专题2-4 构造函数以及切线（解析版）

专题2-4构造函数以及切线归类目录题型01切线求参1题型02求“过点”型切线方程3题型03“过点”切线求参5题型04“过点”切线条数的判断7题型05由切线条数求参8题型06公切线10题型07特殊构造：幂积型构造12题型08特殊构造：幂商型构造15题型09特殊构造：ex的积型构造16题型10特殊构造：ex的商型构造18题型11特殊构造：对数型构造21题型12特殊构造：正弦型构造23题型13特殊构造：余弦型构造26题型14复合型构造28高考练场30题型01切线求参【解题攻略】求曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程：(1)求出函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数，即曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处切线的斜率．(2)切线方程为：y＝y0＋f′(x0)(x－x0)．1、设切点（或者给出了切点）：P(x0，y0)2、y0=f(x0)3、y＝f′(x)k=f′(x0)4、切线方程：y-y0＝k(x－x0) 【典例1-1】（2023春·重庆·高二校联考期中）若函数的图象在处的切线与直线垂直，则的值为（    ）A．B．2或C．2D．1或【答案】B【分析】由两线垂直可知处切线的斜率为5，利用导数的几何意义有，即可求的值.【详解】由题意知：直线的斜率为，则在处切线的斜率为5，又∵，即，∴，解得或，故选：B．【典例1-2】(山东省烟台市2021-2022学年高三数学试题)已知曲线在点（0，1）处的切线与曲线只有一个公共点，则实数a的值为（       ）A．B．1C．2D．【答案】A【分析】先求出导数，求得切线的斜率，可得切线方程，再由切线与曲线只有一个公共点，进而联立得到的值.【详解】的导数，曲线在处切线斜率，则曲线在处切线方程为，即由于切线与曲线只有一个公共点，联立，得即解得故选:A.【变式1-1】（河南省郑州市2021-2022学年高三考试数学（理科）试题）若曲线在点处的切线与直线平行，则___________.【答案】【分析】令，利用导数的几何意义得出的值.【详解】令， 则所以，，当时，又该函数在点处的切线与直线平行，所以故答案为：【变式1-2】（河南省许昌市2021-2022学年高三数学文科试题）已知曲线在点处的切线方程为，则___________.【答案】【分析】根据导数的几何意义可得，根据切点坐标可得，列方程求解．【详解】，则∵在点处的切线方程为∴可得，解得则故答案为：．【变式1-3】已知函数，函数（且）的图象过定点，若曲线在处的切线经过点，则实数的值为______．【答案】##0.5【分析】先求出（且）所经过的定点的坐标，然后根据导数的几何意义求出在处的切线方程，最后把点的坐标代入切线方程，即可得值．【详解】函数（且）的图象恒过点，因为，则在处的切线的斜率为，又，所以切线方程为，因为切线经过点，所以，解得．故答案为：题型02求“过点”型切线方程【解题攻略】1、设切点（或者给出了切点）：P(x0，y0)2、y0=f(x0)3、y＝f′(x)k=f′(x0)4、切线方程：y-y0＝k(x－x0)5、过（a,b）,代入y-y0＝k(x－x0)，得【典例1-1】（2023下·上海嘉定·高三上海市嘉定区第一中学校考）已知曲线，过点作曲线的切线，则切线方程．【答案】【分析】设切点坐标为，求出切线方程，代入点求出，从而可得切线方程.【详解】设切点坐标为，由，得，所以曲线在点处的切线方程为.因为切线过点，所以，解得. 所以切线方程为.故答案为:.【典例1-2】（2023下·上海浦东新·高三上海市实验学校校考开学考试）已知曲线，过点作曲线的切线，则切线的方程为.【答案】【分析】设切点坐标为，根据切线所过的点得到的方程，解出后可得所求的切线方程.【详解】设切点坐标为，,则切线的斜率，故切线方程为，又因为点在切线上，所以，整理得到，解得，所以切线方程为．故答案为:.【变式1-1】）（云南民族大学附属中学2022届高三高考押题卷二数学（理）试题）函数过原点的切线方程是_______.【答案】.【分析】设切点为，根据导数的几何意义求出函数切点为的切线方程，再根据切线过原点求出，即可得解.【详解】解：设切点为，，则，故切点为的切线方程为，又因此切线过原点，所以，解得，所以函数过原点的切线方程是，即.故答案为：.【变式1-2】（2023春·河北邢台·高三统考）过点作曲线的切线，则该切线的斜率为（    ）A．1B．C．D．【答案】C【分析】设切点为，然后表示出切线方程，再将代入可求出，然后将代入导函数中可求得结果.【详解】设切点为，由，得所以切线方程为，即，将代入得，解得，所以切线的斜率为.故选：C【变式1-3】（（天津市北京师范大学天津附属中学2022-2023学年高三线上检测数学试题））过点作曲线的切线，则切线方程是__________．【答案】【分析】求解导函数，设切点坐标，求解，从而设出切线方程，代入点计算，即可求出答案.