专题2-1 函数性质（单调性、奇偶性、中心对称、轴对称、周期性）（解析版）

专题2-1函数性质（单调性、奇偶性、中心对称、轴对称、周期性）目录题型01奇偶性基础1题型02中心对称型函数3题型03轴对称型函数6题型04斜直线轴对称型8题型05“正余弦”型对称10题型06伸缩型对称13题型07一元三次函数型中心对称15题型08“局部周期”型函数性质18题型09双函数型对称20题型10原函数与导函数型双函数对称22题型11放大镜型函数性质25题型12抽象函数赋值型性质29题型13对称型恒成立求参31题型14构造“对称”型函数33高考练场35题型01奇偶性基础【解题攻略】奇偶函数的性质①偶函数⇔f(－x)＝f(x)⇔关于y轴对称⇔对称区间的单调性相反；②奇函数⇔f(－x)＝－f(x)⇔关于原点对称⇔对称区间的单调性相同；③奇函数在x＝0处有意义时，必有结论f(0)＝0；奇偶性的判定①“奇±奇”是奇，“偶±偶”是偶，“奇×/÷奇”是偶，“偶×/÷偶”是偶，“奇×/÷偶”是奇；②奇(偶)函数倒数或相反数运算，奇偶性不变；③奇(偶)函数的绝对值运算，函数的奇偶性均为偶函数．【典例1-1】（2023秋·山西·高三校联考期中）已知函数为奇函数，则的值是（    ）A．0B．C．12D．10【答案】D【分析】由奇函数的性质可知，由此可以求出的值，进而可以求出.【详解】因为函数为奇函数，所以，即，即或，显然函数的定义域为关于原点对称，且当时，有，从而有，当时，有，但，所以，即，所以.故选：D. 【典例1-2】（2023秋·北京昌平·高三北京市昌平区前锋学校校考阶段练习）已知，则（    ）A．为偶函数，且在上单调递增B．为偶函数，且在上单调递减C．为奇函数，且在上单调递增D．为奇函数，且在上单调递减【答案】C【分析】根据函数定义判断函数的奇偶性以及结合指数函数判断函数的单调性；【详解】结合奇偶性定义，可知函数为奇函数，结合指数函数性质，在单调递增，故在单调递增，故选；C.【变式1-1】．（2023·全国·高一专题练习）若为奇函数，则的解集为（    ）A．B．C．D．【答案】D【分析】利用奇函数的定义求出a值，再由函数单调性求解不等式作答.【详解】由为奇函数，得，解得，于是，而是减函数，是增函数，函数是R上的减函数，不等式，因此，所以不等式的解集为.故选：D【变式1-2】（2023秋·江苏南通·高三统考开学考试）已知是奇函数，则在处的切线方程是（    ）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据奇函数定义求出，再由导数的几何意义求出切线斜率，即可得解.【详解】因为为奇函数，所以，化简可得，当时，对任意方程成立，故，所以，故，所以切线方程为，即.故选：B【变式1-3】．（2023秋·天津和平·高三天津一中校考阶段练习）已知函数，，若对任意，都有成立，则实数的取值范围是（    ）A．B．C．D．【答案】C【分析】由解析式、奇偶性定义判断的单调性、奇偶性，再将条件化为在上恒成立，即可求范围.【详解】由在上单调递增，且，即为奇函数，所以， 则在上恒成立，所以.故选：C题型02中心对称型函数【解题攻略】中心对称结论：（1）若函数满足，则的一个对称中心为（2）若函数满足，则的一个对称中心为（3）若函数满足，则的一个对称中心为.【典例1-1】.已知函数，则存在非零实数，使得（）A．B．C．D．【答案】D【分析】判断函数的奇偶性并求出其值域，根据值域可判断A错误；由函数的奇偶性可推出，此式不成立，故B错误；由所给等式可知，此时不成立，故C错误；由三角函数诱导公式可知，代入等式可得成立，故D正确.【详解】，，，是定义在R上的奇函数，令，，当时，单调递增，，又函数为奇函数，，函数的值域为，，不存在使得成立，A错误；，若成立，则，又函数的值域为，所以不成立，B错误；若成立，则，不成立，C错误；，则成立，故D正确.故选：D【典例1-2】函数的图象与函数图象的所有交点的横坐标之和为___________.【答案】-7 【分析】由函数解析式可得两函数图象均关于点（﹣1，0）对称，进而探讨函数的单调性，然后画出图象的大致形状，即可求得两图象所有交点的横坐标之和.【详解】易知函数的图象关于点（﹣1，0）对称，设函数图象上任意一点为，则它关于（-1,0）的对称点为，将其代入的解析式得：，即，于是函数关于点（-1,0）对称.又，所以时，，单调递减，时，，单调递增，时，，单调递减.于是x=-2时，的极小值为，而，x=0时，的极大值为，而.现作出两个函数的大致图象，如图：于是得到图象交点横坐标之和为：﹣1+（﹣2）×3=﹣7.故答案为：-7.【变式1-1】.设函数的最大值为5，则的最小值为（）A．B．1C．2D．3【答案】B【分析】根据题意，设，利用定义法判断函数的奇偶性，得出是奇函数，结合条件得出的最大值和最小值，从而得出的最小值.解：由题可知，，设，其定义域为，又，即，由于，即，所以是奇函数，而，由题可知，函数的最大值为5，则函数的最大值为：5-3=2，由于是奇函数，得的最小值为-2， 所以的最小值为：-2+3=1.故选：B.【变式1-2】已知函数，，若使关于的不等式成立，则实数的范围为___________.【答案】【分析】证明函数图象关于点对称，再判断函数的单调性，从而把不等式变形后应用单调性化简，然后分离参数，转化为三角函数的最值，利用换元法可得结果．【详解】显然函数定义域是，，∴的图象关于点对称，原不等式可化为，即，(*)设，则，∵，∴，∴，∴，即，，由得，∴，∴是增函数，不等式(*)化为，(**)令，∵，∴，不等式(**)化为，，问题转化为存在，使不等式成立，当时，的最小值为2．∴．故答案为：．【变式1-3】.函数的图像可能是（）A．B． C．D．天津市耀华中学2021-2022学年高三上学期第一次月考数学试题【答案】D【分析】分析给定函数的奇偶性可排除两个选项，再对函数求导并求出在0处的导数值即可判断作答.