新教材2024届高考数学二轮专项分层特训卷三微专题提升练微专题24函数的公切线问题（附解析）

微专题24　函数的公切线问题一、单项选择题1．[2023·湖南长沙模拟]若斜率为1的直线l与曲线y＝ln(x＋a)和圆x2＋y2＝都相切，则实数a的值为(　　)A．－1或2B．0或2C．0D．22．已知函数f(x)＝，g(x)＝alnx，a∈R，若曲线y＝f(x)与y＝g(x)相交，且在交点处有相同的切线，则a的值为(　　)A．B．e2C．eD．2e3．若直线y＝kx＋b是曲线f(x)＝lnx＋2的切线，也是曲线g(x)＝ln(x＋1)的切线，则k－b＝(　　)A．3－ln2B．3＋ln2C．＋lnD．1＋ln24．[2023·河北沧州模拟]已知直线y＝kx＋b与曲线y＝ex＋2和曲线y＝ln(e2x)均相切，则实数k的解的个数为(　　)A．0B．1C．2D．无数二、多项选择题5．若二次函数f(x)＝2x2＋3的图象与曲线C：g(x)＝aex＋3(a>0)存在公切线，则实数a的可能取值为(　　)A．B．C．D．[答题区]题号12345答案三、填空题6．[2023·海南海口模拟]已知函数f(x)＝x3＋lnx的图象在点A(1，f(1))处的切线为l，若l与函数g(x)的图象也相切，切点为B(2，m)，则g(2)＋g′(2)＝________．7．与曲线y＝ex和y＝－都相切的直线方程为________．8．[2023·安徽定远模拟]已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)＝x2－m，g(x)＝6lnx－4x，设曲线y＝f(x)与y＝g(x)在公共点处的切线相同，则实数m＝________．9．[2023·福建厦门模拟]已知函数f(x)＝mx＋lnx，g(x)＝x2－mx，若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)存在公切线，则实数m的最大值为________．10．[2023·湖南长沙模拟]若曲线C1：f(x)＝x2＋a和曲线C2：g(x)＝2lnx恰好存在两条公切线，则实数a的取值范围为________．四、解答题11．已知函数f(x)＝x2－1，函数g(x)＝alnx，其中a≤2.如果曲线y＝f(x)与y＝g(x)在x＝1处具有公共的切线，求a的值及切线方程．解： 12．已知函数f(x)＝1－eln(ax)，g(x)＝(a>0).(1)求函数F(x)＝f(x)－g(x)在(0，＋∞)上的极值；(2)当a＝1时，若直线l既是曲线y＝f(x)又是曲线y＝g(x)的切线，试判断l的条数．解： 微专题24　函数的公切线问题1．解析：设直线l与曲线y＝ln(x＋a)的切点为P(x0，y0)，由y′＝[ln(x＋a)]′＝，则＝1，则x0＝1－a，y0＝0，即切点为P(1－a，0)，所以直线l为y＝x－1＋a，又直线l与圆x2＋y2＝也相切，则有＝，解得a＝2或a＝0.故选B.答案：B2．解析：∵f(x)＝，g(x)＝alnx，∴f′(x)＝，g′(x)＝(x>0)，由已知得＝alnx，＝，解得a＝.故选A.答案：A3．解析：直线y＝kx＋b是曲线y＝lnx＋2的切线，也是曲线y＝ln(x＋1)的切线，则两个切点都在直线y＝kx＋b上，设两个切点分别为(x1，kx1＋b)，(x2，kx2＋b),则两个曲线的导数分别为y′＝，y′＝，由导数的几何意义可知k＝＝，则x1＝x2＋1，且切点在各自曲线上，所以则将x1＝x2＋1代入①可得k(x2＋1)＋b＝ln(x2＋1)＋2，　③③－②可得k＝2，由k＝＝可得x1＝，x2＝－，代入①中可知1＋b＝ln＋2，③所以b＝1＋ln＝1－ln2，所以k－b＝1＋ln2.