高考数学重难点题型归纳第6讲 函数单调性讨论16种题型（解析版）

第6讲函数单调性含参讨论16类【题型一】讨论思维基础：求导后一元一次型参数在常数位置（单参）【典例分析】已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若函数与的图像有两个不同的公共点，求的取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）【分析】（1）、先求出，对分类讨论判断导函数的正负即可得到单调区间;（2）、由题意将问题转化为有两个不同的实根，构造，判断的单调性；要使有两个不同的实根，则需有两个不同的实根；构造，对分类讨论判断的单调性，判断的零点，得出的取值范围.解（1），，.①、当，，函数在上单调递增；②、当，令，得，时，；时，，在上单调递减，在上单调递增.综上所述：当，的单调递增为，无单调递减区间；当，的单调递增为，的单调递减为.【变式演练】1.已知函数，，其中.（1）试讨论函数的单调性；（2）若，证明：.【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【分析】（1）先求出函数的定义域，然后求导，再根据导数的正负求出函数的单调区间，,（2）要证，只要证，由于时，，当时，令，再利用导数求出其最小值大于零即可（1）的定义域为当时，，在上单调递增；当时，令，解得；令，解得；综上所述：当时，在上单调递增，无减区间；当时，在上单调递减，在上单调递增；2.已知函数.（1）求的单调区间（2）若的极值点为，且，证明：.【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为（2）证明见解析【分析】（1）求导，由，求解；（2）由（1）结合的极值点为，由，得到，，作出函数的大致图象，不妨设，根据，得到，再由，将证明，转化为证明即可.解：的定义域为，，由，得.当时，；当时，.,所以的单调递减区间为，单调递增区间为.【题型二】讨论思维基础：求导后一元一次型参数在系数位置（单参）【典例分析】已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若是的两个极值点，证明：.【答案】（1）当时，在上为单调递增函数；当时，若在上为单调递增函数，在上为单调递减函数；（2）证明见解析.【分析】（1）的定义域为，求导，分类讨论和两种情况，研究的正负，从而求得函数的单调区间；（2）由题得，则，由是的两个极值点，可知，所以，要证，需证，构造函数，即证，从而证得.【详解】（1）易知的定义域为，.当时，，所以在上为单调递增函数；当时，若，则，若，则，所以在上为单调递增函数，在上为单调递减函数.【变式演练】,1.已知函数fx=alnx+1x+4，其中a&isin;R．（1）讨论函数fx的单调性；（2）对任意x&isin;1,e，不等式fx&ge;1x+x+12恒成立，求实数a的取值范围．【答案】（1）答案见解析（2）[e+12&minus;4,+&infin;)【分析】（1）求出导函数f&#39;(x)，分类讨论确定f&#39;(x)的正负得单调区间；（2）不等式变形为x+12&minus;alnx&minus;4&le;0．引入新函数gx=x+12&minus;alnx&minus;4x&isin;1,e，求出导函数g&#39;(x)，分类讨论a&le;0时，不等式不恒成立，a&gt;0时由导数确定函数有极小值点，而最大值是比较g(e)和g(1)的大小得到，从而得出参数范围．解（1）函数fx的定义域为0,+&infin;，f&#39;x=ax&minus;1x2=ax&minus;1x2，当a&le;0时，f&#39;x&lt;0恒成立，函数fx在0,+&infin;上单调递减；当a&gt;0时，由f&#39;x&gt;0，得x&gt;1a，由f&#39;x&lt;0，得0<x<1a，∴函数fx在0,1a上单调递减，在1a,+∞上单调递增．综上，当a≤0时，函数fx在0,+∞上单调递减；当a>0时，函数fx在0,1a上单调递减，在1a,+&infin;上单调递增.2.己知函数(其中为自然对数的底数)（1）讨论函数的单调性;（2）当时，若恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）【分析】,（1），进而分，，三种情况讨论求解即可；（2）由题意知在上恒成立，故令，再根据导数研究函数的最小值，注意到使，进而结合函数隐零点求解即可.（1）解：①，在上单调增；②，令，单调减。单调增；③，单调增。单调减.综上，当时，在上单调增；当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.3.已知函数，，其中.（1）试讨论函数的单调性；（2）若，证明：.【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）的定义域为，求出，分别讨论，，时不等式和的解集即可得单调递增区间和单调递减区间，即可求解；（2）的定义域为，不等式等价于，，令，只需证，令，利用导数判断单调性和最值即可求证.,解（1）的定义域为，由可得：，当时，令，解得；令，解得或；此时在上单调递增，在和上单调递减：当时，，此时在和上单调递减；当时，令，解得，令，解得或，此时在上单调递增，在和上单调递减：综上所述：当时，在上单调递增，在和上单调递减；当时，在和上单调递减；当时，在上单调递增，在和上单调递减.【题型三】讨论思维基础：求导后一元一次型参数在&ldquo;斜率&rdquo;和常数位置（双参）【典例分析】已知函数，其中，．（1）讨论函数的单调性；（2）设函数的导函数为．若函数恰有两个零点，，证明：．【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【分析】（1）求导，，分，时，，三种情况讨论求解；,（2）根据（1）知，当或时，至多有1个零点，当时，函数在上单调递减，在，上单调递增，且（1），再由零点存在性定理判断另一个根的存在即可.