【详解】令，则其的定义域为，，则函数是奇函数，其图象关于原点对称，于是排除选项A，B；，于是得，即函数图象在原点处切线斜率大于0，显然选项C不满足，D满足.故选：D题型03轴对称型函数【解题攻略】轴对称性的常用结论如下：（1）若函数满足,则的一条对称轴为（2）若函数满足,则的一条对称轴为（3）若函数满足,则的一条对称轴为(4)f(a－x)＝f(b＋x)⇔f(x)的图象关于直线x＝对称；【典例1-1】．（2023上·重庆·高三重庆市忠县忠州中学校校联考）已知定义在上的函数，函数为偶函数，且对都有，若，则的取值范围是．【答案】【分析】先根据条件得到函数的对称性和单调性，进而根据函数性质解不等式即可.【详解】函数为偶函数，即函数关于直线对称，又对都有，函数在上单调递增，由得，解得或故答案为：.【典例1-2】（2023上·江西景德镇·高一统考期中）已知函数满足关系式，且对于，，满足恒成立，若不等式对恒成立，则实数a的取值范围是． 【答案】【分析】由已知判定函数的对称性与单调性，利用单调性去函数符号解一元二次不等式恒成立问题即可.【详解】由于，可知函数关于直线轴对称，又对于恒成立，则函数在上单调递减，在上单调递增，则恒成立，则.故答案为：.【变式1-1】．（2023上·江苏南通·高三统考阶段练习）设定义在上的函数在单调递减，且为偶函数，若，，且有，则的最小值为.【答案】【分析】由题意可得的对称轴为，函数在单调递增，若，，且有，则，结合基本不等式求解最值即可．【详解】为偶函数，则，则的对称轴为，函数在单调递减，则函数在单调递增，若，，且有，则，即，，∴，当且仅当且，，即时，等号成立，故的最小值为．故答案为：【变式1-2】（2023上·山东济南·高三统考开学考试）若函数的图象关于直线对称，且有且仅有4个零点，则的值为．【答案】39【分析】先得到的图象也关于对称，观察到为的两个零点，故由对称性可知，的另外两个零点分别为，从而得到方程组，求出，令，求导得到其单调性和极值情况，画出的图象，进而得到的图象，根据的零点个数，数形结合得到，从而得到答案.【详解】由得，令，由于的图象关于直线对称，所以的图象也关于对称，显然为的两个零点，故由对称性可知，的另外两个零点分别为，即，解得，故，令， 则，故当或时，，单调递增，当或时，，单调递减，又，，画出的图象如下，  故的图象是将图象位于轴下方部分沿着轴翻折到轴上方即可，如下：  要想有且仅有4个零点，则，故.故答案为：39【变式1-3】．（2023上·陕西榆林·高三校考阶段练习）函数是定义在上的奇函数，且图象关于对称，在区间上，，则.【答案】/0.25【分析】根据对称性和奇函数分析可得，进而结合指对数运算求解.【详解】由题意可得：，则，可得，又因为，即，则，所以.故答案为：.题型04斜直线轴对称型【解题攻略】关于斜直线轴对称，可以借鉴圆锥曲线中直线的对称性来处理 （1）点关于直线的对称点，则有；（2）直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决.如果斜直线轴对称，还有以下经验公式：如果对称轴所在的直线斜率是，即直线是型，可以利用反解对称轴法直接求出对称变换式子(1)如果关于直线的对称点为，则的坐标为；(2)如果关于直线的对称点为，则的坐标为．【典例1-1】（2023上·重庆·高三西南大学附中校考）已知函数为奇函数，的函数图象关于对称，且当时，，则.【答案】/【分析】根据函数的对称性可得关于点对称，进而根据点关于的对称点为，将代入即可求解.【详解】由，用替换可得：，所以关于点对称，故，设，由于关于对称，又当时，，由于点关于的对称点为，则在上，故，所以，解得，故.故答案为：【典例1-2】（2023上·辽宁·高三校联考）已知定义域为的函数满足，且其图象关于直线对称，若当时，，则.【答案】【分析】求得，又由，可得,根据点关于直线的对称点为，即可求解.【详解】设点在函数的图像上，则关于直线的对称点为，则，解得：，则，由时，，则，又，则，则， 由图象关于直线对称，则.故答案为：.【变式1-1】（2023上·辽宁大连·高三大连八中校考期中）已知函数，若曲线关于直线对称，则的值为．【答案】【分析】直线关于对称，可从定义域出发判断对称轴的位置，进一步结合函数的对称性利用特殊值法即可得到实数的值，检验后，即可的值.【详解】因为函数，的定义域为则则的定义域为，即函数的定义域为，又因为曲线关于直线对称，则定义域也关于对称，即，由对称的性质可知则令可得代入函数得，则所以，则.当时，验证是否关于对称：成立；则.故答案为：.【变式1-2】（2023上·上海浦东新·高三华师大二附中校考）已知函数的图象过点，且关于直线成轴对称图形，则．【答案】【分析】在函数的图象上任取点，可得该点关于直线对称点，代入函数式并比较求出b，再将给定点代入求出a得解.【详解】在函数的图象任取点，则该点关于直线对称点在的图象上，即，整理得，而有，因此，即有，又函数的图象过点，则，解得，所以.故答案为：6．1．Y=x对称【变式1-3】（2021上·高一校考课时练习）若函数的图象与且的图象关于直线对称，则的值等于（    ）A．B．C．D．【答案】A【分析】令，根据对称性可知解得的值即为所求.【详解】令，即，解得：； 与图象关于对称，.故选：A.题型05“正余弦”型对称【解题攻略】（1）两中心；（2）两垂直轴则；（3）一个中心，一条轴，则【典例1-1】函数是定义在上的奇函数，且为偶函数，当时，，若函数恰有一个零点，则实数的取值集合是（          ）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据条件判断函数周期为，求出函数在一个周期内的解析式，将函数的零点转化为与直线只有一个交点，结合函数图像，即可求解.【详解】函数是定义在上的奇函数，且为偶函数，，，即，的周期为.