专题2-1 函数性质（单调性、奇偶性、中心对称、轴对称、周期性）（原卷版）

专题2-1函数性质（单调性、奇偶性、中心对称、轴对称、周期性）目录题型01奇偶性基础1题型02中心对称型函数2题型03轴对称型函数3题型04斜直线轴对称型3题型05“正余弦”型对称4题型06伸缩型对称5题型07一元三次函数型中心对称6题型08“局部周期”型函数性质7题型09双函数型对称8题型10原函数与导函数型双函数对称9题型11放大镜型函数性质10题型12抽象函数赋值型性质11题型13对称型恒成立求参11题型14构造“对称”型函数12高考练场13题型01奇偶性基础【解题攻略】奇偶函数的性质①偶函数⇔f(－x)＝f(x)⇔关于y轴对称⇔对称区间的单调性相反；②奇函数⇔f(－x)＝－f(x)⇔关于原点对称⇔对称区间的单调性相同；③奇函数在x＝0处有意义时，必有结论f(0)＝0；奇偶性的判定①“奇±奇”是奇，“偶±偶”是偶，“奇×/÷奇”是偶，“偶×/÷偶”是偶，“奇×/÷偶”是奇；②奇(偶)函数倒数或相反数运算，奇偶性不变；③奇(偶)函数的绝对值运算，函数的奇偶性均为偶函数．【典例1-1】（2023秋·山西·高三校联考期中）已知函数为奇函数，则的值是（    ）A．0B．C．12D．10【典例1-2】（2023秋·北京昌平·高三北京市昌平区前锋学校校考阶段练习）已知，则（    ）A．为偶函数，且在上单调递增B．为偶函数，且在上单调递减C．为奇函数，且在上单调递增D．为奇函数，且在上单调递减 【变式1-1】．（2023·全国·高一专题练习）若为奇函数，则的解集为（    ）A．B．C．D．【变式1-2】（2023秋·江苏南通·高三统考开学考试）已知是奇函数，则在处的切线方程是（    ）A．B．C．D．【变式1-3】．（2023秋·天津和平·高三天津一中校考阶段练习）已知函数，，若对任意，都有成立，则实数的取值范围是（    ）A．B．C．D．题型02中心对称型函数【解题攻略】中心对称结论：（1）若函数满足，则的一个对称中心为（2）若函数满足，则的一个对称中心为（3）若函数满足，则的一个对称中心为.【典例1-1】已知函数，则存在非零实数，使得（）A．B．C．D．【典例1-2】函数的图象与函数图象的所有交点的横坐标之和为___________.【变式1-1】.设函数的最大值为5，则的最小值为（）A．B．1C．2D．3【变式1-2】已知函数，，若使关于的不等式成立，则实数的范围为___________.【变式1-3】.函数的图像可能是（）A．B． C．D．题型03轴对称型函数【解题攻略】轴对称性的常用结论如下：（1）若函数满足,则的一条对称轴为（2）若函数满足,则的一条对称轴为（3）若函数满足,则的一条对称轴为(4)f(a－x)=f(b＋x)⇔f(x)的图象关于直线x=对称；【典例1-1】．（2023上·重庆·高三重庆市忠县忠州中学校校联考）已知定义在上的函数，函数为偶函数，且对都有，若，则的取值范围是．【典例1-2】（2023上·江西景德镇·高一统考期中）已知函数满足关系式，且对于，，满足恒成立，若不等式对恒成立，则实数a的取值范围是．【变式1-1】．（2023上·江苏南通·高三统考阶段练习）设定义在上的函数在单调递减，且为偶函数，若，，且有，则的最小值为.【变式1-2】（2023上·山东济南·高三统考开学考试）若函数的图象关于直线对称，且有且仅有4个零点，则的值为．【变式1-3】．（2023上·陕西榆林·高三校考阶段练习）函数是定义在上的奇函数，且图象关于对称，在区间上，，则.题型04斜直线轴对称型【解题攻略】关于斜直线轴对称，可以借鉴圆锥曲线中直线的对称性来处理 （1）点关于直线的对称点，则有；（2）直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决.如果斜直线轴对称，还有以下经验公式：如果对称轴所在的直线斜率是，即直线是型，可以利用反解对称轴法直接求出对称变换式子(1)如果关于直线的对称点为，则的坐标为；(2)如果关于直线的对称点为，则的坐标为．【典例1-1】（2023上·重庆·高三西南大学附中校考）已知函数为奇函数，的函数图象关于对称，且当时，，则.【典例1-2】（2023上·辽宁·高三校联考）已知定义域为的函数满足，且其图象关于直线对称，若当时，，则.【变式1-1】（2023上·辽宁大连·高三大连八中校考期中）已知函数，若曲线关于直线对称，则的值为．