新教材2024届高考数学二轮专项分层特训卷三微专题提升练微专题4三角形中的最值范围问题（附解析）

微专题4　三角形中的最值、范围问题1．在△ABC中，csinB＝bcosC.(1)求∠C；(2)若a＋b＝6，求c的最小值．解：2．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，·＝，bsinA＝4(sinAcosC＋cosAsinC).(1)求a的长度；(2)求△ABC周长的最大值．解：3．[2023·河北衡水模拟]已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，2(csinC－asinCcosB)－csinB＝0.(1)若ctanC＝btanB，求证：△ABC是等边三角形；(2)已知△ABC的外接圆半径为，求的最大值．解： 4．[2023·山东淄博模拟]如图所示，BD为平面四边形ABCD的对角线，设AB＝1，sin∠ABD＝sin∠ADB，△BCD为等边三角形，记∠BAD＝θ(0<θ<π).(1)当BD＝时，求θ的值；(2)设S为四边形ABCD的面积，用含有θ的关系式表示S，并求S的最大值．解：5．[2023·河北唐山模拟]记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A为钝角，asinB＝bcosB.(1)若C＝，求A；(2)求cosA＋cosB＋cosC的取值范围．解： 6．[2023·安徽合肥模拟]在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知bsin(A＋)＋acos(＋B)＝0.(1)求角A的大小；(2)点D为边BC上一点(不包含端点)，且满足∠ADB＝2∠ACB，求的取值范围．解： 微专题4　三角形中的最值、范围问题1．解析：(1)因为csinB＝bcosC，所以sinCsinB＝sinBcosC，又因为sinB≠0，所以sinC＝cosC，即有tanC＝，又因为C∈(0，π)，所以C＝.(2)因为C＝，a＋b＝6，所以c2＝a2＋b2－2abcosC＝(a＋b)2－2ab－ab＝36－3ab≥36－3×()2＝9，当a＝b＝3时，等号成立，所以c≥3，故c的最小值为3.2．解析：(1)由bsinA＝4(sinAcosC＋cosAsinC)＝4sin(A＋C)＝4sinB，得bsinA＝4sinB，由正弦定理得ab＝4b，得a＝4.(2)由·＝，得bccosA＝，由余弦定理得bc·＝，得b2＋c2＝25，由25＝b2＋c2≥2bc，∴(b＋c)2＝b2＋c2＋2bc＝25＋2bc≤50，∴b＋c≤5(当且仅当b＝c＝时取等号)，所以三角形ABC周长的最大值为4＋5.3．解析：(1)证明：由正弦定理得2(sin2C－sinAcosBsinC)－sinBsinC＝0，又因为C∈(0，π)，∴sinC≠0，∴2sinC－2sinAcosB－sinB＝0，∴2sin(A＋B)－2sinAcosB－sinB＝0，∴2cosAsinB＝sinB，又B∈(0，π)，∴sinB≠0，∴2cosA＝1，即cosA＝，∵A∈(0，π)，∴A＝，由ctanC＝btanB，则c·＝b·，即sin2CcosB－sin2BcosC＝0，∴(1－cos2C)cosB－(1－cos2B)cosC＝0，整理得(1＋cosBcosC)(cosB－cosC)＝0.∵B，C∈(0，π)，∴cosB，cosC∈(－1，1)，∴1＋cosBcosC≠0，则cosB＝cosC，∴B＝C＝＝＝A，∴△ABC为等边三角形．(2)由(1)得A＝，由正弦定理得a＝2RsinA＝×＝2， 由余弦定理得a2＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc，所以(b＋c)2－4＝3bc，所以＝＝＝(b＋c－2)，因为bc≤，所以3bc＝(b＋c)2－4≤，即b＋c≤4，当且仅当b＝c＝2时，等号成立，所以＝(b＋c－2)≤，即的最大值为.4．解析：(1)在△ABD中，因为sin∠ABD＝sin∠ADB，由正弦定理，所以AD＝AB＝，由余弦定理，得cosθ＝＝－，其中0<θ<π，故θ＝.(2)在△ABD中，因为AB＝1，AD＝，∠BAD＝θ，所以由余弦定理可得BD2＝4－2cosθ，因为△BCD为等边三角形，所以S△BCD＝BD2＝(4－2cosθ)＝－cosθ，因为S△ABD＝sinθ，所以四边形ABCD的面积为S＝S△ABD＋S△BCD＝sinθ＋－cosθ＝sin(θ－)＋，因为0<θ<π，所以－<θ－<，故当θ＝时，sin(θ－)取得最大值1，即S的最大值为2.5．解析：(1)由asinB＝bcosB，根据正弦定理得：sinAsinB＝sinBcosB，由于sinB≠0，可知sinA＝cosB，即sinA＝sin(＋B)，因为A为钝角，则B为锐角，即B∈(0，)，则＋B∈(，π)，则A＝＋B，C＝－2B.由A＝＋B，C＝，A＋B＋C＝π，得A＝. (2)cosA＋cosB＋cosC＝cos(＋B)＋cosB＋cos(－2B)＝－sinB＋cosB＋sin2B＝cosB－sinB＋2sinBcosB.因为C＝－2B为锐角，所以0<－2B<，即0<B<，则B＋∈(，)，设t＝cosB－sinB＝cos(B＋)∈(0，1)，则2sinBcosB＝1－t2，cosA＋cosB＋cosC＝t＋1－t2＝－(t－)2＋.因为t∈(0，1)，则(t－)2∈，从而－(t－)2＋∈.由此可知，cosA＋cosB＋cosC的取值范围是.6．解析：(1)由bsin(A＋)＋acos(＋B)＝0，结合正弦定理可得：sinB(sinA＋cosA)－sinAsinB＝0⇒sinB(cosA－sinA)＝0因为B∈(0，π)，所以sinB≠0即cosA＝sinA，所以tanA＝，而A∈(0，π)，所以A＝.(2)由∠ADB＝2∠ACB知∠ACB＝∠CAD，AD＝CD，所以C<A，即C∈(0，).在△ABD中，有B＝－C，∠BAD＝－C，由正弦定理可得：＝＝所以＝＝＝＋·tanC 由C∈(0，)可得tanC∈(0，)，所以∈(，1).