时，，，，，周期为4，，当，当，做出函数图像，如下图所示：令，当，，，两边平方得，，此时直线与在函数图像相切，与函数有两个交点，同理，直线与在函数图像相切，与函数有两个交点，则要使函数在内与直线只有一个交点，则满足，周期为4，范围也表示为，所以所有的取值范围是.故选:D. 【典例1-2】.定义在上的偶函数f（x）满足f（－x）＋f（x－2）＝0，当时，（已知），则（    ）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据条件，推出函数的对称性，周期性和单调性，将自变量转到区间内，再根据单调性即可比较大小.【详解】∵，，∴，∴的图像关于直线和点对称，∴的周期为4，当时，，在递增，由对称性知在，递减∴，，，又，，由条件知，，∴；故选：A.【变式1-1】已知定义在上的函数满足条件，且函数为奇函数，则下列说法中错误的是（    ）A．函数是周期函数；B．函数的图象关于点对称；C．函数为上的偶函数；D．函数为上的单调函数．【答案】D【分析】根据函数周期性、对称性、奇偶性、单调性对选项逐一分析，由此确定正确选项.【详解】对于A，，所以是周期为 的周期函数，故A正确.对于B，函数为奇函数，关于对称，向左平移个单位得到，横坐标再扩大为原来的倍，所以关于对称，故B正确.对于C，关于对称，则，，所以为偶函数，故C正确.对于D，由于是偶函数，函数图象关于轴对称，轴两侧函数对应区间的单调性相反，故D错误.故选：D【变式1-2】已知函数的定义域为，为的导函数，且，，若为偶函数，则下列结论不一定成立的是（   ）A．B．C．D．【答案】C【分析】先证明为奇函数，再进行合理赋值逐个分析判断.【详解】对A：∵为偶函数，则两边求导可得∴为奇函数，则令，则可得，则，A成立；对B：令，则可得，则，B成立；∵，则可得，则可得两式相加可得：，∴关于点成中心对称则，D成立又∵，则可得，则可得∴以4为周期的周期函数根据以上性质只能推出，不能推出，C不一定成立故选：C.【变式1-3】.定义在上的函数满足，；且当时，．则方程所有的根之和为（    ）A．6B．12C．14D．10【答案】D【分析】根据题意可得为奇函数，关于直线对称且周期为4，再根据当时，，求导分析单调性，从而画出简图，根据函数的性质求解零点和即可.【详解】∵，∴为奇函数，又∵，∴关于直线对称．当时，，单调递增，，一个周期为4，关于中心对称． 由，∴所有实根之和为.故选：D．题型06伸缩型对称【解题攻略】伸缩变换y＝f(ax)y＝f(x)y＝af(x)【典例1-1】（2023秋·湖南怀化·高三统考）已知不是常函数，且是定义域为的奇函数，若的最小正周期为1，则（    ）A．B．1是的一个周期C．D．【答案】C【分析】根据函数的周期性和奇函数即可根据选项逐一求解.【详解】的最小正周期为1，则，所以是以2为周期的周期函数，因此，故B错误；对于A，，故A错误；对于C，由周期得，又，因此，故C正确；对于D，，故D错误，故选：C.【典例1-2】（2023·河南·长葛市第一高级中学统考模拟预测）若函数f（x）的定义域为R，且f（2x＋1）为偶函数，f（x－1）的图象关于点（3，3）成中心对称，则下列说法正确的个数为（    ）①的一个周期为2    ②③④直线是图象的一条对称轴A．1B．2C．3D．4【答案】B【分析】由题意，根据函数的奇偶性，可得，，且，根据函数周期性的定义，可判①的正误；根据周期性的应用，可判②的正误；根据函数的周期性，进行分组求和，根据函数的对称性，可得，，可判③的正误；根据函数的轴对称性的性质，可判④的正误.【详解】因为偶函数，所以，则，即函数关于直线成轴对称，因为函数的图象是由函数的图象向左平移个单位，所以函数关于点成中心对称，则，且， 对于①，，，则函数的周期，故①错误；对于②，，故②正确；对于③，，则，，则，由，则，故③正确；对于④，，而函数不是偶函数，所以不恒成立，故④错误.故选：B.【变式1-1】（2022秋·重庆南岸·高三重庆市第十一中学校校考阶段练习）已知是定义在上的函数，是奇函数，且是偶函数，则下列选项一定正确的是（    ）A．函数的周期为2B．函数的周期为3C．D．【答案】D【分析】根据赋值法结合周期定义得出函数的周期为，再由周期的性质判断CD.【详解】因为为奇函数，所以，所以，所以，因为为偶函数，所以，所以，所以，所以，所以，即函数的周期为，故AB不正确；又，，即，所以，故D正确；的值不确定，故C不正确.故选：D.【变式1-2】．（2022秋·吉林长春·高三长春市第二中学校考阶段练习）设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则一定有（    ）A．B．C．D．【答案】A【分析】推导出函数的图象关于直线对称，也关于点对称，进一步可推导出函数为周期函数，确定该函数的周期，逐项判断可得出合适的选项.【详解】因为函数为偶函数，则，令，则，即，则，因为函数为奇函数，则，所以，函数的图象关于直线对称，也关于点对称，则，可得，所以，，故函数为周期函数，且周期为，对于A选项，，A对；对于BCD选项，，，但的值无法确定，BCD均错.故选：A. 【变式1-3】（2022秋·广西玉林·高三校联考阶段练习）已知是定义域为的奇函数，是定义域为的偶函数，则（    ）A．B．C．D．【答案】A【分析】由条件得到函数的对称性，根据对称性求值，即可求解.【详解】因为是定义域为的奇函数，所以，所以函数关于点对称，且因为是定义域为的偶函数，所以，所以函数关于直线对称，所以，即.故选：A题型07一元三次函数型中心对称【解题攻略】所有的三次函数都有“拐点”，且该“拐点”也是函数的图像的对称中心，设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．【典例1-1】．给出定义：设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”.经研究发现所有的三次函数都有“拐点”，且该“拐点”也是函数的图像的对称中心，若函数，则（    ）A．