【变式1-2】（2023上·上海浦东新·高三华师大二附中校考）已知函数的图象过点，且关于直线成轴对称图形，则．【变式1-3】（2021上·高一校考课时练习）若函数的图象与且的图象关于直线对称，则的值等于（    ）A．B．C．D．题型05“正余弦”型对称【解题攻略】（1）两中心；（2）两垂直轴则；（3）一个中心，一条轴，则 【典例1-1】函数是定义在上的奇函数，且为偶函数，当时，，若函数恰有一个零点，则实数的取值集合是（          ）A．B．C．D．【典例1-2】.定义在上的偶函数f（x）满足f（－x）＋f（x－2）＝0，当时，（已知），则（    ）A．B．C．D．【变式1-1】已知定义在上的函数满足条件，且函数为奇函数，则下列说法中错误的是（    ）A．函数是周期函数；B．函数的图象关于点对称；C．函数为上的偶函数；D．函数为上的单调函数．【变式1-2】已知函数的定义域为，为的导函数，且，，若为偶函数，则下列结论不一定成立的是（   ）A．B．C．D．【变式1-3】.定义在上的函数满足，；且当时，．则方程所有的根之和为（    ）A．6B．12C．14D．10题型06伸缩型对称【解题攻略】伸缩变换y＝f(ax)y＝f(x)y＝af(x)【典例1-1】（2023秋·湖南怀化·高三统考）已知不是常函数，且是定义域为的奇函数，若的最小正周期为1，则（    ）A．B．1是的一个周期 C．D．【典例1-2】（2023·河南·长葛市第一高级中学统考模拟预测）若函数f（x）的定义域为R，且f（2x＋1）为偶函数，f（x－1）的图象关于点（3，3）成中心对称，则下列说法正确的个数为（    ）①的一个周期为2    ②③④直线是图象的一条对称轴A．1B．2C．3D．4【变式1-1】（2022秋·重庆南岸·高三重庆市第十一中学校校考阶段练习）已知是定义在上的函数，是奇函数，且是偶函数，则下列选项一定正确的是（    ）A．函数的周期为2B．函数的周期为3C．D．【变式1-2】．（2022秋·吉林长春·高三长春市第二中学校考阶段练习）设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则一定有（    ）A．B．C．D．【变式1-3】（2022秋·广西玉林·高三校联考阶段练习）已知是定义域为的奇函数，是定义域为的偶函数，则（    ）A．B．C．D．题型07一元三次函数型中心对称【解题攻略】所有的三次函数都有“拐点”，且该“拐点”也是函数的图像的对称中心，设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．【典例1-1】．给出定义：设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”.经研究发现所有的三次函数都有“拐点”，且该“拐点”也是函数的图像的对称中心，若函数，则（    ）A．8082B．2021C．-8082D．-2023【典例1-2】已知一元三次函数对称中心的横坐标为其二阶导函数的零点．若，则（    ）A．0B．4C．D． 【变式1-1】在同一坐标系中作出三次函数及其导函数的图象，下列可能正确的序号是（    ）A．①②B．①③C．③④D．①④【变式1-2】设函数是的导数，经过探究发现，任意一个三次函数的图象都有对称中心，其中满足，已知函数，则（    ）A．0B．C．1D．【变式1-3】一般地，对于一元三次函数，若，则为三次函数的对称中心，已知函数图象的对称中心的横坐标为，且有三个零点，则实数a的取值范围是（    ）A．B．C．D．题型08“局部周期”型函数性质【解题攻略】局部周期函数，可类比以下函数图像：【典例1-1】定义在0,+∞上的函数fx满足fx=x2,x∈0,1fx-1-2,x∈1,+∞.（i）f2021=___________.（ii）若方程fx-kx=0有且只有两个解，则实数k的取值范围是___________.福建省长汀县第一中学2022届高三上学期第二次月考数学试题 【典例1-2】.已知fx=12x+a,x≤0,fx-1,x>0,且方程fx=x恰有两解.则实数a的取值范围是______.【变式1-1】（2021下·天津武清·高三天津市武清区杨村第一中学校）已知函数，若对于正数，直线与函数的图像恰好有个不同的交点，则.【变式1-2】．（2021上·四川资阳·高三统考期末）已知函数，函数在处的切线为，若，则与的图象的公共点个数为．