新教材2024届高考数学二轮专项分层特训卷三微专题提升练微专题8数列中的奇偶项问题（附解析）

微专题8　数列中的奇、偶项问题一、多项选择题1．已知数列的前n项和为Sn，a1＝1，an＋1＝则下列选项正确的是(　　)A．数列的奇数项构成的数列是等差数列B．数列的偶数项构成的数列是等比数列C．a13＝8191D．S10＝6712．[2023·重庆九龙坡模拟]已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝，设bn＝a2n，记数列{an}的前2n项和为S2n，数列{bn}的前n项和为Tn，则下列结论正确的是(　　)A．a5＝24B．bn＝n·2nC．Tn＝n·2n＋1D．S2n＝(2n－1)2n＋1＋2二、填空题3．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝则数列{an}的前2n项和S2n＝________．4．[2023·辽宁实验中学模拟]已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝3，且an＋1＝，若Sm＝90，则m＝________．5．已知在数列{an}中，a1＝1，a2＝2，an＝则a20＝________．6．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝其中k∈N*，则数列{an}的前2n项和S2n为________．三、解答题7．[2023·广东深圳模拟]已知等差数列{an}满足a3＝10，a5－2a2＝6.(1)求an；(2)数列{bn}满足bn＝，Tn为数列{bn}的前n项和，求T2n.解：8．[2023·辽宁锦州模拟]已知数列{an}满足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝n. (1)求{an}的通项公式；(2)已知cn＝，k∈N*，求数列{cn}的前20项和．解：9．[2023·安徽马鞍山模拟]已知数列{an}，a1＝3，a2＝5，数列{bn}为等比数列，满足bn＋1＝an＋1bn－anbn，且b2，2a4，b5成等差数列．(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；(2)记数列{cn}满足：cn＝，求数列{cn}的前2n项和T2n.解： 10．[2023·新课标Ⅱ卷]已知{an}为等差数列，bn＝.记Sn，Tn分别为数列{an}，{bn}的前n项和，S4＝32，T3＝16.(1)求{an}的通项公式；(2)证明：当n>5时，Tn>Sn.解：微专题8　数列中的奇、偶项问题1．解析：因为a1＝1，an＋1＝所以a2＝1＋(－2)1＝－1，a3＝－1＋23，a4＝－1＋23＋(－2)3＝－1，a5＝－1＋25，a6＝a5＋(－2)5＝－1，a7＝－1＋27，a8＝－1，a9＝－1＋29，a10＝－1，a11＝－1＋211，a12＝－1，a13＝－1＋213＝8191，可以看出：偶数项为常数列，可看作是以1为公比的等比数列，奇数项不是等差数列，S10＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＋a8＋a9＋a10＝1＋(－1)＋(－1＋23)＋(－1)＋(－1＋25)＋(－1)＋(－1＋27)＋(－1)＋(－1＋29)＋(－1)＝1＋9×(－1)＋(23＋25＋27＋29)＝－8＋＝672，故选BC.答案：BC2．解析：对A，a2＝a1＋2＝4，a3＝2a2＝8，a4＝a3＋4＝12，则a5＝2a4＝24，故A正确；对B，由题意，b1＝a2＝4，当n≥2时，bn＝a2n＝a2n－1＋()2n＝2a2n－2＋2n＝2bn－1＋2n，所以－＝1，则是以1为公差，＝2为首项的等差数列．则＝2＋(n－1)＝n＋1，则bn＝(n＋1)·2n，故B错误；对C，Tn＝b1＋b2＋…＋bn，即Tn＝2×21＋3×22＋4×23＋…＋(n＋1)×2n，所以2Tn＝2×22＋3×23＋…＋n×2n＋(n＋1)×2n＋1，两式相减得－Tn＝4＋(22＋23＋…＋2n)－(n＋1)×2n＋1 ＝4＋－(n＋1)×2n＋1＝－n×2n＋1，所以Tn＝n·2n＋1，故C正确；对D，S2n＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)＋(a2＋a4＋…＋a2n)＝[a2－()2]＋[a4－()4]＋…＋[a2n－()2n]＋(a2＋a4＋…＋a2n)＝2(a2＋a4＋…＋a2n)－(2＋22＋…＋2n)＝2(b1＋b2＋…＋bn)－＝2Tn＋2－2n＋1＝2n×2n＋1＋2－2n＋1＝(2n－1)2n＋1＋2，故D正确．故选ACD.答案：ACD3．