高考数学重难点题型归纳第2讲 中心对称、轴对称和周期性（解析版）

第2讲中心对称、轴对称与周期性7类【题型一】中心对称性质1：几个复杂的奇函数【典例分析】已知函数，若不等式对恒成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】构造函数，判断函数的奇偶性与单调性，将所求不等式转化为，即，再利用函数单调性解不等式即可.【详解】，令，则，可得是奇函数，又，又利用基本不等式知当且仅当，即时等号成立；当且仅当，即时等号成立；故，可得是单调增函数，由得，即，即对恒成立.当时显然成立；当时，需，得，综上可得，故选：D. 【变式演练】1.对于定义在上的函数，点是图像的一个对称中心的充要条件是：对任意都有，判断函数的对称中心______.【答案】【分析】根据点是图像的一个对称中心的充要条件，列出式子，即可得出结果.解：因为，由于.即，.所以是的一个对称中心.故答案为：.2.设函数，若，满足不等式，则当时，的最大值为A．B．C．D．【答案】B【详解】因为,所以函数为奇函数,又因为为单调减函数,且所以为上减函数,因此,因为,所以可行域为一个三角形及其内部,其中,因此直线过点时取最大值,选B.3.．已知函数，若，其中，则的最小值为A．B．C．D． 【答案】A【分析】通过函数解析式可推得，再利用倒序相加法求得，得到的值，然后对分类讨论利用基本不等式求最值即可得出答案.【详解】解：因为，所以，令则所以所以，所以，其中，则.当时当且仅当即时等号成立；当时，当且仅当即时等号成立；因为，所以的最小值为.故选：A.【题型二】中心对称性质2：与三角函数结合的中心对称【典例分析】已知函数与在（，且）上有个交点，，……， ，则A．B．C．D．【答案】B【详解】由图可知交点成对出现，每对交点关于点（0,1）对称，横坐标和为0，纵坐标和为2，所以，选B.【变式演练】1.函数在上的所有零点之和等于______.【答案】8【详解】分析：通过化简函数表达式，画出函数图像，分析图像根据各个对称点的关系求得零点的和．详解：零点即，所以即，画出函数图像如图所示函数零点即为函数图像的交点，由图可知共有8个交点图像关于对称，所以各个交点的横坐标的和为8点睛：本题考查了函数的综合应用，根据解析式画出函数图像，属于难题． 2.若关于的函数的最大值为，最小值为，且，则实数的值为___________．【答案】【解析】试题分析：由已知，而函数为奇函数又函数最大值为，最小值为，且，考点：函数的奇偶性和最值【名师点睛】本题考查函数的最大值、最小值，考查函数是奇偶性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．解释要充分利用已知条件将函数变形为，则函数为奇函数，而奇函数的最值互为相反数，可得，则问题得解．3.已知函数，若不等式对任意均成立，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】A【分析】由题设，构造，易证为奇函数，利用导数可证为增函数，结合题设不等式可得，即对任意均成立，即可求的范围.【详解】由题设，令，∴，∴为奇函数，又，即为增函数，∵，即，∴，则，∴对任意均成立，又，当且仅当时等号成立，∴，即.故选：A 【题型三】轴对称【典例分析】已知函数有唯一零点，则负实数（）A．B．C．D．或【答案】A【解析】函数有有唯一零点，设则函数有唯一零点，则3e|t|-a（2t+2-t）=a2，设∴为偶函数，∵函数有唯一零点，∴与有唯一的交点，∴此交点的横坐标为0，解得或（舍去），故选A．【变式演练】1.已知函数在区间的值域为，则（）A．2B．4C．6D．8【答案】C【详解】解：在上为奇函数，图象关于原点对称，是将上述函数图象向右平移2个单位，并向上平移3个单位得到，所以图象关于对称，则，故选.2.已知函数f（x）（x∈R）满足f（x）=f（a-x），若函数y=|x2-ax-5|与y=f（x）图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），…，（xm，ym），且=2m，则a=（　　）A．1B．2C．3D．4【答案】D【详解】∵f（x）=f（a-x），∴f（x）的图象关于直线x=对称，又y=|x2-ax-5|的图象关于直线x=对称，当m为偶数时，两图象的交点两两关于直线x=对称，∴x1+x2+x3+…+xm=•a=2m，解得a=4． 当m奇数时，两图象的交点有m-1个两两关于直线x=对称，另一个交点在对称轴x=上，∴x1+x2+x3+…+xm=a•+=2m．解得a=4．故选：D．3.已知函数，下面是关于此函数的有关命题，其中正确的有①函数是周期函数；②函数既有最大值又有最小值；③函数的定义域为，且其图象有对称轴；④对于任意的，（是函数的导函数）A．②③B．①③C．②④D．①②③【答案】A【详解】函数定义域为，当或时，，又，，，，……时，，且均为变号零点.