【详解】函数定义域为，，设切点为，，所以切线方程为，代入，得，解得：，所以切线方程为，整理得：．故答案为：. 题型03“过点”切线求参【典例1-1】（2023上·辽宁锦州·高三渤海大学附属高级中学校考期中）已知曲线过点处的切线与曲线相切，则【答案】8【分析】设切点，并应用导数几何意义求可得切线为，将切点代入求得得切线方程，再由切线与曲线相切，讨论参数a，联立方程有求参数.【详解】设过点处的切线在曲线上的切点为，而，故切线斜率为，所以切线方程为，故，所以，故切线方程为，又切线与曲线相切，联立方程，得有且仅有一个解，当时上述方程无解；当时，，可得.综上，.故答案为：【典例1-2】（2023下·吉林长春·高二长春市实验中学校考阶段练习）已知函数，过点作与轴平行的直线交函数的图象于点，过点作的切线交轴于点，则面积的最小值.【答案】【分析】求出的导数，令x＝a，求得P的坐标，可得切线的斜率，运用点斜式方程可得切线的方程，令y＝0，可得B的坐标，再由三角形的面积公式可得△ABP面积S，求出导数，利用导数求最值，即可得到所求值．【详解】函的导数为，由题意可令，解得，可得，即有切线的斜率为，切线的方程为,令，可得，即，在直角三角形PAB中，，，则△ABP面积为，，，当时，，单调递减；当时，，单调递增，即有处S取得极小值，且为最小值．故答案为：．【变式1-1】（2023·河北保定·统考二模）已知函数，过点且平行于轴的直线与曲线的交点为，曲线过点的切线交轴于点，则面积的最小值为（    ）A．1B．C．D．【答案】D 【分析】由已知求得点坐标，利用导数求出过点的切线方程，再求出点坐标，写出三角形的面积，再由导数求最值得答案．【详解】，把代入，可得，即，则,，由，得，则，曲线过点的切线方程为，取，得．．令，则．则，可得或（舍），时，，函数单调递减，时，，函数单调递增，当时，．故选：D．【变式1-2】（2023上·贵州贵阳·高三贵阳一中校考阶段练习）已知曲线，过点作该曲线的两条切线，切点分别为，则（    ）A．B．C．D．3【答案】D【分析】求得切线方程为，根据题意，转化为关于的方程有两个不同的解，结合二次函数的性质，即可求解.【详解】由函数，可得，设切点坐标为，所以，所以切线方程为，所以，即，因为过点作该曲线的两条切线，所以关于的方程有两个不同的解，即关于的方程有两个不同的解，所以.故选：D.【变式1-3】.直线是曲线的切线，则______.【答案】【分析】设切点坐标为，利用导数写出切线的方程，与直线方程对比，可出关于、的方程，解之即可.【详解】设切点坐标为，其中，对函数求导得，所以，切线斜率为，所以，曲线在处的切线方程为，即，所以，，解得.故答案为：. 题型04“过点”切线条数的判断【解题攻略】”过点型“切线条数判断：1.有几个切点横坐标，就有几条切线。2.切线条数判断，转化为关于切点横坐标的新的函数零点个数判断。【典例1-1】.（湖南省邵阳市武冈市2022-2023学年高三上学期数学试题）已知是奇函数，则过点向曲线可作的切线条数是（   ）A．1B．2C．3D．不确定【答案】C【分析】根据给定条件，求出a，再求出函数的导数，设出切点坐标，借助导数的几何意义列出方程求解作答.【详解】因函数是奇函数，则由得恒成立，则，即有，，设过点向曲线所作切线与曲线相切的切点为，而点不在曲线上，则，整理得，即，解得或，即符合条件的切点有3个，所以过点向曲线可作的切线条数是3.故选：C【典例1-2】已知曲线，则过点可向引切线，其切线条数为（    ）A．B．C．D．【答案】C【分析】设切点为，利用导数求出曲线在切点处的切线方程，再将点的坐标代入切线方程，可得出关于的方程，解出该方程，得出该方程根的个数，即为所求.【详解】设在曲线上的切点为，，则，所以，曲线在点处的切线方程为，将点的坐标代入切线方程得，即，解得，，.因此，过点可向引切线，有三条.故选：C.【变式1-1】（湖南省长沙市长郡中学2021届高三第一次暑假作业检测数学试题）已知函数，过点可作曲线切线的条数为A．0B．1C．2D．3【答案】C【分析】设出切点坐标，根据导数的几何意义及切线所过点求出切点个数，从而可得答案.【详解】设切点为，所以，整理得；令，由，得，当时，为单调递增函数；当时，为单调递减函数；所以；又，，所以有两个不同的根，即切线的条数为2，故选：C. 【变式1-2】（2021-2022学年广东省东莞市高三数学A卷）已知函数，则过点（0，0）可作曲线的切线的条数为(   )A．3B．0C．1D．2【答案】D【分析】分析可得不是切点，设切点，根据导数的几何意义，求得切线的斜率k，根据点P和点坐标，可求得切线斜率k，联立即可得答案.【详解】∵点不在函数的图象上，∴点不是切点，设切点为（），由，可得，则切线的斜率，∴，解得或，故切线有2条.故选:D．【变式1-3】（北京市北京理工大学附属中学通州校区2019-2020学年高三年级考试数学试题）已知过点且与曲线相切的直线的条数有（    ）条.A．0B．1C．2D．3【答案】C【分析】设出切点的坐标，然后根据导数的几何意义求出曲线的切线，根据切线过点，结合关于切点横坐标的方程解的个数进行求解即可.