8082B．2021C．-8082D．-2023【答案】C【分析】通过二次求导可得，可得，，所以的图像的对称中心为，即，据此规律求和即可.【详解】由，可得，令可得，又，所以的图像的对称中心为，即，所以，故选：C【典例1-2】已知一元三次函数对称中心的横坐标为其二阶导函数的零点．若，则（    ）A．0B．4C．D．【答案】B 【分析】设对称中心为，先求二阶导数零点可得，由可解出，最后由，可得，可得结果【详解】由题，，故二阶导函数的零点为，即对称中心的横坐标为1，设对称中心为，则，可解得，由，故，故选：B【变式1-1】在同一坐标系中作出三次函数及其导函数的图象，下列可能正确的序号是（    ）A．①②B．①③C．③④D．①④【答案】A【分析】利用导数与函数之间的关系．把握住导数的正负确定出函数的单调区间，根据变化趋势选出不恰当的图象，从而可得出答案．【详解】解：根据时，递增，时，递减可得，①②中函数的图象的增减趋势与导函数的正负区间是吻合的，可能正确；而③中导函数为负的区间内相应的函数不为递减，故错误，④中导函数为负的区间内相应的函数不为递减，故错误．故选：A.【变式1-2】设函数是的导数，经过探究发现，任意一个三次函数的图象都有对称中心，其中满足，已知函数，则（    ）A．0B．C．1D．【答案】C【分析】先求出的对称中心，判断出点与点关于点对称，即可求解.【详解】，，令，解得，，所以的图象关于点对称．因为，所以点与点关于点对称，所以．故选：C． 【变式1-3】一般地，对于一元三次函数，若，则为三次函数的对称中心，已知函数图象的对称中心的横坐标为，且有三个零点，则实数a的取值范围是（    ）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据给定条件，用a表示，再求出的极大值与极小值，列式求解作答.【详解】由函数求导得：，则，由解得，则有，，当或时，，当时，，则在，上单调递增，在上单调递减，因此，当时，取得极大值，当时，取得极小值，因函数有三个零点，即函数的图象与x轴有三个公共点，由三次函数图象与性质知，，于是得，解得，综上得：，实数a的取值范围是.故选：A题型08“局部周期”型函数性质【解题攻略】局部周期函数，可类比以下函数图像：【典例1-1】定义在0,+∞上的函数fx满足fx=x2,x∈0,1fx-1-2,x∈1,+∞.（i）f2021=___________.（ii）若方程fx-kx=0有且只有两个解，则实数k的取值范围是___________.【答案】-4042-1,-12∪0,1【分析】（i）根据解析式，利用递推法即可得出； （ii）利用图象的平移变换得到函数的图象，利用数形结合方法求得.【详解】（i）f2021=f2020-2=f2019-2×2=f2018-3×3=…=f0-2021×2=-4042;（ii）∵x≥1时，f(x)=f(x-1)-2，所以f(x)的图象由在[0,1)之间的抛物线的一部分逐次向右平移1个单位，向下平移2个单位得到，如图所示.已知l1,l2,l3的斜率依次为1,-12,-1;由图可知若方程fx-kx=0有且只有两个解，则实数k的取值范围是-1,-12∪0,1，故答案为：-4042；-1,-12∪0,1【典例1-2】.已知fx=12x+a,x≤0,fx-1,x>0,且方程fx=x恰有两解.则实数a的取值范围是______.【答案】-2,+∞【详解】构造函数g（x）＝f（x）-a＝2-x作出函数g（x）=2-x，x≤0g(x-1)，x＞0的图象,若f（x）＝x有且仅有两个实数解可转化为g（x）与y＝x-a的图象有两个交点，结合图象可知，当-a≥2时函数有1个交点；当-a＜2时函数有2个交点，即a＞-2时，函数有两个交点.故答案为-2,+∞【变式1-1】（2021下·天津武清·高三天津市武清区杨村第一中学校）已知函数，若对于正数，直线与函数的图像恰好有个不同的交点，则.【答案】【分析】由题意首先确定函数的性质，然后结合直线与圆的位置关系得到的表达式，最后裂项求和即可求得的值.【详解】当时，，即，； 当时，，函数周期为2，画出函数图象，如图所示：与函数恰有个不同的交点，根据图象知，直线与第个半圆相切，故，故，.故答案为：.【变式1-2】．（2021上·四川资阳·高三统考期末）已知函数，函数在处的切线为，若，则与的图象的公共点个数为．【答案】2或3.【详解】由题意得，当时，直线的方程为：，其与时的图象只有一个交点，当时，，则将直线的方程代入到中，得，由得，，当时，，在定义域内，此时在时，直线与有两个交点，综合有三个交点；当时，，不在定义域内，此时在时，直线与有一个交点，综合只有两个交点；结合上述两种情况，与的图象的公共点个数为2或3.题型09双函数型对称【解题攻略】双函数性质：1.双函数各自对应的对称中心和对称轴等性质2.双函数之间存在着互相转化或者互相表示的函数等量关系【典例1-1】（2023·广西玉林·统考模拟预测）已知函数，的定义域均为，是奇函数，且，，则（    ）A．f（x）为奇函数B．g（x）为奇函数C．D．【答案】D【分析】结合已知条件和是奇函数求出函数的周期，然后利用周期和已知条件得出为偶函数，进而判断选项；根据函数是奇函数，周期为4即可判断选项；由得 即可判断选项；根据题干条件得到，再结合函数的周期即可判断选项.【详解】因为，所以，又，则有，因为是奇函数，所以，可得，即有与，即，所以是周期为4的周期函数，故也是周期为4的周期函数．因为，所以，所以为偶函数．故错误；由是奇函数，则，所以，又，所以，所以选项错误；由得，所以选项错误；因为，，所以，所以，所以选项正确．故选：.【典例1-2】（2023春·河南开封·高三统考开学考试）已知函数，的定义域为，且，，若为偶函数．，则（    ）A．24B．26C．28D．30【答案】B【分析】根据已知等式，结合偶函数的性质可以判断出函数的周期，利用周期进行求解即可.