专题：导数中构造函数比大小问题题型总结（解析版）

导数中构造函数比大小问题题型总结【典型例题】lnx题型一：构造fx=比较大小x1−lnx此函数定义域为0,+∞，求导fx=，当x∈0,e时，fx>0，故fx为增函数，当x∈2x1ln4e,+∞时，fx<0，故fx为减函数，当x=e时，fx取得极大值为fe=，且f4==e42ln2ln2==f2，此结论经常用来把函数转化到同一边进行比较421ln2ln3【例1】(2022·广东·佛山市南海区九江中学高二阶段练习)若a=,b=,c=，则a,b,c的大小关e23系为()A.a>c>bB.b>c>aC.c>b>aD.a>b>c【答案】A【解析】lnx通过对三个数的变形及观察，可以构造出函数fx=，通过求导分析其单调性即可得到答案x【详解】1lneln2ln4ln3lnx1-lnx解：a==,b==,c=，设fx=,fx=，则x>e时，fx<0，ee243xx2lneln3ln4故fx在e,+∞上单调递减，则fe>f3>f4，即>>，所以a>c>b．e34故选：A.4-ln4ln21【例2】(2023·全国·高三专题练习)设a=，b=，c=，则()e22eA.a<c<bB.a<b<cC.b<a<cD.b<c<a【答案】C【解析】lnx结合已知要比较函数值的结构特点,可考虑构造函数fx=,然后结合导数与单调性关系分析x1出x=e时,函数取得最大值fe=,可得c最大,然后结合函数单调性即可比较大小.e 【详解】lnx1-lnx设fx=,则fx=,xx2当x>e时,fx<0,函数单调递减,当0<x<e时,fx>0,函数单调递增,1故当x=e时,函数取得最大值fe=,e2e22-ln2ln2e2ln2ln41因为a===f,b===f4,c==fe,e2e2224e22e∵e<<4,22e当x>e时,fx<0,函数单调递减,可得f4<f<fe,2即b<a<c.故选:C【例3】(2022·吉林·高二期末)下列命题为真命题的个数是()π15①ln3<3ln2；②lnπ<；③2<15；④3eln2>42．eA.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】lnxlnx本题首先可以构造函数fx=，然后通过导数计算出函数fx=的单调性以及最值，然后xxlnx通过对①②③④四组数字进行适当的变形，通过函数fx=的单调性即可比较出大小．x【详解】lnx1-lnx解：构造函数fx=，则fx=，xx2当0<x<e时，fx>0，x>e时，fx<0，lnx所以函数fx=在0,e上递增，在e,+∞上递减，x1所以当x=e时fx取得最大值，eln3ln2ln3<3ln2⇔2ln3<3ln2⇔<，32由3<2<e可得f3<f2，故①正确；πlnπlnelnπ<⇔<，由e<π<e，可得fe<fπ，故②错误；eπe15ln2ln15ln4ln152<15⇔15ln2<ln15⇔<⇔<，215415 lnx因为函数fx=在e,+∞上递减，x所以f4<f15，故③正确；因为22>e，所以f22<fe，ln22lne3ln21即<，即<，则3eln2<22，22e22e即3eln2<42，故④错误，综上所述，有2个正确.故选：B．【点睛】本题考查如何比较数的大小，当两个数无法直接通过运算进行大小比较时，如果两个数都可以转化为某个函数上的两个函数值，那么可以构造函数，然后通过函数的单调性来判断两个数的大小，考查函数思想，是难题．【例4】(2021·陕西汉中·高二期末(理))已知a，b，c均为区间0,e内的实数，且aln5=5lna，bln6=6lnb，cln7=7lnc，则a，b，c的大小关系为()A.a>c>bB.a>b>cC.c>a>bD.c>b>a【答案】B【解析】lnx构造函数fx=，由导数判断函数单调性，进而利用单调性即可求解.x【详解】lnx1-lnx解：令fx=，则fx=，xx2当0<x<e时，fx>0，函数F(x)在0,e上单调递增，当x>e时，fx<0，函数fx在e,+∞上单调递减，因为7>6>5>e，所以f7<f6<f5，ln5lnaln6lnbln7lnc因为a，b，c均为区间0,e内的实数，且=，=，=，5a6b7c所以fa>fb>fc，所以a>b>c，故选：B.ln21ln6【例5】(2022·江西·高三阶段练习(理))设a=，b=，c=，则()8e212A.a<c<bB.a<b<cC.b<a<cD.c<a<b【答案】B【解析】 lnx根据a、b、c算式特征构建函数fx=，通过求导确定函数单调性即可比较a、b、c的大小关系.2x【详解】lnxx-2xlnx令fx=，则fx==0⇒x=e，24xxlnx因此fx=在[e,+∞)上单调递减，2xln2ln41lneln6ln6又因为a===f(4)，b===f(e)，c===f(6)，816e2e2126因为4>e>6>e，所以a<b<c．