【详解】设曲线的切点的坐标为，由，因此该曲线切线的斜率为，所以该曲线切线的方程为：，该切线过点，所以有，解得或，因此过点且与曲线相切的直线的条数有2条.故选：C题型05由切线条数求参【典例1-1】若过点可作出曲线的三条切线，则实数的取值范围是___________【答案】【分析】根据函数切线的求解方法，设切点求切线方程，代入点，根据方程与函数的关系，将问题转化为两个函数求交点问题，利用导数，作图，可得答案.【详解】由已知，曲线，即令，则，设切点为，切线方程的斜率为，所以切线方程为：，将点代入方程得：，整理得，设函数，过点可作出曲线的三条切线，可知两个函数图像与有三个不同的交点，又因为，由，可得或，则当或时，；当时，，所以函数在，上单调递减，在上单调递增，所以函数的极大值为，函数的极小值为， 如图所示，当时，两个函数图像有三个不同的交点．故答案为：．【典例1-2】（福建省福州华侨中学2023届高三上学期第二次考试数学试题）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围为__________．【答案】或.【分析】设切点坐标，根据导数的几何意义得到，再根据曲线有两条过坐标原点的切线得到方程有两个解，让，解不等式即可.【详解】由得，设切点坐标为，则，整理得，因为曲线有两条过坐标原点的切线，所以方程有两个解，故，解得或.故答案为：或.【变式1-1】过点作曲线的切线，若切线有且只有两条，则实数的取值范围是___________.【答案】【分析】利用导数几何意义，求得切线方程，根据该方程过点，且方程有两个根，再构造函数，利用导数研究函数的性质，即得.【详解】因为，则，设切点为()，，所以切线方程为，代入，得，即这个关于的方程有两个解，令()，，故在上单调递增，在上单调递减，所以当时，函数有最大值，，且，，所以.故答案为：.【变式1-2】若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________．【答案】【分析】设出切点横坐标，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于的方程，根据此方程应有两个不同的实数根，求得的取值范围.【详解】∵，∴，设切点为,则,切线斜率,切线方程为：,∵切线过原点，∴,整理得：,∵切线有两条，∴,解得或,∴的取值范围是,故答案为：【变式1-3】（2023·全国·高三专题练习）已知过点作曲线的切线有且仅有两条，则实数a 的取值可能为（    ）A．B．C．D．【答案】D【分析】设切线切点为，后由切线几何意义可得切线方程，代入，可得，则过点作曲线的切线有且仅有两条，等价于关于的方程有两个不同实根，即可得答案.【详解】设切线切点为，因，则切线方程为：，代入，得，因，则.因过点作曲线的切线有且仅有两条，则有且仅有两个不等实根，则或.则符合题意.故选：D题型06公切线【解题攻略】交点处公切线，可以直接参照直线在点处的切线求法设交点（切点）对函数，如果要求它们的图象的公切线，只需分别写出两条切线：) 和再令  ，消去一个变量后，再讨论得到的方程的根的个数即可。但在这里需要注意 x1 和 x2 的范围，例如，若f（x）=lnx，则要求 x1>0 【典例1-1】已知直线是函数与函数的公切线，若是直线与函数相切的切点，则____________．【答案】【分析】求出导函数，，由得切线方程，设图象上的切点为，由导数几何意义得切线方程，两直线重合求得，从而得值．【详解】，，又，所以切线的方程为，即，设直线与相切的切点为，，所以切线方程为，即，所以，解得，所以．故答案为：．【典例1-2】（2023春·高三课时练习）已知直线：既是曲线的切线，又是曲线的切线，则（    ）A．0B．C．0或D．或 【答案】D【分析】本题主要求切线方程，设两个曲线方程的切点，由两条切线均为，通过等量关系可得到的取值.【详解】,,，设切点分别为，则曲线的切线方程为：，化简得，，曲线的切线方程为：，化简得，，，故，解得e或.当e，切线方程为，故.当，切线方程为，故，则.故的取值为或.故选：D【变式1-1】（2023·全国·高三专题练习）若直线是曲线的切线，也是的切线，则（    ）A．B．C．D．【答案】C【分析】设直线与和的切点分别为，，分别求出切点处的直线方程，由已知切线方程，可得方程组，解方程可得切点的横坐标，即可得到的值.【详解】设直线与和的切点分别为，，则切线方程分别为，，，化简得，依题意上述两直线与是同一条直线，所以，，解得，所以．故选：C．【变式1-2】（2022·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）曲线过点的切线也是曲线的切线，则；若此公切线恒在函数的图象上方，则a的取值范围是.【答案】【分析】根据导数的几何意义可求出；将此公切线恒在函数的图象上方，转化为恒成立，再构造函数，利用导数求出最小值即可得解.【详解】由得，设曲线过点的切线的切点为，则切线的斜率为，切线方程为，由于该切线过点，所以，设该切线与曲线切于，因为，所以，所以该切线的斜率为，所以切线方程为，将代入得，得，所以，所以，所以，所以. 