题型09双函数型对称【解题攻略】双函数性质：1.双函数各自对应的对称中心和对称轴等性质2.双函数之间存在着互相转化或者互相表示的函数等量关系【典例1-1】（2023·广西玉林·统考模拟预测）已知函数，的定义域均为，是奇函数，且，，则（    ）A．f（x）为奇函数B．g（x）为奇函数C．D．【典例1-2】（2023春·河南开封·高三统考开学考试）已知函数，的定义域为，且，，若为偶函数．，则（    ）A．24B．26C．28D．30【变式1-1】（2023秋·江西·高三校联考期末）已知函数，的定义域均为，且，.若的图象关于直线对称，且，则（    ）A．80B．86C．90D．96【变式1-2】（2023秋·全国·高三校联考阶段练习）的定义域为，为偶函数，且，则下列说法不正确的是（    ）A．的图象关于对称B．的图象关于对称C．4为的周期D．【变式1-3】（2022秋·四川成都·高三成都七中校考专题练习）已知函数的定义域均为 为偶函数，且，，下列说法正确的有（    ）A．函数的图象关于对称B．函数的图象关于对称C．函数是以4为周期的周期函数D．函数是以6为周期的周期函数题型10原函数与导函数型双函数对称【解题攻略】原函数与导函数的性质性质1若函数是可导函数，且图像关于对称，则其导函数的图像关于轴对称性质2奇函数的导数为偶函数性质3若函数是可导函数，且图像关于对称，则其导函数的图像关于轴对称性质4偶函数的导数为奇函数性质5若函数是可导函数，且图像关于对称，则其导函数的图像关于对称偶函数的导数为奇函数性质6若定义在R上的函数是可导函数，且周期为T，则其导函数是周期函数，且周期也为T性质7若函数是可导函数，定义域为D，其导函数的图像关于轴对称，则图像关于对称，为定义域内任意一点【典例1-1】（2023·四川成都·校联考模拟预测）已知函数及其导函数的定义域均为，，且是偶函数，，，则（    ）A．2022B．2023C．2024D．2025【典例1-2】（2022上·四川遂宁·高三射洪中学校考阶段练习）已知函数及其导函数定义域均为，为奇函数，，，则正确的有（    ）①；②；③；④.A．①④B．①②C．②③D．③④【变式1-1】（2023·广西梧州·苍梧中学校考模拟预测）设定义在上的函数与的导函数分别为和，若，，且为奇函数，．现有下列四个结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号是（    ）A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）设定义在R上的函数与的导函数分别为和．若，，且为奇函数，则下列说法中一定正确的是（    ） A．B．C．，D．【变式1-3】7.设定义在实数集上的函数与的导数分别为与，若，，且为奇函数，则下列说法不正确的是（    ）A．B．图象关于直线对称C．D．辽宁省沈阳市第二中学2022-2023学年高三上学期12月月考数学试题题型11放大镜型函数性质【解题攻略】形如等“似周期函数”或者“类周期函数”，俗称放大镜函数，要注意以下几点辨析：1.是从左往右放大，还是从右往左放大。2.放大（缩小）时，要注意是否函数值有0。3.放大（缩小）时，是否发生了上下平移。4.“放大镜”函数，在寻找“切线”型临界值时，计算容易“卡壳”，授课时要着重讲清此处计算。【典例1-1】定义在上函数满足，且当时，，则使得在上恒成立的的最小值是______________.【典例1-2】.已知是定义在上的奇函数，当时，有下列结论：①函数在上单调递增；②函数的图象与直线有且仅有个不同的交点；③若关于的方程恰有个不相等的实数根，则这个实数根之和为；④记函数在上的最大值为，则数列的前项和为.其中所有正确结论的编号是___________.【变式1-1】已知定义在[1,+∞)上的函数f(x)=4-8x-12(1≤x≤2)12f(x2)(x>2)，则A．在[1,6]上，方程f(x)-16x=0有5个零点B．关于x的方程f(x)-12n=0(n∈N*)有2n+4个不同的零点C．当x∈[2n-1,2n](n∈N*)时，函数f(x)的图象与x轴围成的面积为4D．对于实数x∈[1,+∞)，不等式xf(x)≤6恒成立【变式1-2】设函数的定义域为，满足，且当时，．若对任意，都有，则m的取值范围是（       ） A．B．C．D．【变式1-3】．定义域为的函数满足：，当时，，若时，恒成立，则实数的取值范围是A．B．C．