故选：B．【题型专练】ln212ln31.(2022·四川省资阳中学高二期末(理))若a=,b=,c=，则()2e9A.b>a>cB.b>c>aC.a>b>cD.a>c>b【答案】A【解析】lnx令fx=，利用导数说明函数的单调性，即可得到函数的最大值，再利用作差法判断a、c，即可x得解；【详解】lnx1-lnx解：令fx=，则fx=，所以当0<x<e时fx>0，当x>e时fx<0，xx2所以fx在0,e上单调递增，在e,+∞上单调递减，lne11ln2所以fxmax=fe==，所以>eee294ln22ln39ln2-4ln3ln2-ln3ln512-ln91又-===>029181818ln22ln3所以>，即b>a>c.29故选：A4-ln4ln232.(2022·浙江台州·高二期末)设a=，b=，c=ln3，则()e22A.a<b<cB.b<a<cC.a<c<bD.b<c<a【答案】B【解析】2eln2ln4ln3lnx由题设a=，b=，c=，构造f(x)=并利用导数研究单调性，进而比较它们的大e243x2小. 【详解】2eln4-ln42ln2ln43ln3由题设，a==，b==，c=ln3=，e2e22432lnx1-lnx令f(x)=且x>0，可得f(x)=，xx2所以f(x)>0有0<x<e，则(0,e)上f(x)递增；f(x)<0有x>e，则(e,+∞)上f(x)递减；2e又4>>3>e，故c>a>b.2故选：B43.(2022·四川广安·模拟预测(理))在给出的(1)e⋅ln3>3(2)e3ln3<4(3)eπ>πe.三个不等式中，正确的个数为()A.0个B.1个C.2个D.3个【答案】C【解析】lnxlnx根据题目特点，构造函数fx=，则可根据函数fx=的单调性解决问题.xx【详解】lnx首先，我们来考察一下函数fx=，则x1-lnxfx=，2x令fx>0,解得0<x<e，令fx<0,解得x>e，lnx故fx=在区间0,e上单调递增，在区间e,+∞单调递减，xlneln3所以，(1)fe<f3，即<，即e⋅ln3>3，则正确；e344lne3ln34(2)fe3<，即e3⋅ln3>4，则错误；<f3，即433elnelnππe(3)fe>fπ，即>⇒πlne>elnπ⇒lne>lnπ，eππe所以，e>π，则正确故选：C.ln313ln24.(2022·四川资阳·高二期末(文))若a=，b=，c=，则()3e8A.b>a>cB.b>c>aC.c>b>aD.c>a>b 【答案】A【解析】lnx设函数f(x)=,(x>0)，求出其导数，判断函数的单调性，由此可判断出答案.x【详解】lnx1-lnx设f(x)=,(x>0)，则f(x)=，xx2当0<x<e时，f(x)>0，f(x)递增，当x>e时，f(x)<0，f(x)递减，当x=e时，函数取得最小值，lneln3ln8由于e<3<8，故>>，即b>a>c，e38故选：Ae33eπ3πe5.(2022·山东日照·高二期末)π是圆周率，e是自然对数的底数，在3，e，3，e，e，π，3，π八个数中，最小的数是___________，最大的数是___________.eπ【答案】e3【解析】分别利用指数函数的单调性，判断出底数同为3,e以及π的数的大小关系，再由幂函数的单调性，找lnx出最小的数，最后利用函数fx=的单调性，判断出最大的数．x【详解】e显然八个数中最小的数是e.xe3π∵函数y=3是增函数，且e<3<π，∴3<3<3；xe3π函数y=e是增函数，且e<3<π，e<e<e；xe3函数y=π是增函数，且e<3<π，π<π；eeeee函数y=x在0,+∞是增函数，且e<3<π，e<3<π，则八个数中最小的数是eπππ函数y=x在0,+∞是增函数，且e<3，e<3，3πlnx八个数中最大的数为π或3，构造函数fx=，x1-lnx求导得fx=，当x∈e,+∞时fx<0，函数fx在e,+∞是减函数，f3>fπ，2xln3lnππ3π3即>，即πln3>3lnπ，即ln3>lnπ，∴3>π，3ππ则八个数中最大的数是3.eπ故答案为：e；3．4-ln416.