由以上可知该公切线方程为，即，若此公切线恒在函数的图象上方，则，即恒成立，令，则，令，得，得，令，得，得或，所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，因为时，，所以当时，取得最小值.所以.【变式1-3】若曲线与曲线存在2条公共切线，则a的值是_________．【答案】【分析】设公切线在上的切点为，在上的切点为，利用导数的几何意义求出对应的切线方程，有，整理得，构造函数，利用导数研究的单调性，结合图像即可得出结果.【详解】设公切线在上的切点为，在上的切点为，则曲线在切点的切线方程的斜率分别为，，对应的切线方程分别为、，即、，所以，得，有，则，整理，得，设，则，，令，令或，所以函数在上单调递减，在和上单调递增，因为两条曲线有2条公共切线，所以函数与图像有两个交点，又，且，如图，所以，解得.故答案为：..题型07特殊构造：幂积型构造 【解题攻略】幂函数积形式构造：1.对于构造2.对于构造【典例1-1】设定义在的函数的导函数为，且满足，则关于x的不等式的解集为（）A．B．C．D．【答案】A【分析】构造函数,再根据题意分析的单调性,再化简可得,再利用函数的单调性与定义域求解即可.解：令,,所以在上单调递增,,即,所以,,所以,故选：A.【典例1-2】已知定义域为的奇函数的导函数为，当时，，若，则的大小关系正确的是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】利用条件构造函数，然后利用导数研究函数的单调性，利用函数的单调性比较大小．【详解】解：根据题意，设，若为奇函数，则，则函数为偶函数，当时，，又由当时，，则，则函数在上为减函数，，（2），，且，则有；故选．【变式1-1】已知定义在R上的偶函数，其导函数为．当时，恒有，若，则不等式的解集为A．B． C．D．【答案】A【分析】根据为偶函数，则也为偶函数，利用导数可以判断在为减函数，则不等式可转化为，解不等式即可得到答案．【详解】解：是定义在R上的偶函数，．时，恒有，又，在为减函数．为偶函数，也为偶函数在为增函数．又，，即，化简得，得．故选A．【变式1-2】.已知奇函数是定义在上的可导函数，其导函数为，当时，有，则不等式的解集为(　　)A．B．C．D．【答案】A【分析】构造新函数，根据条件可得是奇函数，且单调增，将所求不等式化为，即，解得，即【详解】设，因为为上奇函数，所以，即为上奇函数对求导，得，而当时，有故时，，即单调递增，所以在上单调递增不等式，即所以，解得故选A项.【变式1-3】已知奇函数的导函数为，当时，，若，，则的大小关系正确的是A．B．C．D．【答案】D【分析】令，则，根据题意得到时，函数单调递增，求得，再由函数的奇偶性得到，即可作出比较，得到答案．【详解】由题意，令，则，因为当时，，所以当时，， 即当时，，函数单调递增，因为，所以，又由函数为奇函数，所以，所以，所以，故选D．题型08特殊构造：幂商型构造【解题攻略】幂函数商形式构造：1.对于构造2.对于构造【典例1-1】（江西省宜春市奉新县第一中学2019-2020学年高三第一次月考数学试题）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，f′（x）为f（x）的导函数，且满足当x＜0时，有xf′（x）﹣f（x）＜0，则不等式f（x）﹣xf（1）＞0的解集为（）A．（﹣1，0）∪（1，+∞）B．（﹣∞，0）∪（0，1）C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（﹣1，0）∪（0，1）【答案】A【分析】构造函数,则,所以在单调递减,由是奇函数,可得是偶函数,所以在上单调递增,进一步分析出偶函数的单调性在对称区间内单调性相反。故建立不等式组，解不等式组求得结果.【详解】设,则,所以在单调递减,又是奇函数，所以是偶函数，所以在上单调递增，当时,等价于，即,所以，当时，等价于,即，所以.故选:.【典例1-2】（2020届高三1月）》函数在定义域内恒满足，其中为导函数，则（）A．B．C．D．【答案】A【分析】分别构造函数，，，，利用导数研究其单调性即可得出．解：令，，，，恒成立，，，，函数在上单调递增，，即，； 令，，，，恒成立，，函数在上单调递减，，即，，综上可得故选：．【变式1-1】（四川省宜宾市第四中学校2019-2020学年高三考试数学试题）设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集为A．B．C．D．【答案】B【分析】根据得到的单调性，再变形不等式根据单调性求解集.【详解】设，则，所以在上单调递增，又，所以，则有，即.故选B.【变式1-2】（湖北省仙桃市汉江中学2018-2019学年高三试题）已知定义在上的函数的导函数为，若，则不等式的解集为A．B．C．D．【答案】B【分析】不等式的的解集等价于函数图像在下方的部分对应的x的取值集合，那就需要对函数的性质进行研究，将还原为，即，在R上单调递减，且，故当，,即可解得不等式解集.解：令因为所以，故故在R上单调递减，又因为所以，所以当，，即的解集为故选B.