又因为函数满足，所以函数关于直线对称，函数图像如下图，故②③正确.【题型四】中心对称和轴对称构造出周期性【典例分析】已知函数f(x)为定义域为R的偶函数，且满足f(12+x)=f(32−x)，当x∈[−1 ，  0]时，f(x)=−x.若函数F(x)=f(x)+x+41−2x在区间[−9 ，  10]上的所有零点之和为__________．【答案】5【详解】∵足f(12+x)=f(32−x)，∴fx=f(2−x)，又因函数f(x)为偶函数，∴fx=f−x=f(2+x)，即fx=f(2+x)，∴T=2，令F(x)=0，fx=x+42x−1，，即求fx与y=x+42x−1交点横坐标之和.y=x+42x−1=12+922x−1， 作出图象：由图象可知有10个交点，并且关于12，12中心对称，∴其和为102=5故答案为：5【变式演练】1.定义在上的奇函数满足，且在上单调递减，若方程在上有实数根，则方程在区间上所有实根之和是（）A．30B．14C．12D．6【答案】A【分析】根据条件可得出的图象关于对称，的周期为4，从而可考虑的一个周期，利用，根据在上是减函数可得出在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数，然后根据在上有实数根，可判断该实数根是唯一的，并可判断在一个周期内有两个实数根，并得这两实数根和为2，从而得出在区间这三个周期内上有6个实数根，和为30.【详解】由知函数的图象关于直线对称，∵，是R上的奇函数，∴，∴，∴的周期为4，考虑的一个周期，例如，由在上是减函数知在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数， 对于奇函数有，，故当时，，当时，，当时，，当时，，方程在上有实数根，则这实数根是唯一的，因为在上是单调函数，则由于，故方程在上有唯一实数，在和上，则方程在和上没有实数根，从而方程在一个周期内有且仅有两个实数根，当，方程的两实数根之和为，当，方程的所有6个实数根之和为.故选：A.2.已知定义域为的函数的图像关于原点对称，且，若曲线在处切线的斜率为4，则曲线在处的切线方程为（）A．B．C．D．【答案】B【分析】由函数的图像关于原点对称，得出，再由得出函数的最小正周期为，由原函数与导函数具有相同的周期性可得函数的最小正周期为，由此可得选项.【详解】因为定义域为的函数的图像关于原点对称，所以，因为，，两式相减可得，，故，故；因为，故所求切线方程为，故选：B． 3.若函数是上的奇函数，又为偶函数，且时，，比较，，的大小为（）A．B．C．D．【答案】D【分析】由题意可知，函数的周期，再由当时，可知函数在上为增函数，然后计算比较即可.【详解】函数是上的奇函数，又为偶函数，，，，即函数的周期，时，，，即，函数在上为增函数，，，，.故选：D.【题型五】画图：放大镜【典例分析】设函数的定义域为，如果存在非零常数，对于任意，都有，则称函数是“似周期函数”，非零常数为函数的“似周期”．现有下面四个关于“似周期函数”的命题：①如果“似周期函数”的“似周期”为，那么它是周期为2的周期函数；②函数是“似周期函数”；③如果函数是“似周期函数”，那么“或”．以上正确结论的个数是（）A．0B．1C．2D．3【答案】C【分析】根据题意，首先理解“似周期函数”的定义，逐一分析，从而可判断命题的真假. 【详解】解：①∵“似周期函数”的“似周期”为，，，故它是周期为2的周期函数，故①正确；②若函数是“似周期函数”，则存在非零常数，使，即恒成立，故成立，但无解，故②错误；③若函数是“似周期函数”，则存在非零常数，则，即恒成立，故恒成立，即恒成立，故，故或，故③正确．所以以上正确结论的个数是2.故选：C.【变式演练】1.已知函数满足当时，，且当时，；当时，且).若函数的图象上关于原点对称的点恰好有3对，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】先作出函数在上的部分图象，再作出关于原点对称的图象，分类利用图像列出有3个交点时满足的条件，解之即可.【详解】先作出函数在上的部分图象，再作出关于原点对称的图象，如图所示，当时，对称后的图象不可能与在的图象有3个交点；当时，要使函数关于原点对称后的图象与所作的图象有3个交点， 则，解得.故选：C.2.设函数的定义域为，满足，且当时，．若对任意，都有，则m的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】作出图示，求出当时，函数的解析式，求出成立的x的值，运用数形结合的思想可得选项．【详解】解：时，，，，即右移1个单位，图像变为原来的2倍．如图所示：当时，，令，解得，所以要使对任意，都有，则，，故选：B． 3.定义在上函数满足，且当时，.则使得在上恒成立的的最小值是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】计算，画出图像，计算，解得，得到答案.