故选D.答案：D4．解析：根据题意可知，直线y＝kx＋b与曲线y＝ex＋2和曲线y＝ln(e2x)都相切，所以对于曲线y＝ex＋2，则y′＝ex＝k，所以x＝lnk，所以切点A(lnk，k＋2)，对于曲线y＝ln(e2x)，则y′＝＝k(x>0)，所以x＝，切点B(，ln＋2)(k>0)，易知A，B不重合， 因为公切线过A，B两点，所以k＝＝＝，进而可得klnk－lnk－k－1＝0，令g(k)＝klnk－lnk－k－1(k>0)，则g′(k)＝lnk－(k>0)，令φ(k)＝g′(k)＝lnk－(k>0)，则φ′(k)＝＋>0(k>0)所以g′(k)在(0，＋∞)单调递增，因为g′(1)＝－1<0，g′(e)＝1－>0，所以存在k0使得lnk0－＝0，即lnk0＝，所以当0<k<k0时，g′(k)<0，当k>k0时，g′(k)>0，所以g(k)在(0，k0)上单调递减，在(k0，＋∞)上单调递增，k0∈(1，e)，故g(k)min＝g(k0)＝k0lnk0－lnk0－k0－1.又因为lnk0＝，所以g(k)min＝k0·－－k0－1＝－－k0<0，当k＝e2时，g(e2)＝e2lne2－lne2－e2－1＝e2－3>0，因为k0∈(1，e)，g(k0)g(e2)<0，所以在(k0，e2)内存在k1，使得g(k1)＝0，当k＝时，g(k)＝g()＝ln－ln－－1＝－＋1>0，因为k0∈(1，e)，g(k0)g()<0，所以在(，k0)内存在k2，使得g(k2)＝0，综上所述，存在两条斜率分别为k1，k2的直线与曲线y＝ex＋2和曲线y＝ln(e2x)都相切，故选C.答案：C5．解析：由f(x)＝2x2＋3得f′(x)＝4x；由g(x)＝aex＋3得g′(x)＝aex.设公切线与f(x)的图象相切于点(x1，2x＋3)，与g(x)的图象相切于点(x2，aex2＋3)，所以4x1＝aex2＝＝，即2x1＝，可得x1＝0或2x2＝x1＋2，因为4x1＝aex2，a>0，则x1>0，2x2＝x1＋2>2，即x2>1，a＝＝＝，x2>1， 令h(x)＝，x>1，可得h′(x)＝＝，由h′(x)>0，得1<x<2；由h′(x)<0，得x>2；所以h(x)在(1，2)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减，所以h(x)max＝h(2)＝，所以实数a的取值范围.因为e≈2.718，<≈＝，>>1.5，<<1.1，即<，>＝1.35，则>，则AC正确．故选AC.答案：AC6．解析：由题意得f′(x)＝3x2＋，则f(1)＝1，f′(1)＝4，所以切线l的方程为y－1＝4(x－1)，即y＝4x－3.所以m＝4×2－3＝5，则g(2)＝5，g′(2)＝4，g(2)＋g′(2)＝9.答案：97．解析：设直线与曲线y＝ex相切于点(x1，ex1)，因为y′＝ex，所以该直线的方程为y－ex1＝ex1(x－x1)，即y＝ex1x＋ex1(1－x1)，设直线与曲线y＝－相切于点(x2，－)，因为y′＝－，所以该直线的方程为y＋＝－(x－x2)，即y＝－x＋，所以，解得x1＝0，x2＝－2，所以该直线的方程为y＝x＋1.答案：y＝x＋18．解析：依题意设曲线y＝f(x)与y＝g(x)在公共点(x0，y0)处的切线相同．∵f(x)＝x2－m，g(x)＝6lnx－4x，∴f′(x)＝2x，g′(x)＝－4，∴，即，即m＝－6lnx0＋2x0＋3，∵x0>0，∴x0＝1，m＝5.答案：59．