【详解】由，而，所以可得，因为为偶函数，所以，显然有，所以函数的周期为8，在中，令，得，因为，所以，由，由，所以故选：B【变式1-1】（2023秋·江西·高三校联考期末）已知函数，的定义域均为，且，.若的图象关于直线对称，且，则（    ）A．80B．86C．90D．96【答案】C【分析】由的图象关于直线对称，结合已知函数等式推得的图象关于点对称，进而可得的周期为4，求出的值，即可得答案.【详解】解：因为的图象关于直线对称，所以，所以，因为，所以，所以，因为 ，所以，所以，则的图象关于点对称，且.因为，所以，所以，所以，则，即的周期为4.因为，且，所以.因为，所以.因为，所以，则.【变式1-2】（2023秋·全国·高三校联考阶段练习）的定义域为，为偶函数，且，则下列说法不正确的是（    ）A．的图象关于对称B．的图象关于对称C．4为的周期D．【答案】D【分析】由为偶函数可得函数关于对称，由可得，故关于对称，故可得4为的周期，然后通过计算逐项进行判断即可【详解】由为偶函数可得，可知函数关于对称，故B正确；，把换成可得，两式相加可得，故关于对称，故A正确；，所以，可知4为的周期，故C正确；令，，，，所以，D不正确，故选:D.【变式1-3】（2022秋·四川成都·高三成都七中校考专题练习）已知函数的定义域均为为偶函数，且，，下列说法正确的有（    ）A．函数的图象关于对称B．函数的图象关于对称C．函数是以4为周期的周期函数D．函数是以6为周期的周期函数【答案】C【分析】根据题中所给条件可判断关于和对称，进而得的周期性，结合的周期性和的奇偶性即可判断的周期性，结合选项即可逐一求解.【详解】由得，又为偶函数，所以，进而可得；因此可得的图象关于对称,又可得，结合为偶函数，所以，故的图象关于对称， 因此，所以是以4为周期的周期，故D错误，由于，所以且，因此的图象关于对称，函数是以4为周期的周期函数，故C正确，B错误，根据是以4为周期的周期函数，由，得，所以数的图象关于对称，故A错误，故选：C题型10原函数与导函数型双函数对称【解题攻略】原函数与导函数的性质性质1若函数是可导函数，且图像关于对称，则其导函数的图像关于轴对称性质2奇函数的导数为偶函数性质3若函数是可导函数，且图像关于对称，则其导函数的图像关于轴对称性质4偶函数的导数为奇函数性质5若函数是可导函数，且图像关于对称，则其导函数的图像关于对称偶函数的导数为奇函数性质6若定义在R上的函数是可导函数，且周期为T，则其导函数是周期函数，且周期也为T性质7若函数是可导函数，定义域为D，其导函数的图像关于轴对称，则图像关于对称，为定义域内任意一点【典例1-1】（2023·四川成都·校联考模拟预测）已知函数及其导函数的定义域均为，，且是偶函数，，，则（    ）A．2022B．2023C．2024D．2025【答案】D【分析】根据是偶函数，可得出，从而可得，求出C，采用变量代换的方法，推出函数的周期，进而求得函数在一个周期内的函数值，即可求得答案.【详解】因为是偶函数，所以，则，C为常数，即，又，令得，即，则，又，则，，故，函数是周期为4的周期函数，由，令，得，，所以，，，，则，则，故，故选：D【典例1-2】（2022上·四川遂宁·高三射洪中学校考阶段练习）已知函数及其导函数定义域均为 ，为奇函数，，，则正确的有（    ）①；②；③；④.A．①④B．①②C．②③D．③④【答案】C【分析】根据与奇偶性之间的关系，结合函数对称性和周期性，即可判断求解.【详解】因为为奇函数，则，因为，，故可得，所以，函数的图象关于点对称，在等式中，令可得，则，因为函数为奇函数，即，可设，为常数，则，故，即，所以，函数为偶函数，由可得，从而可得，则，即，所以，函数为周期为的周期函数，故，在等式两边同时求导可得，即，在等式中，令可得，因为函数是周期为的周期函数，则，等式两边求导可得，所以，函数是周期为的周期函数，所以，.而、的值根据已知条件无法推导其值，则②③对，①④错.故选：C.【变式1-1】（2023·广西梧州·苍梧中学校考模拟预测）设定义在上的函数与的导函数分别为和，若，，且为奇函数，．现有下列四个结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号是（    ）A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④【答案】D【分析】根据函数奇偶性、对称性、周期性三者之间的关系，结合导函数相等即其他等式，综合运用各式之间的关系即可得出结果.【详解】因为，所以．因为，所以，所以．因为，所以，得，所以，所以，所以的图象关于直线对称，所以，故①正确．因为为奇函数，所以，且．因为，所以，则的周期，所以，故③错误．因为，所以的周期也为4，所以，，所以，故②正确．因为，，，， 所以，所以④正确．故选:D.【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）设定义在R上的函数与的导函数分别为和．若，，且为奇函数，则下列说法中一定正确的是（    ）A．B．C．，D．【答案】A【分析】由得，结合已知得，进而有，由可判断C项中的对称性；由为奇函数可得的周期、对称性及特殊值，从而化简判断A正误；B、D由，结合A即可判断.【详解】C：由，则，则，又，所以，令得，即.所以，所以函数的图象关于对称，而，，则的图象关于对称，错；A：为奇函数，则关于对称，且，∴，，，，∴.又，∴，∴的周期，∴，对；D：因为，所以，所以，错；B：，错.故选：A【变式1-3】7.设定义在实数集上的函数与的导数分别为与，若，，且为奇函数，则下列说法不正确的是（    ）A．B．图象关于直线对称C．D．【答案】B【分析】根据为奇函数推出对称中心为，根据可得，由，得，将代入，得的对称轴为，进而可得的周期，与的周期，再利用特值法求值即可.