【详解】根据题设可知，当时，，故，同理可得：在区间上，，所以当时，.作函数的图象，如图所示.在上，由，得.由图象可知当时，.故选：.【题型六】利用对称解决恒成立和存在型【典例分析】已知函数，且对于任意的，恒成立，则 的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】B【分析】本题根据函数的解析式先判断函数的奇偶性与单调性，再运用单调性转化不等式，接着运用参变分离构建新函数，最后借导函数求函数在指定区间内的最大值即可解题.【详解】的定义域为，，∴为奇函数，又在上单调递增，∴，∴，又，则，，∴恒成立；设，则，当时，∴在内单调递减，的最大值为从负数无限接近于，，∴，，故选：B.【提分秘籍】基本规律常见不等式恒成立转最值问题：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）； （7）；（8）；【变式演练】1.已知函数（），函数（）.若任意的，存在，使得，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】D【分析】问题转化为函数的值域是值域的子集，分别求出和的值域，得到关于m的不等式组，解出即可.【详解】对任意的，存在，使得，即在上的值域是在上的值域的子集，，当时，，在上单调递增，的值域为，又在上单调递减，的值域为：，，，方程无解当时，，在上单调递减，的值域为的值域为：，，解得当时，，显然不满足题意.综上，实数的取值范围为故选：D. 2.已知是定义在R上的函数，且关于直线对称.当时，，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】结合复合函数的单调性，可知在上单调递减，由关于直线对称，可知为偶函数，从而可将题中不等式转化为，整理得对任意的恒成立，进而结合二次函数的性质，可求出的取值范围.【详解】当时，，函数在上单调递减，且是R上的增函数，根据复合函数的单调性可知，函数在上单调递减，且；当时，，易知函数在上单调递减，且.∴函数在上单调递减.∵关于直线对称，∴关于对称，即为偶函数，∴不等式可化为，∴恒成立，即，整理得，令，∴对任意的，恒成立，∴，即，解得.故选：D.3.已知，，若对于，使得，则实数m的取值范围是_________．【答案】【分析】先分析题意即，再利用单调性求解的最小值和的最小值，解不等式即得结果. 【详解】依题意，对于，使得，只需.时，，，故当，即时，单调递增，当，即时，单调递减.而函数，显然在单调递减.故根据复合函数单调性可知，在单调递减，在上单调递增，故.对于，，当时，故是单调递减的，当时，故是单调递增的，故.故依题意知，，即.所以实数m的取值范围是.故答案为：.【题型七】函数整数问题【典例分析】定义：表示不等式的解集中的整数解之和.若，，，则实数的取值范围是A．B．C．D．【答案】D【详解】由题意得，表示不等式的解集中整数解之和为6.当时，数形结合（如图）得的解集中的整数解有无数多个，解集中的整数解之和一定大于6. 当时，，数形结合（如图），由解得.在内有3个整数解，为1，2，3，满足，所以符合题意.当时，作出函数和的图象，如图所示.若，即的整数解只有1，2，3.只需满足，即，解得，所以.综上，当时，实数的取值范围是.故选D.【变式演练】1.定义在上的奇函数满足，当时，.若在区间上，存在个不同的整数，满足，则的最小值为A．15B．16C．17D．18【答案】D【详解】 定义在上的奇函数满足，得即则的周期为8．函数的图形如下：比如，当不同整数分别为-1，1，2，5，7…时，取最小值，，至少需要二又四分一个周期，则b-a的最小值为18，故选D2.已知偶函数满足，且当时，，若关于的不等式在上有且只有150个整数解，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】利用导函数讨论当时的单调性，结合对称性周期性数形结合求解.【详解】当时，，，当时，，当时，，所以函数在单调递减，在单调递增，，又，函数关于对称，且是偶函数，所以，所以，所以函数周期，关于的不等式在上有且只有150个整数解，即在上有且只有150个整数解，所以每个周期内恰有三个整数解 结合草图可得：。故选：B3.定义在R上的偶函数满足，且，若关于x的不等式在上有且仅有15个整数解，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】由得函数图象关于直线对称，又函数为偶函数，得函数是周期函数，且周期为8，区间含有5个周期，因此题中不等式在一个周期内有3个整数解，通过研究函数在的性质，结合图象可得结论．【详解】∵，∴函数图象关于直线对称，又函数为偶函数，∴函数是周期函数，且周期为8，区间含有5个周期，关于x的不等式在上有3个整数解．时，是增函数，时，，，时，，递减，时，，递增，时，取得极小值，，，利用偶函数性质，作出在上的图象，如图．