（1）解：由，得，．当，即时，，在上单调递减；当，即时，．①当时，且，，在上单调递增；②当时，，，当变化时，，的变化情况如下表：，0单调递减极小值单调递增综上，当时，在上单调递增，当时，在上单调递减，在，上单调递增，当时，在上单调递增，【变式演练】1.已知函数，其中e为自然对数的底数．（1）求函数f（x）的单调区间；,（2）取a＝0并记此时曲线y＝f（x）在点（其中）处的切线为l，l与x轴、y轴所围成的三角形面积为，求的解析式及的最大值．【答案】（1）答案见详解（2），；【分析】（1）求导得，分类讨论参数，结合导数正负即可求解函数单调区间；（2）求出过点的切线方程，分别令求出，令求出，结合三角形面积公式可求，结合导数即可求解的最大值．解（1）由求得，当时，，在上单调递增；当时，令，得，时，，单调递减；时，，单调递增；当时，时，，单调递增；时，，单调递减；综上所述，当时，在上单调递增；当时，时，单调递减；时，单调递增；当时，时，单调递增；时，单调递减；2.函数()．讨论的单调性﹒【答案】见解析﹒【分析】求出g(x)的导数，分类讨论的正负，以此确定g(x)的单调性﹒【详解】的定义域为，，,①当，时，，则在上单调递增；②当，时，令，得，在上单调递增，令，得，在上单调递减；③当，时，，则在上单调递减；④当，时，令，得，在上单调递增，令，得，在上单调递减﹒综上所述，①当，时，在上单调递增；②当，时，在上单调递减，在上单调递增；③当，时，在上单调递减；④当，时，在上单调递增，在上单调递减﹒3.已知．（1）求的单调区间；（2）设，，为函数的两个零点，求证：．【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论m的范围，求出函数的单调区间即可；（2）构造函数，与y＝m图象两交点的横坐标为，，问题转化为证明,，，根据函数的单调性证明即可．解（1），，，当时，，即的单调递增区间为，无减区间；当时，，由，得，时，，时，，时，的单调递增区间为，单调递减区间为；综上所述：当时，的单调递增区间为，无减区间；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.【题型四】上下平移思维基础：反比例函数型【典例分析】已知函数．（1）求的极值；（2）若（e为自然对数的底数）时恒成立，求a的取值范围．【答案】（1）当时，无极值；当时，有极大值，极大值为，无极小值（2）【分析】（1）求得，对进行分类讨论，由此求得的极值.（2）将不等式分离常数，利用构造函数法，结合导数来求得的取值范围.J解（1）的定义域为．．当时，在上单调递减，无极值．,当时，由，得，当时，在上单调递增．当时，在上单调递减．在处取得极大值，无极小值．．综上所述，当时，无极值；当时，有极大值，极大值为，无极小值．【变式演练】1.设函数.（1）若在点处的切线为，求a，b的值；（2）求的单调区间.【答案】（1），；（2）答案见解析.【分析】（1）已知切线求方程参数，第一步求导，切点在曲线，切点在切线，切点处的导数值为切线斜率.(2)第一步定义域，第二步求导，第三步令导数大于或小于0，求解析，即可得到答案.（1）的定义域为，，因为在点处的切线为，所以，所以；所以把点代入得：.即a，b的值为：，.,2.已知．（1）讨论的单调性；（2）当时，对任意都有成立，求实数a的最大值．【答案】（1）当时，在定义域上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减（2）【分析】（1）求得导函数，讨论时，时，导函数的符号，即可判断原函数的单调性；（2）当时，对有成立，可化为在上恒成立，令，只需，计算即可求得结果．（1）∵的定义域为，且．当时，显然，&there4;在定义域上单调递增；当时，令，得，则有：+0-极大值即在上单调递增，在上单调递减，综上所述，当时，在定义域上单调递增；,当时，在上单调递增，在上单调递减；【题型五】上下平移：指数型【典例分析】已知函数.（1）讨论函数的极值；（2）若函数在上的最小值是，求实数的值.【答案】（1）答案见解析（2）【分析】（1）求得，分和两种情况讨论，结合导数的符号，即可求解；（2）由（1）知，当时，不符合题意；当时，分、和三种情况讨论，结合函数的单调性和，即可求解.解：（1）由题意，函数的定义域为，可得，当时，可得，单调递增，此时函数的无极值；当时，令，可得，当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以当时，函数取得极小值，极小值为，无极大值.综上所述，当时，函数无极值；当时，函数的极小值为，无极大值.【变式演练】,1.设函数.（1）求函数的极值；（2）若在时恒成立，求的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）[,+&infin;).【分析】（1）求出，分两种情况讨论的范围，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；根据单调性即可求得f(x)的极值﹒（2）参变分离，将问题转化为用导数求函数的最值问题﹒（1）由题可知，①当在上单调递增，&there4;f(x)没有极值；②当时，．当时，单调递增；当时，单调递减；&there4;f(x)在时取得极大值，没有极小值﹒综上所述，当时，无极值；当时，有极大值，无极小值；2.设函数．（1）求函数的单调区间；（2）若函数有两个不同的零点，，为的导函数，求证：,．【答案】（1）当时，的单调递增区间为R，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为（2）证明见解析【分析】（1）求导，对参数分类，讨论的正负，研究函数的单调性；（2）由已知，且，则，进而得到，构造函数判断函数的单调性知，进而得到，再判断，即可证得结论.（1）由题可得，，当时，，函数的单调递增区间为R，无单调递减区间；当时，令，得，令，得，所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为．