(2022·安徽省宣城中学高二期末)设a=,b=,c=ln2，则a,b,c的大小关系为()e2eA.a<b<cB.b<a<cC.a<c<bD.c<a<b【答案】D 【解析】2lnxe设f(x)=(x>0)，利用导数求得f(x)的单调性和最值，化简可得a=f，b=f(e)，c=f(2)，x22ln4e根据函数解析式，可得f(4)==f(2)且e<<4，根据函数的单调性，分析比较，即可得答案.42【详解】lnx设f(x)=(x>0)，x1⋅x-lnxx1-lnx则f(x)==，22xx当x∈(0,e)时，f(x)>0，则f(x)为单调递增函数，当x∈(e,+∞)时，f(x)<0，则f(x)为单调递减函数，1所以f(x)max=f(e)=，e2e2(lne2-ln2)ln24-ln42e11又a====f，b==f(e)，c=ln2=ln2=f(2)，e2e2e22e2222ln4ln2ln2e又f(4)====f(2)，e<<4，且f(x)在(e,+∞)上单调递减，44222e所以f(2)=f(4)<f，2所以b>a>c.故选：Dlnalnblnc7.(2022·黑龙江·大庆实验中学高二期末)已知实数a，b，c满足==-<0，则a，b，c的eabc大小关系为()A.b<c<aB.c<b<aC.a<b<cD.b<a<c【答案】C【解析】lnx判断出0<a<1,0<b<1,c>1，构造函数f(x)=,(x>0)，判断0<x<1时的单调性，利用其x单调性即可比较出a,b的大小，即可得答案.【详解】lnalnblnc由==-<0，得0<a<1,0<b<1,c>1，eabclnx1-lnx设f(x)=,(x>0)，则f(x)=，xx2当0<x<1时，f(x)>0，f(x)单调递增，a因为0<a<1，所以e>1>a， lnalnalnalnblna所以>，故=>，∴fb>fa，则b>a，eaaeaba即有0<a<b<1<c，故a<b<c.故选：C.题型二：利用常见不等式关系比较大小xx1.常见的指数放缩：e≥x+1(x=0);e≥ex(x=1)xx证明：设fx=e−x−1，所以fx=e−1，所以当x∈−∞,0时，fx<0，所以fx为减函数，当当x∈0,+∞时，fx>0，所以fx为增函数，所以当x=0时，fx取得最小值为f0=x0，所以fx≥0，即e≥x+11x2.常见的对数放缩：1−≤lnx≤x−1(x=1);lnx≤(x=e)xeπ3.常见三角函数的放缩：x∈0,2,sinx<x<tanx40.04【例1】(2022·湖北武汉·高二期末)设a=，b=ln1.04，c=e-1，则下列关系正确的是()104A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.c>b>a【答案】D【解析】xx分别令fx=e-1-xx>0、gx=ln1+x-xx>0、hx=ln1+x-x>0，利1+x用导数可求得fx>0，gx<0，hx>0，由此可得大小关系.【详解】xx令fx=e-1-xx>0，则fx=e-1>0，x0.04∴fx在0,+∞上单调递增，∴fx>f0=0，即e-1>x，则e-1>0.04；1x令gx=ln1+x-xx>0，则gx=-1=-<0，1+x1+x∴gx在0,+∞上单调递减，∴gx<g0=0，即ln1+x<x，则ln1.04<0.04；0.04∴e-1>ln1.04，即c>b；x11x令hx=ln1+x-x>0，则hx=-=>0，1+x1+x1+x21+x2x∴hx在0,+∞上的单调递增，∴hx>h0=0，即ln1+x>，1+x0.044则ln1.04>=，即b>a；1.04104综上所述：c>b>a.故选：D.【点睛】 关键点点睛：本题解题关键是能够通过构造函数的方式，将问题转化为函数值的大小关系的比较问题，通过导数求得函数的单调性后，即可得到函数值的大小.9-110【例2】(2022·山东菏泽·高二期末)已知a=，b=e9，c=1+ln，则a，b，c的大小关系为()1011A.a<b<cB.b<a<cC.c<b<aD.c<a<b【答案】B【解析】xx11首先设fx=e-x-1，利用导数得到e>x+1x≠0，从而得到>，设gx=lnx-x+1，ba111利用导数得到lnx<x-1x≠1，从而得到ln<和c>a，即可得到答案.1010【详解】xx解：设fx=e-x-1，fx=e-1，令fx=0，解得x=0.x∈-∞,0，fx<0，fx单调递减，x∈0,+∞，fx>0，fx单调递增.x所以fx≥f0=0，即e-x-1≥0，当且仅当x=0时取等号.x所以e>x+1x≠0.11110111又=e9>+1==，a>0,b>0，故>，所以b<a；b99aba11-x设gx=lnx-x+1，gx=-1=，令gx=0，解得x=1.xxx∈0,1，gx>0，gx单调递增，x∈1,+∞，gx<0，gx单调递减.