【详解】由为奇函数，则过，图象向右平移一个单位得过，A选项正确；又，则，因为，所以，所以，令，得，则，所以，则关于直线对称， 两边求导得，函数的图象关于点对称，B选项错误；因为关于点对称，关于直线对称，则的周期；所以，，所以，C选项正确；又函数关于直线对称，所以函数在左右两侧单调性相反，且，令，得，所以，，D选项正确；故选：B.题型11放大镜型函数性质【解题攻略】形如等“似周期函数”或者“类周期函数”，俗称放大镜函数，要注意以下几点辨析：1.是从左往右放大，还是从右往左放大。2.放大（缩小）时，要注意是否函数值有0。3.放大（缩小）时，是否发生了上下平移。4.“放大镜”函数，在寻找“切线”型临界值时，计算容易“卡壳”，授课时要着重讲清此处计算。【典例1-1】定义在上函数满足，且当时，，则使得在上恒成立的的最小值是______________.【答案】【分析】由题设递推关系及已知区间解析式，分析可得分段函数：在上有，应用数形结合的方法求参数m的最小值.【详解】由题设知，当时，，故，同理：在上，，∴当时，.函数的图象，如下图示. 在上，，得或.由图象知：当时，.故答案为：.【典例1-2】.已知是定义在上的奇函数，当时，有下列结论：①函数在上单调递增；②函数的图象与直线有且仅有个不同的交点；③若关于的方程恰有个不相等的实数根，则这个实数根之和为；④记函数在上的最大值为，则数列的前项和为.其中所有正确结论的编号是___________.【答案】①④【分析】作出函数的图像，利用数形结合思想依次判断选项①②③，利用等比数列求和判断选项④；【详解】当时，，此时不满足方程；若，则，即若，则，即作出函数在时的图像，如图所示，对于①，由图可知，函数在上单调递增，由奇函数性质知，函数在上单调递增，故①正确；对于②，可知函数在时的图像与与直线有1个交点，结合函数的奇偶性知，的图象与直线有3个不同的交点，故②错误；对于③，设，则关于的方程等价于，解得：或当时，即对应一个交点为；方程恰有4个不同的根，可分为两种情况： （1），即对应3个交点，且，，此时4个实数根的和为8；（2），即对应3个交点，且，，此时4个实数根的和为4，故③错误；对于④，函数在上的最大值为，即，由函数的解析式及性质可知，数列是首项为1，公比为的等比数列，则数列的前项和为，故④正确.故答案为：①④【变式1-1】已知定义在[1,+∞)上的函数f(x)=4-8x-12(1≤x≤2)12f(x2)(x>2)，则A．在[1,6]上，方程f(x)-16x=0有5个零点B．关于x的方程f(x)-12n=0(n∈N*)有2n+4个不同的零点C．当x∈[2n-1,2n](n∈N*)时，函数f(x)的图象与x轴围成的面积为4D．对于实数x∈[1,+∞)，不等式xf(x)≤6恒成立【答案】D【详解】当x∈（2，4]时，f（x）＝12（4－|4x－12|）当x∈（4，8]时，f（x）＝122（4－|2x－12|）……当x∈（2n－1，2n]时，f（x）＝12n-1（4－|12n-1·8x－12|）则在[1，6）上，方程f（x）－16x＝0有4个零点，A错误；当n＝1时，f（x）－12＝0有7个不同的零点，故B错误；当x∈（2n－1，2n]时，函数f（x）的图象与x轴围成的面积S＝12×12n-1×4(2n-2n-1)＝2，故C错误当x∈（2n－1，2n]时，xf（x）的最大值为12n-1×4×2n+2n-12＝6，故D正确考点：分段函数，图象，性质，零点，最值，不等式【变式1-2】设函数的定义域为，满足，且当时，．若对任意，都有，则m的取值范围是（       ）A．B．C．D．【答案】B【分析】作出图示，求出当时，函数的解析式，求出成立的x的值，运用数形结合的思想可得选项．【详解】解：时，，，，即右移1个单位，图像变为原来的2倍．如图所示：当时，，令，解得， 所以要使对任意，都有，则，，故选：B．【变式1-3】．定义域为的函数满足：，当时，，若时，恒成立，则实数的取值范围是A．B．C．D．【答案】C【详解】依题意，当时，，故，画出函数在上的图象（图略），由图可知，函数在区间上的最小值为，故，解得.题型12抽象函数赋值型性质【典例1-1】（2023春·辽宁·高三校联考阶段练习）已知是定义在上的函数，且在区间内单调递增，对，，都有.若，使得不等式成立，则实数的最大值为.【答案】【分析】由赋值法可得，，进而可判断函数的奇偶性，利用单调性将问题转化为，构造函数，求导得函数的单调性，即可可得最值，即可求解.【详解】令，则，所以；令，则，所以；令，，则，所以，所以为偶函数.因为在上单调递增，所以在上单调递减. 不等式化为，因为，，所以，取对数得，即，由题设条件可知，设，则，当时，，当时，，所以在内单调递增，在内单调递减，则，所以，故实数的最大值为.故答案为：【典例1-2】．（2023·全国·高三对口高考）已知定义域为的函数对任意实数x，y满足，且，．给出下列结论：①；②为奇函数；③为周期函数；④在内单调递减．其中正确结论的序号是．【答案】②③【分析】由条件通过赋值，并结合奇函数和周期函数的定义判断②③，通过赋值并结合所给特殊值判断①④.【详解】因为，，取，得，则是奇函数，故②正确.取，得，即故③正确.取，得从而，故①不正确.取，得，根据③的结论知，故④不正确.故答案为：②③.【变式1-1】（2023·江苏南通·统考模拟预测）若函数的定义域为，且，，则．【答案】【分析】推导出，可得出，再利用等差数列的求和公式可求得的值.【详解】因为函数的定义域为，且，令可得，可得，令，则，所以，，所以，，所以，. 故答案为：.【变式1-2】（2023·浙江·高三专题练习）若定义在上的函数满足：，，且，则满足上述条件的函数可以为.（写出一个即可）【答案】（答案不唯一也可）【分析】根据题意可得函数为偶函数，可取，在证明这个函数符合题意即可.【详解】令，则，所以，所以函数为偶函数，可取，则，所以，，所以函数符合题意.故答案为：.（答案不唯一也可）【变式1-3】（2022秋·湖南衡阳·高三衡阳市一中校考）定义在R上的函数f(x)满足x，yR，且f(0)0，f(a)=0(a>0).