综上，当时，的单调递增区间为R，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为．【题型六】上下平移：对数函数型【典例分析】已知函数．（1）求函数的单调区间；,（2）当时，恒成立，求实数的取值范围；（3）设，求证：．【答案】（1）增区间为，减区间为（2）（3）证明见解析【分析】（1）利用导数求得的单调区间.（2）结合的单调性以及来求得的取值范围.（3）结合（2）的结论得到，由等差数列的前项和公式证得不等式成立.解（1）的定义域为，，令，解得.所以在区间递增；在区间递减，所以的增区间为，减区间为.【变式演练】1.已知函数，（其中a为非零实数）．（1）讨论的单调性；（2）若函数（e为自然对数的底数）有两个零点．①求实数a的取值范围；②设两个零点分别为、，求证：．【答案】（1）答案见解析（2）①；②证明见解析【分析】（1）求得，对进行分类讨论，由此求得的单调区间.（2）①由转化为，通过换元法，结合导数求得的取值范围.,②利用换元法，将证明转化为证明，通过构造函数法，结合导数来证得不等式成立.（1），若，则当时，，，单调递增；当时，，，单调递减．若，则当时，，单调递减；当时，，，单调递增．2.已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）当函数与函数图象的公切线经过坐标原点时，求实数的取值集合；（3）证明：当时，函数有两个零点，，且满足．【答案】（1）答案见解析（2）（3）证明见解析【分析】（1）利用导数求解单调性；（2）利用是的切线求出其切线方程，再利用切线方程与只有一个公共点，即可求出实数的取值集合；（3）证明有两个零点，即证明函数，其中一个零点通过观察即可求得，另一个零点通过切线放缩即可证明，将代入中，即证明成立，通过构造函数，判断其单调性即可证明.解（1）函数的定义域为，对求导，得，,令，解得，当时，，单调递增．当时，，单调递减；故的单调递增区间为，单调递减区间为.3.设为实数，且，函数.（1）求函数的单调区间；（2）若对任意，函数有两个不同的零点，求a的取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）【分析】（1）求导得，再分和两种情况讨论求解即可；（2）由题得有两个不同的根，进而曲线与直线有两个不同的交点.故先考虑曲线与直线相切的情况时得，进而令，构造函数，由函数的性质知得，进而问题转化为恒成立，最后结合已知，解不等式即可得答案.解：（1）由题意得.因为，所以，所以当时，，所以当时，函数在上单调递增.当时，令，则，所以；令，得，所以当时，函数在上单调递减，在上单调递增.综上，当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减，在上单调递增.,【题型七】一元二次可因式分解型【典例分析】已知函数．（1）设讨论函数的单调性；（2）当时，函数在区间（，a，）上的最大值和最小值分别为和，求实数t的取值范围．【答案】（1）当时，在上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减；（2）.【分析】（1）由题意求出函数的导函数，对与讨论的单调性.解（1）由题，定义域为，所以．当时，，所以函数在上单调递减；当时，由，得，由，得，所以函数在上单调递增，在上单调递减．综上，当时，在上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减．【变式演练】1.已知函数.（1）讨论的单调性.,（2）当时，证明：.【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【分析】（1）求导得，分类讨论参数范围可求的单调性；（2）将不等式变形得，构造函数，通过求出最值，证明即可得证.（1）的定义域为，若，恒有，则在上单调递增，在上单调递减，若，令，得，若，恒有在上单调递增，若，当时，；当时，，故在和上单调递增，在上单调递减，若，当时，；当时，，故在和上单调递增，在上单调递减；2.设函数，其中.,（1）讨论的单调性；（2）当时，若的图像与直线没有公共点，求的取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）【分析】（1）先求出函数定义域，然后求出函数的导函数，分类讨论确定和的范围，得单调区间；（2）由（1）得函数的最小值为，由可得结论．（1）定义域是，，或，若，则，在上是增函数，若，则在时，，时，，的减区间是，增区间是；若，则在时，，时，，的减区间是，增区间是；3.已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）当时，方程有四个根，求实数的取值范围．【答案】（1）答案见解析（2）或【分析】,（1）求导，分，，，讨论求解；解：，当时，当或时，，当时，，所以的单调递减区间，，单调递增区间；当时，恒成立，所以在上递减；当时，当或时，，当时，，所以的单调递减区间，，单调递增区间；【题型八】一元二次不能因式分解：判别式+韦达定理+求根公式【典例分析】已知函数（）.（1）讨论的单调性；（2）若，且正数满足，证明.【答案】（1）当时，在单调递增，在单调递减；当时，在单调递增，在单调递减；【分析】（1）先求定义域，再求导，分与两种情况讨论求出的单调性；（2）代入，对进行整理，把与的乘积和与的和分别放在等式的两边，，求出等式右边的取值范围，进而得到关于的不等式，解出不等式的解集即可.（1）,定义域为，，令，当时，，令得：，令得：，所以单调递增区间为，单调递减区间为，当时，，此时，，其中由定义域可得：舍去，从而当时，单调递增，当时，单调递减，综上：当时，在单调递增，在单调递减；当时，在单调递增，在单调递减【变式演练】1.已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）设存在两个极值点，且，若，求证：.【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【分析】（1）先把函数进行求导并进行化简，由题意知，，在对进行讨论即可得到答案.