所以gx≤g1=0，即lnx-x+1≤0，当且仅当x=1时取等号.11111所以lnx<x-1x≠1，故ln<-1=，1010101011011又c-a=ln+>ln+ln=ln1=0，所以c>a，11101110故b<a<c.故选：B.0.01100【例3】(2022·四川凉山·高二期末(文))已知a=e，b=1.01，c=1-ln，则()．101A.c>a>bB.a>c>bC.a>b>cD.b>a>c【答案】C【解析】x构造函数f(x)=e-1-x，由导数确定单调性，进而即得．【详解】xx设f(x)=e-1-x，则f(x)=e-1>0，在x>0时恒成立， 所以f(x)在(0,+∞)上是增函数，xx所以e-1-x>f(0)=0，即e>1+x，x>0，0.01∴e>1.01，又ln1.01>0，ln1.01100∴e>1+ln1.01，即1.01>1-ln，101所以a>b>c．故选：C．817【例4】(2022·四川绵阳·高二期末(理))若a=ln，b=,c=ln，则()786A.a<c<bB.c<a<bC.c<b<aD.b<a<c【答案】D【解析】1构造函数fx=lnx+-1，其中x>1，利用导数分析函数fx的单调性，可比较得出a、b的大小x关系，利用对数函数的单调性可得出c、a的大小关系，即可得出结论.【详解】111x-1构造函数fx=lnx+-1，其中x>1，则fx=-=>0，xxx2x2所以，函数fx在1,+∞上为增函数，故fx>f1=0，88781则f7=ln7+8-1=ln7-8>0，即a>b，78∵ln>ln，因此，b<a<c.67故选：D.3111【例5】(2022·全国·高考真题(理))已知a=,b=cos,c=4sin，则()3244A.c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b【答案】A【解析】c112由=4tan结合三角函数的性质可得c>b；构造函数f(x)=cosx+x-1,x∈(0,+∞)，利用b42导数可得b>a，即可得解.【详解】c1π因为b=4tan4,因为当x∈0,2,sinx<x<tanx11c所以tan>,即>1,所以c>b；44b12设f(x)=cosx+x-1,x∈(0,+∞)，2 f(x)=-sinx+x>0，所以f(x)在(0,+∞)单调递增，1131则f4>f(0)=0,所以cos4-32>0，所以b>a,所以c>b>a，故选：A【题型专练】1.0111.(2022·福建·莆田一中高二期末)设a=ln1.01，b=，c=，则()30e101A.a<b<cB.a<c<bC.c<b<aD.c<a<b【答案】D【解析】构造函数fx=lnx-x+1(x>0)，证明lnx≤x-1，令x=1.01，排除选项A,B,再比较a,b大小，即得解.【详解】11-x解：构造函数fx=lnx-x+1(x>0)，f1=0，fx=-1=，xx所以fx在0,1上fx>0，fx单调递增，fx在1,+∞上fx<0，fx单调递减，所以f(x)max=f(1)=0,∴lnx-x+1≤0,∴lnx≤x-1，x111令x=1.01，则a=lnx，b=，c=1-，考虑到lnx≤x-1，可得ln≤-1，-lnx≥1-30exxx1等号当且仅当x=1时取到，故x=1.01时a>c，排除选项A，B.x1.01下面比较a,b大小，由lnx≤x-1得ln1.01<1.01<，故b>a，所以c<a<b.30e故选：D.14912.(2022·吉林·长春市第二中学高二期末)已知a=cos，b=，c=5sin，则()5505A.b>a>cB.c>b>aC.b>c>aD.c>a>b【答案】D【解析】12构造函数f(x)=cosx+x-1，利用导数求解函数f(x)的单调性，利用单调性进行求解.2【详解】12解：设f(x)=cosx+x-1,(0<x<1)，则f(x)=x-sinx，2设g(x)=x-sinx,(0<x<1)，则g(x)=1-cosx>0，故g(x)在区间(0,1)上单调递增，即g(x)>g(0)=0，即f(x)>0，故f(x)在区间(0,1)上单调递增， 1149所以f5>f(0)=0，可得cos5>50，故a>b，π利用三角函数线可得x∈0,2时，tanx>x，1sin1151所以tan>，即>，5515cos511所以5sin>cos，故c>a55综上，c>a>b故选：D.40.043.