【变式1-3】（甘肃省张掖市第二中学2019-2020学年高三4月线上测试数学（理）试卷）已知定义在上的函数满足，其中是函数的导函数若，则实数m的取值范围为　　A．B．C．D．【答案】C【分析】令，，求出函数的导数，根据函数的单调性求出m的范围即可．解：令，，则，，，函数在递减，，，，，即，故，解得：，故，故选C． 题型09特殊构造：ex的积型构造【解题攻略】ex函数积形式构造：1.对于构造2.对于构造【典例1-1】（江西省上饶中学2019-2020学年高三上学期第二次月考数学试题）已知函数是定义在上的可导函数，，且，则不等式的解集为A．B．C．D．【答案】A【分析】根据题设条件构造函数，根据已知不等式分析的单调性，再根据特殊值判断需满足的不等式，即可求出解集.【详解】由可得，设，则，，在上为减函数，又由，可得，.故选A.【典例1-2】（2023春·黑龙江哈尔滨·高三哈师大附中校考阶段练习）已知定义在上的函数的导函数为，且，则不等式的解集为（    ）A．B．C．D．【答案】B【分析】令，求导分析，可得在上单调递减，不等式可等价转化为，根据单调性可得答案．【详解】令，，，在上单调递减，又，，不等式可化为，，故选：B.【变式1-1】（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考）设函数的定义域为R，是其导函数，若，，则不等式的解集是（    ）A．B．C．D．【答案】B【分析】构造函数，由的单调性求解，【详解】构造函数，则，故在R上单调递增，，可化为，故原不等式的解集为，故选：B【变式1-2】（2023春·河南洛阳·高三统考）设是定义在上的函数的导函数，且．若（e为自然对数的底数），则实数a的取值范围为（    ）A．B．C．D．【答案】A 【分析】首先构造函数，利用导数判断函数的单调性，解不等式.【详解】设，，所以函数在上单调递减，若，则，即，所以，得.故选：A【变式1-3】（2022·全国·高三专题练习）已知定义在上的函数的导函数为，满足．当时，．当时，，且，其中是自然对数的底数．则的取值范围为（    ）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据题意，构造函数和，对于，由题意可得，利用导数分析可得在区间上单调递增，进而有，对其变形可得，同理分析的单调性可得，综合即可得答案．【详解】根据题意，设，（），，（）∵，∴，即，∴对于，其导数，∵，，则有在区间上单调递增；所以，即，变形可得；对于，其导数，∵时，，则在区间上单调递减；则有，即，变形可得，综合可得：，即的范围为.故选：B.题型10特殊构造：ex的商型构造【解题攻略】 ex函数商形式构造：1.，2.【典例1-1】定义在上的函数的导函数为，满足：，，且当时，，则不等式的解集为（）A．B．C．D．【答案】A【分析】由给定的不等式构造函数对求导，根据已知条件可判断非得单调性，将所求解不等式转化为有关的不等式，利用单调性脱去即可求解.【详解】令，则可得所以是上的奇函数，，当时，，所以，是上单调递增，所以是上单调递增，因为，由可得即，由是上单调递增，可得解得：，所以不等式的解集为，故选：A.【典例1-2】已知在上的可导函数的导函数为，满足，且为偶函数，，则不等式的解集为A．B．C．D．【答案】A【详解】分析：构造新函数，利用已知不等式确定的单调性，详解：设，则，由已知得，∴是减函数．∵是偶函数，∴的图象关于直线对称，∴，，的解集为，即的解集为．故选A．【变式1-1】已知定义在上的函数的导函数为，且满足，，则不等式的解集为（）A．B．C．D． 【答案】D【分析】由题设，由已知得函数在R上单调递增，且，根据函数的单调性建立不等式可得选项.【详解】由题可设，因为，则，所以函数在R上单调递增，又，不等式可转化为，∴，所以，解得，所以不等式的解集为．故选：D.【变式1-2】设函数f(x)的导函数为，f(0)=1，且,则的解集是A．B．C．D．【答案】B【分析】构造函数，计算，，故为常函数，，代入不等式得到答案.【详解】构造函数，，故.，故为常函数.故，，，，即，解得.故选：.【变式1-3】已知定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集为（　　）A．B．C．D．【答案】C【分析】构造函数，利用导数判断出函数的单调性，将不等式变形为，结合函数的单调性可解出该不等式.【详解】构造函数，则，所以，函数在上单调递减，由，可得，即，解得， 因此，不等式的解集为，故选C.题型11特殊构造：对数型构造【解题攻略】1.2.授课时，可以让学生写出y=ln（kx+b）与y=f(x)的加、减、乘、除各种结果【典例1-1】（2023·江西宜春·校联考模拟预测）已知函数满足（其中是的导数），若，，，则下列选项中正确的是（    ）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据已知条件构造函数，利用导数法求函数的单调性及指数函数的单调性，结合不等式的性质即可求解.【详解】由，得，令，，则，所以在上恒成立，所以在上为减函数，因为，且在上单调性递增；所以，所以，所以，所以，即．