（2）由（1）知在时，存在两个极值点，利用韦达定理求出的关系式，并用分别表示出和，把代入中进行化简，，所以可以求出最小值，即可证出.（1）由题意可知，，,当时，，则在是单调递增；当时，若，即时，若，即时，和时，时，，综上，时，在是单调递增；时，在和递增，在递减2.已知函数（）（1）讨论的单调性（2）当时，若函数的两个零点为，判断是否其导函数的零点？并说明理由【答案】（1）当时，在上单调递减；当时，在上单调递减；在上单调递增；当时，在上单调递增；在上单调递减；（2）不是，理由见解析；【分析】（1）先求导，然后结合导数与单调性关系对参数进行讨论即可得解；（2）要判断是否其导函数的零点，问题转化为是否成立，结合函数的性质进行求解.,【详解】（1）函数，定义域为求导（i）当时，，在上单调递减；当时，令，其令，得，（ii）当时，，（舍去），当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增；（iii）当时，，（舍去），当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减；综上可知，当时，在上单调递减；当时，在上单调递减；在上单调递增；当时，在上单调递增；在上单调递减；3.已知函数．（1）讨论的单调性；（2）当时，，求的取值范围.【答案】（1）答案见解析；（2）【分析】,（1）由题知，再分和两种情况讨论求解即可；（2）根据题意，故令，，将问题转化为.由于，再分，，三种情况讨论求解即可.（1）解：函数的定义域为，，所以当，即时，恒成立，函数在上单调递增；当，即或时，令得，令，所以的解集为，的解集为，所以在和上单调递增，在上单调递减；综上，当时，在上单调递增；当或时，在和上单调递增，在上单调递减；【题型九】双线法：指数型【典例分析】已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）若函数有两个不同的零点，求的取值范围．【答案】（1）答案见解析；（2），.【分析】（1）对进行求导，对进行分类讨论，利用导数研究函数的单调性，即可得出函数,的单调性；解：，①当时，恒成立，令，则，所以的单调增区间为，令，则，所以的单调减区间为；②当时，令，则或，（ⅰ）当，即时，令，则或，令，则，所以的单调增区间为和，单调减区间为；【变式演练】1.已知函数，其中．（1）讨论的单调性；（2）若，设，求证：函数在区间内有唯一的一个零点．【答案】（1）当时，在和上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减.（2）证明见解析【分析】（1）求出后，分，，三种情况，由的正负确定函数的单调性；,（2）根据的单调性，利用零点存在性定理进行证明即可.（1），，令，得或，①当时，由，得或；由，得，在和上单调递增，在上单调递减；②当时，时；当时.在上单调递增；③当时，由，得或;由，得，在和上单调递增，在上单调递减，综上所述：当时，在和上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减.2.已知函数（其中，为自然对数的底数）．（1）讨论函数的单调性；（2）当时，，求的取值范围．【答案】（1）答案见解析；（2）【分析】（1）计算，分别讨论、、、时，解不等式和可得单调增区间和单调减区间即可求解；（1）,由可得，当时，，当时，；当时，，此时的单调递增区间为，单调递减区间为当时，由得，，，①若，即时，恒成立，故在上单调递增；②若，即时，由可得：或；令可得：此时的单调递增区间为和，单调递减区间为；③若，即时，由可得：或；由可得：此时的单调递增区间为和，单调递减区间为；综上所述：当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；当时，在上单调递增；当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为；,当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为.3.已知函数.（1）讨论的单调性；（2）当时，令，若是函数的极值点，且，求证：.【答案】（1）见解析（2）见解析【分析】（1）由题意首先求得导函数的解析式，然后分类讨论函数的单调性即可；解：，当时，则当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，当时，由，得或，若，则，所以在上单调递增，②若，则，故当，时，，当时，，所以在，上单调递增，在上单调递减，③若，则，故当，时，，当时，，所以在，上单调递增，在上单调递减，综上所述，当时，在上递减，在上递增；当时，在上递增；当时，在，上递增，在上递减；,当时，在，上递增，在上递减；【题型十】双线法：对数型【典例分析】已知函数．（1）讨论的单调性；（2）当时，恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）答案见解析（2）【分析】（1）求得的定义域和导函数，对进行分类讨论，由此求得的单调性.（2）由分离常数，利用构造函数法，结合导数求得的取值范围.（1）由题知的定义域为，．若，则当时，，当时，，&there4;在上单调递减，在上单调递增；若，则当或时，，当时，，&there4;在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；若，则当时，，&there4;在上单调递增；若，则当或时，，当时，，,&there4;在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．【题型十一】含三角函数型讨论【典例分析】已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）如果对于任意的，恒成立，求实数的取值范围；（3）设函数.过点作函数的图象的所有切线，令各切点的横坐标构成数列，求数列的所有项之和S的值.