D．题型12抽象函数赋值型性质【典例1-1】（2023春·辽宁·高三校联考阶段练习）已知是定义在上的函数，且在区间内单调递增，对，，都有.若，使得不等式成立，则实数的最大值为.【典例1-2】．（2023·全国·高三对口高考）已知定义域为的函数对任意实数x，y满足，且，．给出下列结论：①；②为奇函数；③为周期函数；④在内单调递减．其中正确结论的序号是．【变式1-1】（2023·江苏南通·统考模拟预测）若函数的定义域为，且，，则．【变式1-2】（2023·浙江·高三专题练习）若定义在上的函数满足：，，且，则满足上述条件的函数可以为.（写出一个即可）【变式1-3】（2022秋·湖南衡阳·高三衡阳市一中校考）定义在R上的函数f(x)满足x，yR，且f(0)0，f(a)=0(a>0).则下列结论正确的序号有.①f(0)=1；②；③；④.题型13对称型恒成立求参【解题攻略】 一般地，已知函数，（1）若，，有成立，故；（2）若，，有成立，故；（3）若，，有成立，故；（4）若，，有，则的值域是值域的子集【典例1-1】．（2021上·江苏南京·高三南京市中华中学校考期末）定义在上的函数满足，且当时，若对任意的，不等式恒成立，则实数的最大值为（    ）A．B．C．D．【典例1-2】（2020·湖南永州·统考三模）已知函数是定义在上的奇函数，当时，.若对任意的，成立，则实数的取值范围是（    ）A．B．C．D．【变式1-1】（2021上·上海浦东新·高三上海市建平中学校考阶段练习）已知，满足对于任意的，都有，设，若对于任意的，，都有成立，则实数的取值范围是．【变式1-2】．（2018上·上海奉贤·高一上海市奉贤中学校考阶段练习）设函数，对任意非零实数，若等式成立，则正整数的值为.【变式1-3】已知是定义在R上的函数，且关于直线对称.当时，，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．题型14构造“对称”型函数【典例1-1】（2021上·湖北·高三校联考阶段练习）已知满足，满足，则（    ）A．B．C．D．前三个答案都不对【典例1-2】（2022上·上海徐汇·高三上海市南洋模范中学校考阶段练习）设且满足，则. 【变式1-1】（2022·全国·高三专题练习）已知，那么的值是．【变式1-2】（2021上·浙江宁波·高三余姚中学校考）已知满足，若对任意的，恒成立，则实数k的最小值为．高考练场1.（2022秋·云南保山·高三统考阶段练习）设函数，若是奇函数，则（    ）A．B．C．D．2..已知函数满足，若函数与图像的交点为，则____________.3.（2023上·贵州贵阳·高三校联考阶段练习）已知函数，当时，，则.4.（2023上·上海闵行·高三校联考期中）设曲线与函数的图像关于直线对称，设曲线仍然是某函数的图像，则实数的取值范围是.5.已知定义在上的函数满足：，，当时，，则（    ）A．B．C．D．6.．（2023秋·重庆九龙坡·高三统考期末）已知函数定义域为，为偶函数，为奇函数，则（    ）A．B．C．D．7.对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.设函数，则（    ）A．0B．1C．2D．48..已知函数的定义域均为R，且满足 则（    ）A．3180B．795C．1590D．15909.．已知是定义域为的奇函数，是定义域为的偶函数，且与的图象关于轴对称，则（    ）A．是奇函数B．是偶函数C．关于点对称D．关于直线对称10..设定义在上的函数与的导函数分别为和，若，，且为奇函数，．现有下列四个结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号是（    ）A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④11.已知定义域为的奇函数满足：当时，；当时，．现有下列四个结论：①的周期为2；②当时，；③若，则；④若方程在上恰有三个根，则实数k的取值范围是．其中所有正确结论的序号是（    ）A．①③B．②③④C．②④D．②③12.．（2023秋·广东广州·高三执信中学校考开学考试）设为定义在整数集上的函数，，，，对任意的整数均有．则．13.已知函数，对于，使得，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．