(2022·湖北武汉·高二期末)设a=，b=ln1.04，c=e-1，则下列关系正确的是()104A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.c>b>a【答案】D【解析】xx分别令fx=e-1-xx>0、gx=ln1+x-xx>0、hx=ln1+x-x>0，利1+x用导数可求得fx>0，gx<0，hx>0，由此可得大小关系.【详解】xx令fx=e-1-xx>0，则fx=e-1>0，x0.04∴fx在0,+∞上单调递增，∴fx>f0=0，即e-1>x，则e-1>0.04；1x令gx=ln1+x-xx>0，则gx=-1=-<0，1+x1+x∴gx在0,+∞上单调递减，∴gx<g0=0，即ln1+x<x，则ln1.04<0.04；0.04∴e-1>ln1.04，即c>b；x11x令hx=ln1+x-x>0，则hx=-=>0，1+x1+x1+x21+x2x∴hx在0,+∞上的单调递增，∴hx>h0=0，即ln1+x>，1+x0.044则ln1.04>=，即b>a；1.04104综上所述：c>b>a.故选：D.题型三：构造其它函数比大小(研究给出数据结构，合理构造函数)11c1【例1】(2022·河南河南·高二期末(理))已知a-=ln2a，b-=ln3b，c-e=ln，其中a≠，b23e21≠，c≠e，则a，b，c的大小关系为()．3A.c<a<bB.c<b<aC.a<b<cD.a<c<b 【答案】A【解析】构造函数fx=x-lnxx>0，并求fx，利用函数fx的图象去比较a、b、c三者之间的大小顺序即可解决.【详解】1111将题目中等式整理，得a-lna=-ln，b-lnb=-ln，c-2233lnc=e-lne，1x-1构造函数fx=x-lnxx>0，fx=1-=，xx令fx=0，得x=1，所以fx在0,1上单调递减，在1,+∞上单调递增，函数fx的大致图象如图所示．1111因为fa=f2，fb=f3，fc=fe，且a≠2，b≠3，c≠e，则由图可知b>a>1，0<c<1，所以c<a<b．故选：A．1.013【例2】(2022·重庆市万州第二高级中学高二阶段练习)设a=e，b=，c=ln3，其中e为自然对数的e底数，则a，b，c的大小关系是()A.b>a>cB.c>a>bC.a>c>bD.a>b>c【答案】D【解析】1.013x可判断a=e>2，b=<2，c=ln3<2，再令f(x)=lnx-，x∈[e，+∞)，求导判断函数的单ee调性，从而比较大小．【详解】1.013解：a=e>2，b=<2，c=ln3<2，ex令f(x)=lnx-，x∈[e，+∞)，e11e-xf(x)=-=<0，xeex故f(x)在[e，+∞)上是减函数，故f3<fe，3即ln3-<0，e31.01故ln3<<e，即c<b<a，e故选：D． ln31ln4【例3】(2022·全国·高三专题练习)已知a=，b=，c=，则a，b，c的大小关系是()2e-13A.b>a>cB.b>c>aC.c>a>bD.c>b>a【答案】A【解析】lnx根据给定条件构造函数f(x)=(x≥e)，再探讨其单调性并借助单调性判断作答.x-1【详解】11-lnx-lnxx11-x令函数f(x)=(x≥e)，求导得f(x)=，令gx=1-lnx-，则gx=x-1x-12xx211<0,(x≥e)，故gx=1-lnx-，(x≥e)单调递减，又g1=1-ln1-=0，故gx<0,(x≥x11ln3ln4e)，即f(x)<0,(x≥e)，而e<3<4，则f(e)>f(3)>f(4)，即>>，所以b>a>c，e-123故选：A1-9【例4】(山东省淄博市2021-2022学年高二下学期期末数学试题)设a=，b=ln1.1，c=e10，则10()A.a<b<cB.c<a<bC.b<c<aD.b<a<c【答案】D【解析】利用指数函数的性质可比较a,c的大小，再构造函数f(x)=x-ln(1+x)，利用导数判断函数的单调性，再利用其单调性可比较出a,b，从而可比较出三个数的大小【详解】x9因为y=e在R上为增函数，且-1<-，10-9所以e-1<e10，1-11-9因为<e，所以<e10，即a<c，10101x令f(x)=x-ln(1+x)(x>0)，得f(x)=1-=>0，1+x1+x所以f(x)在(0,+∞)上递增，所以f(x)>f(0)=0，所以x>ln(1+x)，1令x=0.1，则0.1>ln1.1，即>ln1.1，即a>b，10所以b<a<c，故选：D0.011【例5】(2022·四川南充·高二期末(理))设a=0.01e，b=，c=-ln0.99，则()99 A.c<a<bB.c<b<aC.a<b<cD.a<c<b【答案】A【解析】根据给定数的特征，构造对应的函数，借助导数探讨单调性比较函数值大小作答.