【答案】（1）（2）（3）【分析】（1）对函数求导，求增区间需要导函数大于等于0，求减区间需要导函数小于等于0，分别解不等式即可；（2）令，要使恒成立，只需当时，，对该函数求导，分类讨论研究函数单调性，进而得到结果；（3）求出函数过点的切线方程，各切点的横坐标满足，为函数和,的交点的横坐标，这两个函数图像均关于点对称，则它们交点的横坐标也关于对称，从而所作的所有切线的切点的横坐标构成数列的项也关于成对出现，从而根据对称性得出结果.∵，增区间应满足：，减区间应该满足：，&there4;的增区间为；减区间为.【变式演练】1.已知函数．（1）讨论函数在区间上的单调性；（2）求函数的最值．【答案】（1）在区间和上单调递增，在和上单调递减（2）的最大值为1，最小值为【分析】(1)结合已知条件求出，然后求出，进而即可求解；(2)首先求出的周期，然后结合(1)中条件即可求解.（1）,由题意，，令，，解得或或，当时，；当时，，&there4;在区间和上单调递增，在和上单调递减；2.已知.（1）求的单调区间；（2）若，证明:当时，有且只有两个零点.【答案】（1）在和上单调递增，在上单调递减；（2）证明见解析.【分析】（1）对求导可得，讨论、求自变量范围，即可确定单调区间；（2）由题设得，讨论、、结合导数及零点存在性定理判断零点的个数，即可证明结论.（1）由题意知：，令，得或，令，得，&there4;在和上单调递增，在上单调递减；,【题型十二】二阶求导讨论型【典例分析】已知函数（其中为自然对数的底数）.（1）讨论函数的导函数的单调性；（2）设，若x＝0为g（x）的极小值点，求实数a的取值范围.【答案】（1）答案见解析；（2）.【分析】（1）先求导，再对利用导数分两种情况求函数的单调区间；（2）求出，令，则，令，再对分两种情况讨论分析得解.解：（1），令，则，①当时，，②当时，时，，时，；综上，当时，在上是增函数；当时，在上是增函数，在上是减函数；【变式演练】1.己知函数，，其中为常数，函数与轴的交点为，函数的图象与y轴的交点为，函数在点的切线与函数在点处的切线互相平行．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数的单调区间；,【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）单调递增区间为，单调递减区间为；试题解析：（Ⅰ）与坐标轴交点为，，与坐标轴交点为，解得，又，故（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，令，显然函数在区间上单调递减，且当时，，在上单调递增当时，，在上单调递减故的单调递增区间为，单调递减区间为．2.已知函数.（1）判断在上的单调性；（2）时，求证：（为自然对数的底数）.【答案】（1）在上为单调增函数；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）要判断在上的单调性，只需研究的值域，进一步研究的取值情况即可.（2）由（1）知，在单调递增，且易证，所以只需证明当时，，此结论易证.,【详解】解：（1）的定义域为，，&there4;当时，，在上为增函数，时，，在上为单调增函数.3.已知函数f(x)=(x+a)ln(x+1)&minus;ax.（1）若a=2，求f(x)的单调区间；（2）若a&le;&minus;2，&minus;1<x<0，求证：f(x)>2x(1&minus;e&minus;x).【答案】(1)f(x)的单调递增区间为(&minus;1,+&infin;)，不存在递减区间.(2)见证明【解析】【分析】(1)求出f&#39;(x)=ln(1+x)&minus;xx+1，f&#39;&#39;(x)=1x+1&minus;1(x+1)2=x(x+1)2研究函数f&#39;&#39;(x)的正负情况即可明确f&#39;(x)=ln(1+x)&minus;xx+1的正负情况，即可得到f(x)的单调区间；(2)设g(x)=ln(1+x)&minus;x，证明g(x)&le;0，要证明f(x)&gt;2x(1&minus;e&minus;x)只需证明(x&minus;2)ln(1+x)&gt;&minus;2xe&minus;x.【详解】解法一：（1）f(x)的定义域为(&minus;1,+&infin;)，a=2时，f(x)=(x+2)ln(1+x)&minus;2xf&#39;(x)=ln(1+x)+x+2x+1&minus;2=ln(1+x)&minus;xx+1,所以f&#39;&#39;(x)=1x+1&minus;1(x+1)2=x(x+1)2当x&isin;(&minus;1,0)时，f&#39;&#39;(x)&lt;0，所以f&#39;(x)在(&minus;1,0)单调递减；当x&isin;(0,+&infin;)时，f&#39;&#39;(x)&gt;0，所以f&#39;(x)在(0,+&infin;)单调递增；所以f&#39;(x)&ge;f&#39;(0)=0，所以f(x)在(&minus;1,+&infin;)单调递增，,即f(x)的单调递增区间为(&minus;1,+&infin;)，不存在递减区间.【题型十三】已知单调性求参【典例分析】已知函数.（1）若在上是增函数，求的取值范围；【答案】（1）；（1）当时，，故结论成立当时，，即.当时，在上不恒大于或等于0，故舍去.综上得的取值范围范围是.【变式演练】1.已知函数．（1）若在上为增函数，求实数的取值范围；【答案】（1）；试题解析：（1）由题意，即对恒成立，整理得，即，在恒成立设显然其对称轴为&there4;在单调递增，&there4;只要，&there4;．2.已知函数．,（1）若函数在定义域上是单调递增函数，求实数的取值范围；【答案】（1）；【解析】（1）函数定义域为，．依题意在上恒成立，即在上恒成立．令．（方法1）则，因此当，即时取最小值．（方法2）则，令得，且当时；当时，所以在取得最小值，故实数的取值范围是．3.已知函数．（1）若函数在上是减函数，求实数的取值范围；【答案】（1）；试题解析：解：（1）在上恒成立，令，有得，得．