由得，若，则原不等式无解， 故，，要使得不等式在上有3个整数解，则，即．故选：B．【课后练习】1.已知函数，则其图像可能是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】通过函数奇偶性的定义来判断函数的奇偶性，排除.再利用特殊值进行函数值的正负的判断，从而确定函数的图像.【详解】的定义域为,所以为奇函数，则排除。若,且，则。若,且，则。，，，.故选：A2.设函数，则满足的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】设，为奇函数且单调递增，进而化简不等式，即可求出结果.【详解】 设，则，为奇函数所以在R上单调递增，解得故选：A3.已知函数，则（）A．4038B．4039C．4040D．4041【答案】B【分析】先分析待求式子的特点，根据条件计算，然后分析的取值，由此计算出待求式子的结果.【详解】因为，所以，又因为，所以原式，故选：B.4.已知函数是定义域为的偶函数，且满足，当时，，则函数在区间上零点的个数为（）A．9B．10C．18D．20【答案】B【分析】由已知可得函数f（x）的周期与对称轴，函数F（x）＝f（x）在区间上零点的个数等价于函数f（x）与g（x）图象在上交点的个数，作出函数f（x）与g（x ）的图象如图，数形结合即可得到答案.【详解】函数F（x）＝f（x）在区间上零点的个数等价于函数f（x）与g（x）图象在上交点的个数，由f（x）＝f（2﹣x），得函数f（x）图象关于x＝1对称，∵f（x）为偶函数，取x＝x+2，可得f（x+2）＝f（﹣x）＝f（x），得函数周期为2.又∵当x∈[0，1]时，f（x）＝x，且f（x）为偶函数，∴当x∈[﹣1，0]时，f（x）＝﹣x，g（x），作出函数f（x）与g（x）的图象如图：由图可知，两函数图象共10个交点，即函数F（x）＝f（x）在区间上零点的个数为10.故选：B.5.已知，则函数零点的个数为___________.【答案】【分析】函数零点的个数可转化为函数与函数的图像交点个数，画出两个函数图像观察交点个数即可.【详解】解：对于函数，当时，， 当时，当时，，当时，，当时，，，函数零点的个数可转化为函数与函数的图像交点个数，在同一个直角坐标系中画出两个函数图像如图：观察图像可得：两个函数有4个交点，即函数零点的个数为4.故答案为：4.【点睛】关键点点睛：本题主要考察零点个数问题，我们可以把零点个数问题转化为函数图像的交点个数，这里准确的画出函数图像是关键。另外本题函数中带有结构，这里需要分类讨论求函数在不同区间上的解析式，并及时发现规律，可使问题变简单.6.已知函数在R上可导，对任意x都有，当时，，若，则实数的取值范围为_________【答案】 【分析】已知式变形为，引入新函数，它是偶函数，由导数得出单调性，题设不等式化为，再由单调性得解．【详解】由得，令，则，是偶函数，时，，则，是减函数，因此时，是增函数，，所以，即，，所以，，．故答案为：．7.已知函数，则使不等式成立的的取值范围是_______________【答案】【分析】由奇偶性定义可判断出为偶函数，结合复合函数单调性的判断可得到在上单调递增，由偶函数性质知其在上单调递减，利用函数单调性解不等式即可求得结果.【详解】由，解得：或，故函数的定义域为，又，为上的偶函数；当时，单调递增，设，，在上单调递增，在上单调递增，在上单调递增，又为偶函数，在上单调递减； 由可知，解得．故答案为：.8.设函数是定义在实数集上的偶函数，且，当时，，则函数在上所有零点之和为___________.【答案】【分析】分析的对称性，将问题转化为图象交点横坐标之和，采用数形结合法求解出结果.【详解】因为，所以，所以是一个周期为的周期函数，且关于直线对称，令，所以，所以关于直线对称，在同一平面直角坐标系中作出的图象，如下图所示：由图象可知：的图象共有个交点，其中个点关于对称，还有一个点横坐标为，所以交点的横坐标之和为，所以在上所有零点之和为，故答案为：. 9.已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，且当时，．若，则______．【答案】【分析】由已知条件可推得是以4为周期的周期函数，由，令，得到，得出，由，求得，，分别求出，，，的值，进而求得的值，即可求解.【详解】因为为偶函数，可得①，又因为为奇函数，可得，即②，由②得，，由①得，，所以，即是以4为周期的周期函数，由②中，令，有，即，因此，又由，所以，，当时，，所以，，，，，其中，故．故答案为：.10.已知，又函数是上的奇函数，则数列的通项公式为（） A．B．C．D．【答案】C【分析】由在R上为奇函数，知，令，则，得到.由此能够求出数列 的通项公式.【详解】解:在R上为奇函数，故，代入得:当时，.令，则，上式即为:.当为偶数时：.当为奇数时：.综上所述，.故选：C.