解析：f′(x)＝m＋，g′(x)＝2x－m，假设两曲线在同一点(x0，y0)处相切， 则，可得1－lnx0＝x，即x＋lnx0－1＝0，因为函数y＝x2＋lnx－1单调递增，且x＝1时y＝0，所以x0＝1，则m＝，此时两曲线在(1，)处相切，根据曲线的变化趋势，若m继续增大，则两曲线相交于两点，不存在公切线，所以m的最大值为.答案：10．解析：由题意得f′(x)＝2x，g′(x)＝，(x>0)，设与曲线f(x)＝x2＋a相切的切点为(x1，x＋a)，与曲线g(x)＝2lnx相切的切点为(x2，2lnx2)，则切线方程为y＝2x1(x－x1)＋x＋a，即y＝2x1x－x＋a，y＝(x－x2)＋2lnx2，即y＝x＋2lnx2－2，由于两切线为同一直线，所以，得a＝x－2lnx1－2(x1>0).令φ(x)＝x2－2lnx－2(x>0)，则φ′(x)＝2x－＝，当0<x<1时，φ′(x)<0，φ(x)在(0，1)上单调递减，当x>1时，φ′(x)>0，φ(x)在(1，＋∞)上单调递增．即在x＝1处φ(x)取得极小值，也为最小值，且为φ(1)＝－1.又两曲线恰好存在两条公切线，即a＝φ(x)有两解，结合当x→0时，x2趋近于0，lnx趋于负无穷大，故φ(x)趋近于正无穷大，当x→＋∞时，x2趋近于正无穷大，且增加幅度远大于lnx的增加幅度，故φ(x)趋近于正无穷大，由此结合图象可得a的范围是(－1，＋∞).答案：(－1，＋∞) 11．解析：因为函数f(x)＝x2－1，函数g(x)＝alnx，则f′(x)＝2x，g′(x)＝，因为曲线y＝f(x)与y＝g(x)在x＝1处具有公共的切线，则，即，故a＝2，所以f′(1)＝2，故所求切线方程为y＝2(x－1)，即2x－y－2＝0.12．解析：(1)由题知F(x)＝f(x)－g(x)＝1－eln(ax)－，所以F′(x)＝－·a＋＝，令F′(x)＝0，解得x＝.故当x变化时，F(x)，F′(x)的变化情况如下表：xF′(x)＋0－F(x)单调递增极大值单调递减所以当x＝时，F(x)取得极大值，F＝1－2elna，无极小值．(2)f(x)＝1－elnx，f′(x)＝－，g(x)＝，g′(x)＝－，所以曲线y＝f(x)在点(t，1－elnt)处的切线方程为y－(1－elnt)＝－(x－t)，即y＝－x－elnt＋e＋1.同理可得曲线在点处的切线方程为y－＝－(x－b)，即y＝－x＋.若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)有公切线，则由(i)得t＝eb2，代入(ii)得2eln|b|＋－1＝0，所以问题转化为判断关于b的方程2eln|b|＋－1＝0在(－∞，0)∪(0，＋∞)的根的个数．因b≠0，当b>0时，令h(x)＝2elnx＋－1(x>0)，即h′(x)＝－＝，令h′(x)＝0，得x＝.所以当x∈时，h′(x)<0，h(x)单调递减； 当x∈时，h′(x)>0，h(x)单调递增；所以h(x)min＝h＝－1<0.因为h＝－4e＋2e2－1＝2e(e－2)－1>0，h(1)＝1>0，所以h·h<0，h(1)·h<0，所以函数h(x)＝2elnx＋－1(x>0)在(0，＋∞)上有两个零点，即2elnb＋－1＝0在(0，＋∞)上有两个不相等的正实数根；当b<0时，令k(x)＝2eln(－x)＋－1，则k′(x)＝－，显然x∈(－∞，0)时，k′(x)<0，则k(x)在(－∞，0)上单调递减，因为k(－e)＝2e－－1>0，k(－1)＝－3<0，所以k(x)＝2eln(－x)＋－1在(－∞，0)上有唯一一个零点，即方程2eln(－b)＋－1＝0在(－∞，0)上有唯一一个负实数根．所以曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)的公切线l有3条．