【详解】xx令函数y=xe,t=,u=-ln(1-x)，x∈(0,2-1)，1-x显然y>0,t>0，则lny-lnt=lnx+x-[lnx-ln(1-x)]=x+ln(1-x)，令f(x)=x+ln(1-x)，x∈(0,2-1)，1x求导得f(x)=1+=<0，即f(x)在(0,2-1)上单调递减，x-1x-1∀x∈(0,2-1)，f(x)<f(0)=0，即lny<lnt⇔y<t，xx因此当x∈(0,2-1)时，xe<，1-x0.010.011取x=0.01，则有a=0.01e<==b，1-0.01992xxx1(x-1)e+1令g(x)=y-u=xe+ln(1-x)，x∈(0,2-1)，g(x)=(x+1)e+=，x-1x-12x2x令h(x)=(x-1)e+1，x∈(0,2-1)，h(x)=(x+2x-1)e<0，h(x)在(0,2-1)上单调递减，∀x∈(0,2-1)，h(x)<h(0)=0，有g(x)>0，则g(x)在(0,2-1)上单调递增，x∀x∈(0,2-1)，g(x)>g(0)=0，因此当x∈(0,2-1)时，xe>-ln(1-x)，0.01取x=0.01，则有a=0.01e>-ln(1-0.01)=-ln0.99=c，所以c<a<b.故选：A【点睛】思路点睛：涉及某些数或式大小比较，探求它们的共同特性，构造符合条件的函数，利用函数的单调性求解即可.0.30.9【例6】(2022·全国·高三专题练习)已知a=，b=，c=sin0.1，则a，b，c的大小关系正确的是ππ2()A.a>b>cB.c>a>bC.a>c>bD.b>a>c【答案】B【解析】作差法比较出a>b，构造函数，利用函数单调性比较出c>a，从而得出c>a>b.【详解】 0.30.90.3π-0.90.3×3-0.9a-b=-=>=0，所以a-b>0，故a>b，又fx=πsinx-3x，ππ2π2π2ππ3π则fx=πcosx-3在x∈0,6上单调递减，又f0=π-3>0，f6=2-3<0，所以存ππ在x0∈0,6，使得fx0=0，且在x∈0,x0时，fx>0，在x∈x0,6时，fx<0，即fx=ππ6+2πsinx-3x在x∈0,x0上单调递增，在x∈x0,6单调递减，且f12=4π-3>0，所以π1π1x0>，又因为f0=0，所以当x∈0,x0时，fx=πsinx-3x>0，其中因为<，所以1210121010.3∈0,x0，所以f10=πsin0.1-0.3>0，故sin0.1>π，即c>a>b.故选：B1098【例7】(2022·河南洛阳·三模(理))已知a=8，b=9，c=10，则a，b，c的大小关系为()A.b>c>aB.b>a>cC.a>c>bD.a>b>c【答案】D【解析】构造函数fx=18-xlnx，x≥8，求其单调性，从而判断a，b，c的大小关系.【详解】构造fx=18-xlnx，x≥8，18fx=-lnx+-1，x1895525fx=-lnx+-1在8,+∞时为减函数，且f8=-ln8+-1=-ln8<-lne=x4444-2<0，18所以fx=-lnx+-1<0在8,+∞恒成立，x故fx=18-xlnx在8,+∞上单调递减，所以f8>f9>f10，1098即10ln8>9ln9>8ln10，所以8>9>10，即a>b>c.故选：D【点睛】对于指数式，对数式比较大小问题，通常方法是结合函数单调性及中间值比较大小，稍复杂的可能需要构造函数进行比较大小，要结合题目特征，构造合适的函数，通过导函数研究其单调性，比较出大小.0.2【例8】(2022·河南·模拟预测(理))若a=e，b=1.2，c=ln3.2，则a，b，c的大小关系为()A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.c>b>a【答案】B 【解析】x0.21.2构造函数fx=e-x-1x>0，利用导数可得a=e>1.2>b，进而可得e>3.2，可得a>c，2x-1再利用函数gx=lnx-，可得ln3.2>1.1，即得.x+1【详解】xx令fx=e-x-1x>0，则fx=e-1>0，∴fx在0,+∞上单调递增，0.2∴a=e>0.2+1=1.2>1.2=b，0.21.2a=e>1.2=lne，c=ln3.2，1.25665∵e=e>2.7≈387.4,3.2≈335.5，1.2∴e>3.2，故a>c，22x-112x+1-2xx-1设gx=lnx-，则gx=-=≥0，x+1xx+12xx+12所以函数在0,+∞上单调递增，2x-1由g1=0，所以x>1时，gx>0，即lnx>，x+122-121.6-155∴ln3.2=ln2+ln1.6>+=1>1=1.1，2+11.6+13950又1<1.2<1.21,1<b=1.2<1.1，∴c>1.1>b，故a>c>b.