综上，存在实数，使得当时有最小值3．,【题型十四】不确定单调增或减求参【典例分析】已知函数f(x)＝x2＋alnx.(2)若g(x)＝f(x)＋在[1，＋&infin;)上是单调函数，求实数a的取值范围．【答案】(2)[0，＋&infin;)试题解析(2)由题意得g&prime;(x)＝2x＋－，函数g(x)在[1，＋&infin;)上是单调函数．(ⅰ)若函数g(x)为[1，＋&infin;)上的单调增函数，则g&prime;(x)&ge;0在[1，＋&infin;)上恒成立，即a&ge;－2x2在[1，＋&infin;)上恒成立，设&phi;(x)＝－2x2，因为&phi;(x)在[1，＋&infin;]上单调递减，所以&phi;(x)max＝&phi;(1)＝0，所以a&ge;0.(ⅱ)若函数g(x)为[1，＋&infin;)上的单调减函数，则g&prime;(x)&le;0在[1，＋&infin;)上恒成立，不可能．综上，实数a的取值范围是[0，＋&infin;)．【变式演练】1.已知函数，其中为常数．(Ⅱ)若在区间上单调函数，求实数的取值范围；【答案】(Ⅱ)；．试题解析：(Ⅱ)①当是增函数时，在上恒成立，即在上恒成立，在上恒成立．在上是减函数，，②当是减函数时，在上恒成立，即在上恒成立。设，则解得。的取值范围为,2、已知函数．（1）若是定义域上的单调函数，求的取值范围；（2）若在定义域上有两个极值点，，证明：．【答案】（1），；（2）证明见解析.【分析】（1）若在上单调递减，等价于，利用二次函数求出最大值即得解；若在递增，等价于，二次函数没有最小值，此种情况无解.综合即得解.（2）利用韦达定理求出，，再求出，求出函数的最小值即得证.（1）解：，，若在上单调递减，则在上恒成立，故，，，若在递增，则在恒成立，故，没有最小值，此时不存在，综上，的取值范围是，；3.已知函数f(x)=ex-ax2-bx-1（a，bR），e=2.71828&hellip;为自然对数的底数．（1）设g(x)=f&prime;(x)，若g(x)是（0，2）上的单调函数，求a的取值范围；（2）若f（2）=0，函数f(x)在（0，2）上有零点，求a的取值范围．【答案】（1）或；（2）．【分析】,（1）由于是（0，2）上的单调函数，所以在（0，2）上大于等于零或小于等于零，从而可求出a的取值范围；（2）由函数f(x)在（0，2）上有零点，则，使，而，，从而可得在，上不单调，则在上至少有两个零点，则（1）可得当时，有可能有两个零点，从而可判断在上有两个零点，，且，，所以有，再结合解不等式组可得答案解：（1），&there4;，∵在上单调，&there4;或在上恒成立，即或在上恒成立，&there4;或．【题型十五】存在单调增（减）区间【典例分析】已知函数在处的切线与直线垂直，函数.（1）求实数的值；（2）若函数存在单调递减区间，求实数的取值范围；【答案】（1）；（2）；试题解析：（1），垂直，，（2）,设，则只须的取值范围为【变式演练】1.已知函数，其中a为实常数．（1）若f(x)在上存在单调递增区间，求a的取值范围；【答案】（1）；试题解析：（1）．若，即，则，从而f(x)在R上是减函数，不合题意，所以．由，得，即，所以f(x)的单调递增区间是．因为f(x)在上存在单调递增区间，则，即，解得．故a的取值范围是．2.已知函数．（1）若曲线在点处的切线方程为，求实数a，b的值；（2）若函数在区间上存在单调增区间，求实数a的取值范围；（3）若在区间上存在极大值，求实数a的取值范围（直接写出结果）．【答案】（1）（2）（3）【分析】,（1）求导，再根据曲线在点处的切线方程为求解；（2）根据函数在区间上存在单调增区间，又在上有解求解；（3）（1）解：因为，所以，因为曲线在点处的切线方程为，所以切线斜率为1，即，，所以．（2）因为函数在区间上存在单调增区间，所以在上有解，即只需在上的最大值大于0即可．令，当时，为增函数，当时，为减函数，所以，当时，取最大值，故只需，即．所以实数a的取值范围是．3.已知函数，.（1）若函数存在单调增区间，求实数的取值范围；（2）若，为函数的两个不同极值点，证明：.【答案】（1）（2）见解析,【分析】（1）由已知可知，若满足条件，即有解，转化为有解，即，设，利用导数求函数的最大值；【详解】（1）由题函数存在增区间，即需有解，即有解，令，，且当时，，当时，，如图得到函数的大致图象，故当，&there4;时，函数存在增区间；【题型十六】非单调函数求参【典例分析】已知函数，其中.（1）如果曲线与轴相切，求的值；（2）如果函数在区间上不是单调函数，求的取值范围.【答案】（1）1（2）【分析】（1）先求导，再根据导数的几何意义即可求出结果；（2）先求出函数在上是单调函数的范围即可，求导，分离参数构造函数，求出函数的最值即可.（1）求导得，曲线与轴相切，此切线的斜率为0.,由解得，又由曲线与轴相切，得解得.（2）由题意可得，当时，在上恒成立，函数单调递增，当时，在上恒成立，函数单调递减，在上恒成立，或在上恒成立，在上恒成立，或在上恒成立，令，由，解得，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，，或或函数在区间上不是单调函数，，故的取值范围为.【变式演练】1.已知函数的导数为，函数.（1）求；（2）求最小正周期及单调递减区间；（3）若，不是单调函数，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）最小正周期为，单调递减区间为，；（3）.,【分析】(1)利用基本初等函数的求导公式及导数运算法则直接计算即得；(2)结合(1)的结论利用三角恒等变换化简，再借助正弦函数性质即可作答；(3)根据给定条件求出的导数，在内求出及恒成立的a值范围即可得解.【详解】(1)依题意，；(2)由(1)知，，则的最小正周期为，由，得：，，所以的单调递减区间为，；(3)由(2)知，，，当时，，则，即，当在上单调时，则对，或成立，由，得：，，则，由，得：，，则，因此，当在上单调时，或，于是得不是单调函数时，，,所以实数的取值范围是.2.