则下列结论正确的序号有.①f(0)=1；②；③；④.【答案】①②④【分析】根据给定的函数等式，对变量赋值依次计算判断各个命题作答.【详解】x，yR，且f(0)0，对于①，取，得，因此，①正确；对于②，取，得，，因此，，②正确；对于③，取，得，而f(a)=0，则有，由②知，于是，因此，，③错误；对于④，取，得，因为f(a)=0，，因此，④正确.故答案为：①②④题型13对称型恒成立求参【解题攻略】一般地，已知函数，（1）若，，有成立，故；（2）若，，有成立，故；（3）若，，有成立，故；（4）若，，有，则的值域是值域的子集.【典例1-1】．（2021上·江苏南京·高三南京市中华中学校考期末）定义在上的函数满足，且当时，若对任意的，不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A．B．C．D．【答案】C【分析】若对任意的，不等式恒成立，即对，不等式恒成立，，进而可得答案.【详解】当时，单调递减，，当时，单调递减，，故在上单调递减，由，得的对称轴为，若对任意，不等式恒成立，即对，不等式恒成立，，即，即，故实数的最大值为.故选：C.【典例1-2】（2020·湖南永州·统考三模）已知函数是定义在上的奇函数，当时，.若对任意的，成立，则实数的取值范围是（    ）A．B．C．D．【答案】D【分析】利用奇函数求得的解析式，画出其函数图象的草图，由不等式在闭区间上恒成立，结合的对称性，有在中，或恒成立，进而求a的范围.【详解】由题设知：，又是定义在上的奇函数，即，∴当时，，即，而；当时，，即，而；∴综上，有，可得如下函数图象，∴对任意的有成立，即在中，或或恒成立，∴或恒成立，即有或.故选：D.【变式1-1】（2021上·上海浦东新·高三上海市建平中学校考阶段练习）已知，满足对于任意的，都有，设，若对于任意的，，都有成立，则实数的取值范围是． 【答案】【分析】利用函数的图象的对称性求得，将整理为，由已知条件得到，求解即得.【详解】∵对于任意的，都有，∴函数的对称轴为，∴，∴,对于任意的，，都有成立，∴,解得，即实数的取值范围是,故答案为：【变式1-2】（2018上·上海奉贤·高一上海市奉贤中学校考阶段练习）设函数，对任意非零实数，若等式成立，则正整数的值为.【答案】504【分析】根据题意得到，代入计算得到式子，计算得到答案.【详解】，则则故答案为【变式1-3】已知是定义在R上的函数，且关于直线对称.当时，，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】结合复合函数的单调性，可知在上单调递减，由关于直线对称，可知为偶函数，从而可将题中不等式转化为，整理得对任意的恒成立，进而结合二次函数的性质，可求出的取值范围.【详解】当时，， 函数在上单调递减，且是R上的增函数，根据复合函数的单调性可知，函数在上单调递减，且；当时，，易知函数在上单调递减，且.∴函数在上单调递减.∵关于直线对称，∴关于对称，即为偶函数，∴不等式可化为，∴恒成立，即，整理得，令，∴对任意的，恒成立，∴，即，解得.故选：D.题型14构造“对称”型函数【典例1-1】（2021上·湖北·高三校联考阶段练习）已知满足，满足，则（    ）A．B．C．D．前三个答案都不对【答案】B【分析】把满足，满足，转化为是函数和的图象的交点的横坐标，是函数和的图象的交点的横坐标，结合函数的对称性，即可求解.【详解】由题意，满足，满足，即满足，满足，即是函数和的图象的交点的横坐标，是函数和的图象的交点的横坐标，设函数上任意一点的坐标为关于的对称点为，可得，即，代入函数，可得，即函数与的图象关于轴对称，所以，所以.故选：B.【典例1-2】（2022上·上海徐汇·高三上海市南洋模范中学校考阶段练习）设且满足，则.【答案】【分析】等式整理成表达式.构造函数，判断单调性与奇偶性找的关系.【详解】，即即，同理又因为，所以构造函数， 所以，，即又因为，即，所以是定义在上的奇函数.所以式变为：即由幂函数知在上单调递增，所以，，即.故答案为：【变式1-1】（2022·全国·高三专题练习）已知，那么的值是．【答案】2【分析】由题意，构造函数，则，又函数的图象关于中心对称，利用对称性即可求解.【详解】解：由题意，，设函数，则，因为，所以函数的图象关于中心对称，所以．故答案为：2.【变式1-2】（2021上·浙江宁波·高三余姚中学校考）已知满足，若对任意的，恒成立，则实数k的最小值为．【答案】4【分析】观察可构造函数,分析其性质得出的关系再进行不等式恒成立的运用即可.【详解】设,则为往右平移两个单位得来.又为单调递增的奇函数,且关于对称.故为单调递增的函数且关于对称.又可知关于对称.故,即.又对任意的,恒成立.即恒成立.故判别式,得.故的最小值为4.故答案为4高考练场1.（2022秋·云南保山·高三统考阶段练习）设函数，若是奇函数，则（    ）A．B．C．D．【答案】D【分析】利用函数的奇偶性求出，得到函数的解析式，根据解析式求函数值即可. 【详解】由已知可得，则．因为是奇函数，所以，因为，解得，所以，所以.故选：D．2..已知函数满足，若函数与图像的交点为，则____________.【答案】10【分析】由已知得到函数是关于点对称，函数经过化简也关于对称，由此可知两个函数的交点就关于对称，根据点的对称性，就可以得到的值.【详解】因为函数满足，即满足，所以是关于点对称，函数关于点对称，所以函数与图像的交点也关于点对称，故交点成对出现，且每一对点都关于对称，故.故答案为：10.3.（2023上·贵州贵阳·高三校联考阶段练习）已知函数，当时，，则.【答案】2【分析】由题意条件得到的图象关于直线对称，从而得到，再代入求值即可.【详解】由可知，函数的图象关于直线对称，而函数的图象关于直线对称，所以，所以，所以.故答案为：24.