故选：A.【典例1-2】（2022·全国·高三专题练习）设函数是奇函数的导函数，时，，则使得成立的的取值范围是（    ）A．B．C．D．【答案】A【分析】令，，根据已知条件可得当时，单调递减，且，根据单调性和奇偶性可得时，；当时，，再分情况讨论即可求解.【详解】令，，则对于恒成立，所以当时，单调递减，又因为，所以当时，；此时，所以；当时，，此时，所以；又因为是奇函数，所以时，；当时，； 因为，所以当时，，解得；①当时，，解得；②综合①②得成立的的取值范围为，故选：A.【变式1-1】（2020上·河南·高三校联考阶段练习）已知函数是奇函数的导函数，且满足时，，则的解集为（    ）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据题意，构造函数，，利用的导数与函数单调性的关系分析可得在上为减函数，分析的特殊值，结合函数的单调性分析可得在区间和上，都有，结合函数的奇偶性进而将不等式变形转化求出不等式的解集即可．【详解】设，，可知函数在时单调递减，又，可知函数在大于零，且，可知，同理在上，，可知函数在和均有，又为奇函数，则在区间和上，都有，由得或，可知不等式的解集为．故选C．【变式1-2】（2023上·河南周口·高三校联考阶段练习）已知函数的定义域为，导函数为，不等式恒成立，且，则不等式的解集为（    ）A．B．C．D．【答案】A【分析】设，，则由题意可知，设，，则有，不等式等价于，利用单调性求解即可.【详解】设，，不等式恒成立，可知，设，，则，，且，于是在上单调递增，注意到，不等式，等价于，即，得，解出.故选：A．【变式1-3】（2022·广东梅州·统考二模）已知是定义在上的奇函数，是的导函数，当时，，且，则不等式的解集是（    ）A．B．C．D．【答案】B【分析】令，根据题意可得函数在上递增，从而可得出函数在上的符号分布，从而可得函数在上的符号分布，再结合是定义在上的奇函数，即可得出函数在上的符号分布，从而可得出答案.【详解】令，则，所以函数在上递增， 又因，所以当时，，当时，，又因当时，，当时，，所以当时，，当时，，又因为，所以当时，，因为是定义在上的奇函数，所以，当时，，由不等式，得或，解得，所以不等式的解集是.故选：B.题型12特殊构造：正弦型构造【解题攻略】三角函数形式构造：1.，2.3.对于正切型，可以通分（或者去分母）构造正弦或者余弦积商型【典例1-1】（2023春·四川成都·高三阶段练习）记函数的导函数为，若为奇函数，且当时恒有成立，则（    ）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据，构造函数，利用其单调性结合奇函数性质比较.【详解】令，则，当时恒有，所以，则在上单调递增，所以，则，即，选项A错误；，则，即，选项B正确；，则，又为奇函数，所以，选项C错误；由得，选项D错误；故选：B 【典例1-2】（2021·贵州遵义·高三遵义航天高级中学阶段练习）已知定义在上的函数，为其导函数，且恒成立，则A．B．C．D．【答案】C【详解】令,则,所以在上单调递增,因此,,所以选C.【变式1-1】（2023春·重庆·高三统考）设是函数的导函数，当时，，则（    ）A．B．C．D．【答案】B【分析】利用三角函数公式化简已知，再构造函数，利用函数单调性依次判断选项.【详解】，设在单调递增，，所以A错误；，所以，所以B正确；，所以C错误；，，所以D错误.故选：B 【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）已知可导函数是定义在上的奇函数．当时，，则不等式的解集为（    ）A．B．C．D．【答案】D【分析】构造函数，并依据函数的单调性去求解不等式的解集.【详解】当时，，则则函数在上单调递增，又可导函数是定义在上的奇函数则是上的偶函数，且在单调递减，由，可得，则，则时，不等式可化为又由函数在上单调递增，且，，则有，解之得故选：D【变式1-3】（2021下·江西·高三校联考）已知是定义域为的奇函数的导函数，当时，都有，，则不等式的解集为（      ）A．B．C．D．【答案】D【分析】依题意可构造函数，由条件可知，是偶函数，且在区间上是增函数，在区间是减函数，再根据，即可由单调性解出不等式．【详解】因为是奇函数，所以是偶函数．设，∴当时，，∴在区间上是增函数，∴在区间是减函数，∵． 当时，不等式等价于，当时，不等式等价于，∴原不等式的解集为．故选：D．题型13特殊构造：余弦型构造【解题攻略】三角函数形式构造：1.，2.3.对于正切型，可以通分（或者去分母）构造正弦或者余弦积商型【典例1-1】（2020下·安徽六安·高二六安一中校考期中）设奇函数的定义域为，且的图象是连续不间断，，有，若，则的取值范围是（    ）．A．B．C．D．【答案】D【分析】构造函数，先研究函数的奇偶性，再利用导数研究函数的单调性，然后将转化为，即，最后求出的取值范围即可.【详解】令，，因为为奇函数，所以，则函数是定义在上的奇函数，则，因为当时，，所以，则函数在上单调递减，则函数在上是奇函数且单调递减，又因为等价于，即，所以，且，所以.