已知函数.（1）设，若存在两个极值点，，且，求证：；（2）设，在不单调，且恒成立，求的取值范围.（为自然对数的底数）.【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）先求出，又由可判断出在上单调递减，故，令，记，利用导数求出的最小值即可；（2）由在上不单调转化为在上有解，可得，令，分类讨论求的最大值，再求解即可.【详解】（1）已知，，由可得，又由,知在上单调递减，令，记，则在上单调递增；，在上单调递增；，,（2），，在上不单调，在上有正有负，在上有解，，，恒成立，记，则，记，，在上单调增，在上单调减.于是知（i）当即时，恒成立，在上单调增，，，.（ii）当时，，故不满足题意.综上所述，3.设函数，，（1）当时，若函数在上单调递增，求的取值范围：（2）若函数在定义城内不单调，求的取值范围：（3）是否存在实数，使得对任意正实数恒成立?若存在，求出满足条件的实数；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）；（3）存在，.【分析】（1）根据题意，得到，再由函数单调性，即可得出结果；,（2）先由题意，得到定义域，再对函数求导，根据其不单调，得到的最小值为负，进而可得出结果；（3）先令，对其求导，用导数的方法求出最大值，再结合题中条件，即可得出结果.【详解】（1）当时，，在上单调递增，而函数可由平移后得到，函数单调递增，所以只需，所以；（2）易知函数的定义域为，而，因为函数在定义城内不单调，所以，只需的最小值为负，即，所以.【课后练习】1.已知函数，.（1）讨论的单调性；（2）若关于的不等式在上恒成立，求的取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）【分析】（1）首先求出函数的导函数，再对分和两种情况讨论，分别求出函数的单调区间；,（2）依题意在上恒成立，令，求出函数的导函数，再由二次函数的性质，可得二次函数必有一正一负两个零点，设其中一个零点，则，再利用导数求出的范围，从而求出的取值范围；解：因为定义域为，且.①若，则，所以在上单调递减.②若，令，得.当时，；当时，.所以在上单调递增，在上单调递减.2.已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若恒成立，求实数a的值．【答案】（1）答案见解析（2）【分析】（1）求得的定义域为，且，分和两种情况讨论，结合导数的符号，即可求解；（2）当时，得到，不合题意；当时，得到，根据题意转化为，令，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解.解（1）：由题意，函数的定义域为，则，当时，对，，故在上单调递增，当时，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减综上，当时，在上单调递增，当时，在上单调递增，在上单调递减.,3.已知函数．（1）讨论的单调性；（2）当时，求函数在内的零点个数．【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2）答案不唯一，具体见解析.【分析】(1)确定函数的定义域并求导，再对a的取值进行分类讨论即可得函数的单调性.(2)求出函数，借助导数求出的最大值，再对a的取值进行分类讨论即可确定零点个数.（1）函数的定义域为，求导得：，当时，，在上单调递增，当时，当时，，当时，，于是得函数在上单调递增，在上单调递减，所以，当时，在上单调递增，当时，在上单调递增，在上单调递减.4.已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）若不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围．【答案】（1）当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增（2）【分析】（1）求出函数的定义域与导函数分，两种情况讨论的正负&rarr;函数的单调性；（2）转化为恒成立，设，转化为，设，转化恒成立分，，讨论，利用分离参数法求解a,的取值范围（1）解：由题意，得函数的定义域为R，则，当时，对任意恒成立，所以函数在R上单调递减；当时，令，得，令，得，所以函数在上单调递减，在上单调递增．综上，当时，在R上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增．5.已知函数（）.（1）求函数的单调区间；（2）当时，若，（）满足，求证：.【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【分析】（1）求导得，分类讨论参数可求的单调区间；解（1）.①当时，，由，得；由，得；②当时，由，得或；由，得；③当时，；④当时，由，得或，由，得.综上：当时，的单调减区间为，单调增区间为；当时，的单调减区间为，，单调增区间为；当时，的单调减区间为，无单调增区间；当时，的单调减区间为，，单调增区间为；,6.已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）若不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围．【答案】（1）当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增（2）【分析】（1）求出函数的定义域与导函数分，两种情况讨论的正负&rarr;函数的单调性；（2）转化为恒成立，设，转化为，设，转化恒成立分，，讨论，利用分离参数法求解a的取值范围（1）解：由题意，得函数的定义域为R，则，当时，对任意恒成立，所以函数在R上单调递减；当时，令，得，令，得，所以函数在上单调递减，在上单调递增．综上，当时，在R上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增．