（2023上·上海闵行·高三校联考期中）设曲线与函数的图像关于直线对称，设曲线仍然是某函数的图像，则实数的取值范围是.【答案】【分析】设是在点处的切线，进而根据题意得直线关于对称后的直线方程必为，曲线才能是某函数的图像，进而得的方程为，再联立方程即可得，进而得答案. 【详解】设是在点处的切线，因为曲线与函数的图像关于直线对称，所以直线关于对称后的直线方程必为，曲线才能是某函数的图像，如图所示直线与的角为，所以的倾斜角为，所以的方程为故联立方程得，即，则，即所以，解得所以的取值范围为.故答案为：5.已知定义在上的函数满足：，，当时，，则（    ）A．B．C．D．【答案】B【分析】由题意，可得函数的对称性，进而得到周期性，整理函数值，可得答案.【详解】，为奇函数，即图象关于原点对称，，的图象关于直线对称，则函数的周期，由，则，即，则，由，则，即，故选：B.6.．（2023秋·重庆九龙坡·高三统考期末）已知函数定义域为，为偶函数，为奇函数，则（    ）A．B．C．D．【答案】D【分析】结合函数的奇偶性、周期性等知识求得正确答案. 【详解】依题意，定义域为，由于为偶函数，图象关于轴对称，所以图象关于直线对称，为奇函数，，由，以替换，，所以，所以，所以是周期为的周期函数.由得，所以关于对称，令，，所以.所以D选项正确，ABC选项无法判断.故选：D7.对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.设函数，则（    ）A．0B．1C．2D．4【答案】D【分析】由题意对已知函数求两次导数可得图象关于点对称，即，即可得到结论．【详解】解：因为，所以，，由，得，解得，而，故函数关于点对称，故，所以，所以故选：D8..已知函数的定义域均为R，且满足则（    ）A．3180B．795C．1590D．1590【答案】D【分析】根据递推关系可得且，进而有，构造易知是周期为2，分别求得、，再求、，根据周期性求，最后求和.【详解】由，则，即，由，则，即，又，即，所以，故，综上，，则，故关于对称，且有，令，则，即是周期为2，由知：关于对称且，所以，即，则，由，可得，则，所以则；则，依次类推：，，……，， 所以.故选：D9.．已知是定义域为的奇函数，是定义域为的偶函数，且与的图象关于轴对称，则（    ）A．是奇函数B．是偶函数C．关于点对称D．关于直线对称【答案】A【分析】根据函数，的奇偶性可推出以及的对称性，结合与的图象关于轴对称，推出的奇偶性以及对称性，判断A,C;同理推得的奇偶性以及对称性，判断B,D.【详解】由于是定义域为的奇函数，则的图象关于成中心对称，是定义域为的偶函数，则的图象关于对称，因为与的图象关于轴对称，则的图象关于对称，又的图象关于成中心对称，则的图象关于成中心对称，故为奇函数，A正确；因为为奇函数，故，由与的图象关于轴对称，可得，故，故为奇函数，B错误；由A的分析可知的图象关于对称，故C错误；由A的分析可知的图象关于成中心对称，为奇函数，则的图象也关于成中心对称，而与的图象关于轴对称，则的图象关于成中心对称，故D错误，故选：A10..设定义在上的函数与的导函数分别为和，若，，且为奇函数，．现有下列四个结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号是（    ）A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④【答案】D【分析】根据函数奇偶性、对称性、周期性三者之间的关系，结合导函数相等即其他等式，综合运用各式之间的关系即可得出结果.【详解】因为，所以．因为，所以，所以．因为，所以，得，所以，所以，所以的图象关于直线对称，所以，故①正确．因为为奇函数，所以，且．因为，所以，则的周期，所以，故③错误．因为，所以的周期也为4， 所以，，所以，故②正确．因为，，，，所以，所以④正确．故选:D.11.已知定义域为的奇函数满足：当时，；当时，．现有下列四个结论：①的周期为2；②当时，；③若，则；④若方程在上恰有三个根，则实数k的取值范围是．其中所有正确结论的序号是（    ）A．①③B．②③④C．②④D．②③【答案】C【分析】根据所给条件求出函数在上的解析式，再根据奇偶性求出函数在上的解析式，即可判断①，②，根据等比数列求和公式求出，再求出其最大值，即可求出的取值范围，即可判断③，将方程的根问题转为与在上恰有三个交点，画出函数的大致图象，利用导数的几何意义求出的取值范围，即可判断④.【详解】因为当时，，当时，，所以当时，．因为是定义在上的奇函数，所以当时，，故①错误，②正确．因为，所以。因为在上单调递减，所以，所以，故③错误，方程在上恰有三个根，即的图象与直线在上有三个交点．是定义在上的奇函数，得，当时，，，当时，，单调递减，当时，，单调递增，，当时，．根据以上信息，画出函数的大致图象，如图所示， 直线过定点，所以，其中为点连线的斜率，，为直线与曲线相切时的斜率，设切点为，则．因为，所以，切线方程为，将点的坐标代入，得，即，则，所以，故④正确．故选：C．12.．（2023秋·广东广州·高三执信中学校考开学考试）设为定义在整数集上的函数，，，，对任意的整数均有．则．【答案】【分析】采用赋值的方式可求得，令和可证得的对称轴和奇偶性，由此可推导得到的周期性，利用周期性可求得函数值.【详解】令，则，；令，，则，又，；令，则，关于直线对称；令，则，不恒成立，恒成立，为奇函数，，，是周期为的周期函数，.故答案为：.13.已知函数，对于，使得，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】对于，使得，等价于.利用单调性分别找到与解不等式即可得出答案.【详解】对于，使得，等价于. 因为函数.因为与在[0，1]上为增函数所以函数在[0，1]上为增函数，所以.同理可知函数在[0，4]上为增函数，则.则当时，，于是由，得；当时，，满足；当时，，于是由，得.综上可知，故选：C.