故选：D.【典例1-2】（2020下·湖南长沙·高二湖南师大附中校考期末）已知奇函数的定义域为，其导函数为，当时，有成立，则关于的不等式的解集为（    ） A．B．C．D．【答案】A【分析】设，由已知可得在上单调递增，且，而等价于，从而可求出结果【详解】设，则，因为当时，有成立，所以当时，，所以在上单调递增，因为为奇函数，所以，所以为奇函数，所以在上单调递增，且，所以等价于，即，所以，所以得所以不等式的解集为．故选：A【变式1-1】（2020下·广西桂林·高二校考阶段练习）函数定义在上，是它的导函数，且在定义域内恒成立，则（    ）A．B．C．D．【答案】D【分析】构造函数，利用所给不等式判断的符号推出的单调性，利用的单调性即可比较函数值的大小.【详解】因为，所以，由可得，即，令，则，所以函数在上为减函数，则，则， 所以.故选：D【变式1-2】（2020下·内蒙古巴彦淖尔·高二校考阶段练习）已知函数是定义在R上的奇函数，且对于任意的，都有(其中是函数的导函数)，则下列不等式成立的是A．B．C．D．【答案】B【分析】令，求出函数的导数，根据函数的单调性判断即可．【详解】解：因为是定义在上的奇函数，由函数对于任意的满足，令，则为奇函数；故，故在单调递增，又是奇函数，所以在上单调递增，，可得，故B正确；故选：B．【变式1-3】（2021下·江苏·高二期中）已知函数的定义域为，其导函数是.有，则关于x的不等式的解集为（    ）A．B．C．D．【答案】B【分析】令，根据题设条件，求得，得到函数在内的单调递减函数，再把不等式化为，结合单调性和定义域，即可求解.【详解】由题意，函数满足，令，则函数是定义域内的单调递减函数，由于，关于的不等式可化为，即，所以且，解得，不等式的解集为.故选：B 题型14复合型构造【典例1-1】已知定义在上的函数关于轴对称，其导函数为，当时，不等式.若对，不等式恒成立，则正整数的最大值为A．B．C．D．【答案】B【分析】构造函数，求出，由题可得是在上的奇函数且在上为单调递增函数，将转化成，利用在上为单调递增函数可得：恒成立，利用导数求得，解不等式可得，问题得解．【详解】因为，所以，令，则，又因为是在上的偶函数，所以是在上的奇函数，所以是在上的单调递增函数，又因为，可化为，即，又因为是在上的单调递增函数，所以恒成立，令，则，因为，所以在单调递减，在上单调递增，所以，则，所以.所以正整数的最大值为2.故选B【典例1-2】定义在上的偶函数的导函数为，若对任意的实数，都有恒成立，则使成立的实数的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】B【分析】由题意构造函数，结合函数的单调性和函数的奇偶性求解实数的取值范围即可.【详解】是上的偶函数，则函数也是上的偶函数，对任意的实数，都有恒成立，则.当时，，当时，，即偶函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，不等式即，据此可知，则或.即实数的取值范围为.本题选择B选项.【变式1-1】设函数时定义在上的奇函数，记其导函数为当时，恒成立，则关于的不等式的解集为A．B．C．D．【答案】A【详解】分析：根据题意，构造函数，结合题意对其求导可得在上为增函数，由函数时定义在上的奇函数可得在上为增函数，将不等式 变形可得，进而分析可得，解可得x的取值范围，即可得到答案.详解：根据题意，构造函数，其导数，又由时，，则，函数在上为增函数，由函数时定义在上的奇函数，可得在上为增函数，不等式变形可得，可得，解得，即该不等式的解集为.故选：A.【变式1-2】（2022·全国·高三专题练习）函数定义域为R，导函数为，满足下列条件：①任意，恒成立，②时，恒成立，则关于t的不等式：的解集为（    ）A．B．C．D．【答案】A【分析】设函数，利用已知条件判断函数的单调性及对称性，根据所得结论化简不等式求其解集.【详解】设函数，则，又时，恒成立，所以当时，，所以函数在单调递增，又因为任意，恒成立，所以，所以，所以函数的图象关于对称，因为可化为，所以，所以所以，所以，所以不等式：的解集为，故选：A.【变式1-3】已知函数，其中为自然对数的底数.若是的导函数，函数在区间内有两个零点，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由，得，所以，又＝，令，则，，所以，所以：（1）若时，则，函数在内单调递减，故在内至多有一个零点；（2）若时，则，函数在内单调递增，故在内至多有一个零点；（3）若时，当时，，当时，，所以函数在上递减，在上递增，所以＝．令＝（），则，当时，，为增函数，当时，，为减函数，所以，即恒成立，所以函数在内有两个零点，则 ，解得．综上所述的取值范围为，故选A．高考练场1.（湖南省永州市2022届高三下学期第三次适应性考试数学试题已知直线:，函数，若存在切线与关于直线对称，则__________．【答案】【分析】先求与关于直线对称的直线，再利用切点是切线与曲线的公共点以及导数的几何意义即可求解【详解】在直线：上取两点，点，关于对称的点分别为，点关于直线对称的点为）设直线关于直线对称的直线为，则过点，则，直线的方程为，即由得,因为函数存在切线与关于直线对称，即存在切线方程为设切点为，则解得故答案为：2.