7.设函数.（1）求函数的单调增区间；（2）当时，记，是否存在整数，使得关于x的不等式有解？若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由.（参考数据：）【答案】（1）答案见解析（2）存在，的最小值为0【分析】（1）求出函数的导数，就的不同取值可求的解，从而可得函数的单调增区间.（2）利用导数结合虚设零点可求，从而可得整数的最小值.（1）,因为，所以，①当时，由，解得；②当时，由，解得；③当时，由，解得；④当时，由，解得；⑤当时，由，解得，综上所述，当时，的增区间为；当时，的增区间为；时，的增区间为.8.已知函数（1）若，试求曲线在点处的切线方程；（2）讨论的单调性．【答案】（1）（2）答案见解析【分析】（1）求导得到导函数，计算，，得到切线方程.（2）求导得到，考虑，，，四种情况，根据导数的正负得到函数的单调性.（1），，，，故切线方程为：.（2），故，当时，，当时，，当时，，故函数在,上单调递增，在上单调递减；当时，得到，当时，，当和时，，函数单调递增，当，时，，函数单调递减；当时，，恒成立，函数在R单调递增；当时，，当和时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减；综上所述：当时，函数在上单调递增，在上单调递减；当时，函数在和上单调递增，在上单调递减；当时，函数在上单调递增；当时，函数在和上单调递增，在上单调递减.9.已知函数.（1）当时，求函数的极值；（2）讨论函数的单调性.【答案】（1）极大值，极小值（2）答案见解析【分析】（1）当时，，求导，令可得极值点和极值；（2），对分类讨论，利用导数研究其单调性即可得出．（1）当时，，令得或.0+0-0+,&there4;时，有极大值，时，有极小值.（2），∵，&there4;.（1）当时，有，当，，在上单调递增.（2）当时，令，得.①当，即，有，从而函数在上单调递增.②当，即时，当，，单调递减；当，，单调递增.综上，时，在上单调递增；当时，在单调递减，在单调递增.10.已知，．（1）求的单调区间；（2）若时，恒成立，求m的取值范围．【答案】（1）在单调递减，在单调递增.（2）【分析】(1)先对函数进行求导，再进行分类讨论判断导数值的正负，即可得到答案；(2)将问题转化为在恒成立，令,，再利用（1）的结论进行求解，即可得到答案；（1），，①当时，，在恒成立，，在单调递减，②当时，令，则在恒成立，在单调递增，且，在恒成立，即在恒成立，在单调递增，综上所述：在单调递减，在单调递增.11.已知函数.（1）求在（为自然对数的底数）上的最大值；（2）对任意给定的正实数，曲线上是否存在两点P，Q，使得是以О为直角顶点的直角三角形，且此直角三角形斜边的中点在y轴上?【答案】（1）答案见解析（2）存在，理由见解析.【分析】（1）先分别讨论，两段上的函数最值，再根据两段函数最值比较综合即可得答案；（2）假设存在，则设（），则，进而根据将问题转化为有解问题，再分和讨论求解即可得答案.（1）解：当时，，，令，解得，此时在和,上单调递减，在上单调递增，由于，故当时，；当时，，，故当时，在区间上单调递减，；当时，在区间上单调递增，，当时，.综上，当时，在上的最大值为，当时，在上的最大值为.12.已知函数（1）若函数在处的切线方程为，求的值；（2）若函数在区间上存在单调增区间，求的取值范围；（3）当时，证明：对任意恒成立.【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析.【分析】（1）利用导数的几何意义求得函数在处的切线斜率，可得关于的方程，从而可得结果；（2）函数在区间上存在单调增区间，等价于在区间上有解，分离参数求出函数范围，即得结果；（3）先利用，求出值，然后证明对任意的恒成立即可.【详解】（1）由得，因为函数在处的切线方程为，曲线在点处的切线斜率为，,解得；（2）函数，，因为函数在区间上存在单调增区间，所以在区间上有解，即在区间上有解，因为在区间上递增，所以，可得故；13.设函数（）（是一个无理数）（1）若函数在定义域上不是单调函数，求a的取值范围；（2）设函数的两个极值点为和，记过点、的直线的斜率为k，是否存在a，使得？若存在，求出a的取值集合；若不存在，请说明理由．【答案】（1）a&gt;2；（2）【解析】试题解析：（1）f（x）的定义域为（0，+&infin;），令g（x）=，其判别式△=a2-41）当-2&le;a&le;2时，△&le;0，，故f（x）在（0，+&infin;）上单调递减，不合题意；2）当a&lt;-2时，△&gt;0，g（x）=0的两个根都小于零，故在（0，+&infin;）上，，所以f（x）在（0，+&infin;）上单调递减，不合题意；3）当a&gt;2时，△&gt;0，g（x）=0的两个根都大于零，令，，x1x2=1当0<x<x1时，，当x1<x<x2时，，当x>x2时，，故f（x）分别在（0，x1），（x2，+&infin;）内单调递减，在（x1，x2）内单调递增，综上所述a&gt;214.已知函数f（x）=x2﹣2x+alnx，是函数f（x）的极值点．（1）若，求函数f（x）的最小值；,（2）若f（x）不是单调函数，且无最小值，证明：f（x0）＜0．【答案】（1）；（2）见解析．【解析】【分析】（1）求出导函数，明确单调性，从而得到最值；（2）利用条件x0是函数f（x）的极值点，确定a的数值，然后证明f（x0）＜0．【详解】（1）解：，其定义域是．．令，得，所以，在区间单调递减，在上单调递增．所以的最小值为．（2）解：函数的定义域是，对求导数，得，显然，方程（），因为不是单调函数，且无最小值，则方程必有个不相等的正根，所以，解得，设方程的个不相等的正根是，，其中，所以，列表分析如下：,所以，是极大值点，是极小值点，，故只需证明，由，且，得，因为，，所以，从而．</x<x1时，，当x1<x<x2时，，当x></x<0，求证：f(x)></x<1a，∴函数fx在0,1a上单调递减，在1a,+∞上单调递增．综上，当a≤0时，函数fx在0,+∞上单调递减；当a>