解析：由题可知，当n为奇数时，an＋1－an＝1，当n为偶数时，an＋1－an＝2，所以an＋2－an＝3，即{an}隔项成等差数列，其中奇数项以a1＝1为首项，以3为公差；偶数项以a2＝2为首项，以3为公差，所以S2n＝S奇＋S偶＝na1＋d＋na2＋d＝n＋×3＋2n＋×3＝3n2.答案：3n24．解析：当a1＝3时，a2＝10，a3＝5，a4＝16，a5＝8，a6＝4，a7＝2，a8＝1，a9＝4，…，则数列{an}从第6项开始，数列为周期为3的周期数列，一个周期三项的和为7.因为S5＝42，所以m>5，由7k≤90－42<7(k＋1)，k∈Z，得k＝6，所以S25＝S5＋6×7＋4＋2＝90，所以m＝25.答案：255．解析：由a3＝a2＋a1＝3，a4＝a3－a2，a5＝a4＋a3，a6＝a5－a4，a7＝a6＋a5，a8＝a7－a6，a9＝a8＋a7，a10＝a9－a8，…，a20＝a19－a18，所以a3＋a4＝a2＋a1＋a3－a2，即a4＝a1，同理得a6＝a3，…，a20＝a17；a3＋a4＋a5＝a2＋a1＋a3－a2＋a3＋a4，即a5＝a3＋a1，同理得a7＝a5＋a3，…，a17＝a15＋a13；综上，a20＝a17＝a15＋a13＝2a13＋a11＝…＝21a3＋13a1＝76.答案：766．解析：由递推公式an＋1＝，得a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝6，a5＝7，a6＝14,即a2k＝2a2k－1，a2k＋1＝a2k＋1＝2a2k－1＋1，∴a2k＋1＋1＝2(a2k－1＋1)，(k∈N*),数列是首项为1＋1＝2，公比q＝2的等比数列，∴a2k－1＋1＝2k，(k∈N*),S2n＝a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a2n－1＋a2n＝3a1＋3a3＋…＋3a2n－1＝3[(a1＋1)＋(a3＋1)＋(a5＋1)＋…＋(a2n－1＋1)－n]＝3×2×－3n＝3·2n＋1－3n－6.答案：3·2n＋1－3n－67．解析：(1)设等差数列{an}的公差为d， 因为a3＝10，a5－2a2＝6.则，解得，所以an＝2＋4(n－1)＝4n－2.(2)由(1)可得bn＝，则T2n＝(b1＋b3＋…＋b2n－1)＋(b2＋b4＋…＋b2n)＝(1＋22＋…＋22n－2)＋[1＋5＋…＋(4n－3)]＝＋＝2n2－n＋，所以T2n＝2n2－n＋.8．解析：(1)当n＝1时，可得a1＝1，当n≥2时，a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝n，a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1＝n－1(n≥2)，上述两式作差可得an＝(n≥2)，因为a1＝1满足an＝，所以{an}的通项公式为an＝.(2)cn＝，k∈N*，所以c1＋c3＋…＋c19＝＝＝10，c2＋c4＋…＋c20＝＋＋…＋＝(－＋－＋…＋－)＝(－)＝.所以数列{cn}的前20项和为.9．解析：(1)由题意，bn＋1＝an＋1bn－anbn，a1＝3，a2＝5，令n＝1得2b1＝b2，又数列{bn}为等比数列，所以bn＋1＝2bn，即数列{bn}为公比为2的等比数列．所以由bn＋1＝an＋1bn－anbn可得2bn＝an＋1bn－anbn即an＋1－an＝2，数列{an}是首项为3，公差为2的等差数列，数列{an}的通项公式：an＝3＋2(n－1)＝2n＋1(n∈N*).由b2，2a4，b5成等差数列，得：b2＋b5＝4a4，2b1＋16b1＝36，b1＝2，有bn＝2n.(2)由(1)知cn＝，数列{cn}的奇数项是首项为3，公差为4的等差数列，偶数项是以首项为4，公比为4的等比数列．T2n＝(a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1)＋(b2＋b4＋b6＋…＋b2n)＝3n＋·4＋＝2n2＋n＋(4n－1). 10．解析：(1)设等差数列{an}的公差为d.因为bn＝，所以b1＝a1－6，b2＝2a2＝2a1＋2d，b3＝a3－6＝a1＋2d－6.因为S4＝32，T3＝16，所以，整理，得，解得，所以{an}的通项公式为an＝2n＋3.(2)证明：由(1)知an＝2n＋3，所以Sn＝＝n2＋4n.当n为奇数时，Tn＝(－1＋14)＋(3＋22)＋(7＋30)＋…＋[(2n－7)＋(4n＋2)]＋2n－3＝[－1＋3＋7＋…＋(2n－7)＋(2n－3)]＋[14＋22＋30＋…＋(4n＋2)]＝＋＝.当n>5时，Tn－Sn＝－(n2＋4n)＝＝>0，所以Tn>Sn.当n为偶数时，Tn＝(－1＋14)＋(3＋22)＋(7＋30)＋…＋[(2n－5)＋(4n＋6)]＝[－1＋3＋7＋…＋(2n－5)]＋[14＋22＋30＋…＋(4n＋6)]＝＋＝.当n>5时，Tn－Sn＝－(n2＋4n)＝＝>0，所以Tn>Sn.综上可知，当n>5时，Tn>Sn.