故选：B.【点睛】2x-1x本题解题关键是构造了两个不等式e>x+1x>0与lnx>(x>1)进行放缩，需要学生x+1对一些重要不等式的积累.【题型专练】91.(2022·山东烟台·高二期末)设a=0.9，b=0.9，c=ln10e，则a，b，c的大小关系为()A.b>c>aB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b【答案】B【解析】构造函数f(x)=x-lnx-1，g(x)=x-x，利用导数研究其单调性，再由单调性可比较大小.【详解】1x-1令f(x)=x-lnx-1，因为f(x)=1-=xx所以，当0<x<1时，f(x)<0，f(x)单调递减， 9所以f(0.9)=0.9-ln0.9-1>f(1)=0，即0.9>ln0.9+1=ln10e，a>c；12x-1令g(x)=x-x，因为g(x)=1-=2x2x1所以，当<x<1时，g(x)>0，g(x)单调递增，4所以g(0.9)<g(1)，即0.9-0.9<0，0.9<0.9，即a<b.综上，c<a<b.故选：Bππ1π2.(2022·山东青岛·高二期末)已知a=ln3，b=23-2，c=sin0.04-23-1，则a，b，c的大小关系是()A.c>b>aB.a>b>cC.b>a>cD.a>c>b【答案】C【解析】构造函数得出a,b大小，又c<0即得出结论.【详解】π构造函数fx=2lnx-2x-1=2lnx-x+1，则a-b=f，31πfx=2x-1<0在1,+∞上恒成立，则y=fx在1,+∞上单调递减，故a-b=f3<f1=0，则b>a>0，ππ-30.12=1+xx>0，则1+x-1=>=0.04，333ππ由对于函数gx=sinx-x0<x<2，gx=cosx-1<0,0<x<2恒成立，π所以，gx=sinx-x<g0=0即sinx<x在0,2上恒成立.11111所以，sin0.04-21+x-1<sinx-21+x-1=sinx-2x<x-2x=xx-2<0(注：0.04<x<0.09,0.2<x<0.3<0.5)所以，b>a>c故选：C322333.(2022·湖北襄阳·高二期末)设a=e5，b=e4，c=，则()455A.b<c<aB.a<b<cC.c<b<aD.c<a<b【答案】C【解析】xe23根据式子结构，构造函数fx=x,0<x<1，利用导数判断单调性，得到f5>f4，即可判 x断出a>b.记gx=e-2x,0<x<1，推理判断出b>c.【详解】2e5322e5a45==.b233e4e4534xexx-1xee记fx=,0<x<1，则fx=<0，所以fx=在0,1上单调递减.xx2x23所以f5>f4，所以a>b.233233b-c=e4-=e4-2×.5554xx记gx=e-2x,0<x<1，则gx=e-2.所以在x∈0,ln2上，gx<0，则gx单调递减；在x∈ln2,1上，gx>0，则gx单调递增；ln2所以gxmin=gln2=e-2×ln2=21-ln2>0，3233所以g>gx>0，即b-c=e4-2×>0.4min54所以b>c.综上所述：c<b<a.故选：Cab4.(2022·福建宁德·高二期末)已知a，b∈R，且2>2>1，则()abba-bA.e-e<lna-lnbB.blna<alnbC.>easina-sinbD.<1a-b【答案】D【解析】xlnxx由题设有a>b>0，分别构造y=e-lnx、y=、y=xe、y=x-sinx，利用导数研究在x∈(0x,+∞)上的单调性，进而判断各项的正误.【详解】ab由2>2>1，即a>b>0，xx1A：若y=e-lnx且x∈(0,+∞)，则y=e-，x1故yx=1=e-2<0，yx=1=e-1>0，即y在2,1上存在零点且y在(0,+∞)上递增，2ab所以y在(0,+∞)上不单调，则e-lna<e-lnb不一定成立，排除；lnx1-lnxB：若y=且x∈(0,+∞)，则y=，xx2 所以(0,e)上y>0，y递增；(e,+∞)上y<0，y递减；lnalnb故y在(0,+∞)上不单调，则<不一定成立，排除；abxxC：若y=xe且x∈(0,+∞)，则y=e(x+1)>0，即y在(0,+∞)上递增，abba-b所以ae>be，即<e，排除；aD：若y=x-sinx且x∈(0,+∞)，则y=1-cosx≥0，即y在(0,+∞)上递增，sina-sinb所以a-sina>b-sinb，即<1，正确.a-b故选：D1.0135.