单调性；（2）设，若x＝0为g（x）的极小值点，求实数a的取值范围.【变式演练】1.己知函数，，其中为常数，函数与轴的交点为，函数的图象与y轴的交点为，函数在点的切线与函数在点处的切线互相平行．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数的单调区间； 2.已知函数.（1）判断在上的单调性；（2）时，求证：（为自然对数的底数）.3.已知函数f(x)=(x+a)ln(x+1)−ax.（1）若a=2，求f(x)的单调区间；（2）若a≤−2，−1<x<0，求证：f(x)>2x(1−e−x).【题型十三】已知单调性求参【典例分析】已知函数.（1）若在上是增函数，求的取值范围；【变式演练】1.已知函数．（1）若在上为增函数，求实数的取值范围；2.已知函数．（1）若函数在定义域上是单调递增函数，求实数的取值范围； 3.已知函数．（1）若函数在上是减函数，求实数的取值范围；【题型十四】不确定单调增或减求参【典例分析】已知函数f(x)＝x2＋alnx.(2)若g(x)＝f(x)＋在[1，＋∞)上是单调函数，求实数a的取值范围．【变式演练】1.已知函数，其中为常数．(Ⅱ)若在区间上单调函数，求实数的取值范围；2、已知函数．（1）若是定义域上的单调函数，求的取值范围；（2）若在定义域上有两个极值点，，证明：．3.已知函数f(x)=ex-ax2-bx-1（a，bR），e=2.71828…为自然对数的底数．（1）设g(x)=f′(x)，若g(x)是（0，2）上的单调函数，求a的取值范围；（2）若f（2）=0，函数f(x)在（0，2）上有零点，求a的取值范围．【题型十五】存在单调增（减）区间【典例分析】 已知函数在处的切线与直线垂直，函数.（1）求实数的值；（2）若函数存在单调递减区间，求实数的取值范围；【变式演练】1.已知函数，其中a为实常数．（1）若f(x)在上存在单调递增区间，求a的取值范围；2.已知函数．（1）若曲线在点处的切线方程为，求实数a，b的值；（2）若函数在区间上存在单调增区间，求实数a的取值范围；（3）若在区间上存在极大值，求实数a的取值范围（直接写出结果）．3.已知函数，.（1）若函数存在单调增区间，求实数的取值范围；（2）若，为函数的两个不同极值点，证明：.【题型十六】非单调函数求参【典例分析】已知函数，其中. （1）如果曲线与轴相切，求的值；（2）如果函数在区间上不是单调函数，求的取值范围.【变式演练】1.已知函数的导数为，函数.（1）求；（2）求最小正周期及单调递减区间；（3）若，不是单调函数，求实数的取值范围.2.已知函数.（1）设，若存在两个极值点，，且，求证：；（2）设，在不单调，且恒成立，求的取值范围.（为自然对数的底数）.3.设函数，，（1）当时，若函数在上单调递增，求的取值范围：（2）若函数在定义城内不单调，求的取值范围：（3）是否存在实数，使得对任意正实数恒成立?若存在，求出满足条件的实数；若不存在，请说明理由. 【课后练习】1.已知函数，.（1）讨论的单调性；（2）若关于的不等式在上恒成立，求的取值范围.2.已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若恒成立，求实数a的值．3.已知函数．（1）讨论的单调性；（2）当时，求函数在内的零点个数．4.已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）若不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围．5.已知函数（）.（1）求函数的单调区间；（2）当时，若，（）满足，求证：. 6.已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）若不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围．7.设函数.（1）求函数的单调增区间；（2）当时，记，是否存在整数，使得关于x的不等式有解？若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由.（参考数据：）8.已知函数（1）若，试求曲线在点处的切线方程；（2）讨论的单调性．9.已知函数.（1）当时，求函数的极值；（2）讨论函数的单调性.10.已知，．（1）求的单调区间；（2）若时，恒成立，求m的取值范围． 11.已知函数.（1）求在（为自然对数的底数）上的最大值；（2）对任意给定的正实数，曲线上是否存在两点P，Q，使得是以О为直角顶点的直角三角形，且此直角三角形斜边的中点在y轴上?12.已知函数（1）若函数在处的切线方程为，求的值；（2）若函数在区间上存在单调增区间，求的取值范围；（3）当时，证明：对任意恒成立.13.设函数（）（是一个无理数）（1）若函数在定义域上不是单调函数，求a的取值范围；（2）设函数的两个极值点为和，记过点、的直线的斜率为k，是否存在a，使得？若存在，求出a的取值集合；若不存在，请说明理由．14.已知函数f（x）=x2﹣2x+alnx，是函数f（x）的极值点．（1）若，求函数f（x）的最小值；（2）若f（x）不是单调函数，且无最小值，证明：f（x0）＜0．