过点作曲线的两条切线，则这两条切线的斜率之和为______.【答案】【分析】考虑与时，设出切点坐标，求出相应的切线方程，将代入，得到相应的斜率，相加得到答案.【详解】时，，设切点，则，切线过，，，时，，切点，，切线过，，，故.故答案为：.3.（2022·全国·高三专题练习）过曲线上一点且与曲线在点处的切线垂直的直线的方程为A．B．C．D．【答案】A【分析】根据导数的几何意义，可得切线斜率k，进而可得所求直线斜率，代入点斜式方程，整理即可得答案.【详解】由题意得，所以在点处切线斜率， 则所求直线斜率，所以直线方程为，整理得.故选：A4.（2023春·陕西宝鸡·高三统考）若过点可作曲线的两条切线，则点可以是（    ）A．B．C．D．【答案】D【分析】设切点的坐标为，求得切线方程为，把点代入得，根据题意得到有两个不等的实根，结合，得到，根据选项逐项验证，即可求解.【详解】由函数，可得，设切点的坐标为，则在切点处的切线方程为，把点代入，可得，整理得，因为过点可作曲线的两条切线，则方程有两个不等的实根，所以，即，分别把点代入验证，可得只有满足，所以点可以是.故选：D.5.已知直线是曲线与的公切线，则__________.【答案】【分析】分别设两条曲线上的切点，写出切线方程，建立方程组，解出切点，计算.【详解】设曲线上切点，，切线斜率，切线方程，即同理，设曲线上切点，，切线斜率，切线方程，即，所以，解得，所以，，.故答案为：.6.（内蒙古赤峰市、呼伦贝尔市等2022-2023学年高三上学期开学考试数学（文）试题）若直线是曲线与的公切线，则______.【答案】【分析】假设切点坐标，利用导数几何意义分别求得在切点处的切线方程，由切线方程相同可构造方程组求得，即为公切线的斜率. 【详解】设与，分别相切于点，，，，，，切线方程为，，即，，，即，解得：，即.故答案为：.7.（重庆大学城第一中学校2021-2022学年高三下学期第一次月考数学（理）试题）函数是定义在区间上可导函数，其导函数为，且满足，则不等式的解集为A．B．C．D．【答案】B【分析】构造函数，求得的导函数，结合题目所给条件，得到的单调性，由此求得不等式的解集.【详解】构造函数，依题意可知，当时，，故函数在上为增函数.由于，故所求不等式可化为，所以，解得.故选B.8.是定义在非零实数集上的函数，为其导函数，且时，，记,,则（）A．B．C．D．【答案】A【分析】本题可以先设，然后求出的导数，然后可以通过“时，”判断出的单调性，最后通过比较的大小得出答案．【详解】设则有因为时，，所以时，为减函数，因为所以，所以故选A．9.（内蒙古赤峰二中2021-2022学年高三4月月考数学试题）已知定义在上的可导函数满足：，则与的大小关系是 A．B．C．D．不确定【答案】A【详解】令，则，所以函数在上单调递减.因为，所以，选A.点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造.构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造，构造，构造，构造等10.定义在上的函数的导函数为，若，则不等式的解集是A．B．C．D．【答案】D【分析】根据构造出，从而得到在上单调递减；将所求不等式转化为，根据单调性可得，求解得到结果.【详解】由题意得：，即故函数在上单调递减，即即，解得。本题正确选项：11.已知是定义在上的奇函数，是的导函数，且满足:则不等式的解集为（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据给定含导数的不等式构造函数，由此探求出在上恒负，在上恒正，再解给定不等式即可.【详解】令，，则，在上单调递减，而，因此，由得，而，则，由得，而，则，又，于是得在上，，而是上的奇函数，则在上，，由得：或，即或，解得或，所以不等式的解集为.故选：D 12.（贵州省遵义航天高级中学2018届高三第五次模拟考试数学试题）已知定义在上的函数，为其导函数，且恒成立，则A．B．C．D．【答案】C【详解】令,则,所以在上单调递增,因此,,所以选C.13.（2021下·江苏镇江·高三江苏省镇江第一中学校考）已知奇函数的定义域为，且是的导函数，若对任意，都有则满足的的取值范围是（    ）A．B．C．D．【答案】D【分析】构造函数，结合已知条件判断函数的奇偶性与单调性，将变形为，即，利用函数单调性解不等式即可.【详解】设，因为为奇函数，为偶函数，所以为奇函数；因为对任意，都有，而，所以在单调递减，又因为为奇函数，所以在单调递减，当时，，因为，所以，所以 ，所以，故选：D.14.（河北省武邑中学2019届高三下学期第一次质检数学（理）试题）已知函数的导函数为，若，则不等式的解集为A．B．C．D．【答案】D【分析】结合题意构造函数，求导后可得函数在上为增函数，且．然后将不等式变形为，进而根据函数的单调性得到不等式的解集．【详解】设，则，所以函数在上为增函数．又，所以．又不等式等价于，即，解得，所以不等式的解集为．故选D．