(2022·贵州贵阳·高二期末(理))设a=e，b=，c=ln3，则a，b，c的大小关系是()eA.b>a>cB.c>a>bC.a>c>bD.a>b>c【答案】D【解析】x分析可得a>2，b∈(1,2)，c∈(1,2)，令f(x)=lnx-,x∈[e,+∞)，利用导数可得f(x)的单调性，e3根据函数单调性，可比较ln3和的大小，即可得答案.e【详解】1.0113由题意得a=e>e>2，b=∈(1,2)，c=ln3∈(1,2)，ex令f(x)=lnx-,x∈[e,+∞)，e11e-x则f(x)=-=≤0，所以f(x)在[e,+∞)为减函数，xexe3e所以f(3)<f(e)，即ln3-<lne-=0，ee31.013所以ln3<，则e>>ln3，即a>b>c.ee故选：D60.216.(2022·重庆南开中学高二期末)已知a=ln1.2，b=0.2e，c=，则()53A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b【答案】A【解析】0.20.20.2xb=0.2e=elne，令fx=xlnx，利用导数求出函数fx的单调区间，令gx=e-x-1，利用0.2导数求出函数gx的单调区间，从而可得出e和1.2的大小，从而可得出a,b的大小关系，将b,c两边同时取对数，然后作差，从而可得出b,c的大小关系，即可得出结论.【详解】 0.20.20.26解：b=0.2e=elne，a=ln1.2=1.2ln1.2，5令fx=xlnx，则fx=lnx+1，11当0<x<时，fx<0，当x>时，fx>0，ee11所以函数fx在0,e上递减，在e,+∞上递增，xx令gx=e-x-1，则gx=e-1，当x<0时，gx<0，当x>0时，gx>0，所以函数gx在-∞,0上递减，在0,+∞上递增，所以g0.2>g0=0，0.21即e>1+0.2=1.2>，e0.2所以fe>f1.2，0.20.2即elne>1.2ln1.2，所以b>a，0.20.211由b=0.2e，得lnb=ln0.2e=+ln，5511由c=，得lnc=ln，3311151lnc-lnb=ln-ln-=ln-，3553555625×5因为3=243>10>e，5151所以>e5，所以ln>，335所以lnc-lnb>0，即lnc>lnb，所以c>b，综上所述a<b<c.故选：A.【点睛】本题考查了比较大小的问题，考查了同构的思想，考查了利用导数求函数的单调区间，解决本题的关键在于构造函数，有一定的难度.21212127.(2022·湖北恩施·高二期末多选)已知a-=2ln2a>0，b--2=2lnb>0，c-=ln3c>4e230，则()A.c<bB.b<aC.c<aD.b<c【答案】AC【解析】221122112211根据题意可将式子变形为a-lna=-ln，b-lnb=-ln，c-lnc=-ln，构造函44e2e233 数fx=x-lnx，利用导数求解函数fx的单调性，即可求解.【详解】1212211221解：由题意知，a>,b>1,c>，对三个式子变形可得a-lna=-ln，b-lnb=-2344e212211ln，c-lnc=-ln，e2331x-1设函数fx=x-lnx，则fx=1-=.xx由fx>0，得x>1；由fx<0，得0<x<1,则fx在0,1上单调递减，在1,+∞上单调递增，111222因为0<<<<1，所以b>a>c,所以c<a<b.e243故选：AC.2x3y4z8.(2022·安徽·歙县教研室高二期末)已知x、y、z∈(0，1)，且满足ex=2e，ey=3e，ez=4e，则()A.x<y<zB.x<z<yC.z<y<xD.z<x<y【答案】C【解析】先对已知条件取对数后得到lnx-x=ln2-2，lny-y=ln3-3，lnz-z=ln4-4.根据式子结构，构造函数mx=lnx-x，利用导数判断单调性，比较大小.【详解】2x由ex=2e得2+lnx=ln2+x,即lnx-x=ln2-2.同理得：lny-y=ln3-3，lnz-z=ln4-4.11-x令mx=lnx-x,则mx=-1=.xx故mx在0,1上单调递增，(1，+∞)上单调递减.所以z<y<x.故选：C.