新教材2024届高考数学二轮专项分层特训卷三微专题提升练微专题2与平面向量数量积有关的最值问题（附解析）

微专题2　与平面向量数量积有关的最值问题一、单项选择题　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1．[2023·山东济南历城模拟]已知向量a＝(x＋1，1)，b＝(1，)，若x>0，则a·b的最小值为(　　)A．2B．1＋2C．2＋2D．2－12．已知向量a，b，且|a|＝|b|＝5，|a＋b|＝6，则|ta＋b|(t∈R)的最小值为(　　)A．B．4C．D．3．如图所示，在正方形ABCD中，已知||＝2，若点N为正方形内(含边界)任意一点，则·的最大值是(　　)A．2B．3C．4D．54．[2023·湖北武汉模拟]如图，已知AOB是半径为2，圆心角为的扇形，点E，F分别在OA，OB上，且OA＝3OE，OB＝3OF，点P是圆弧上的动点(包括端点)，则·的最小值为(　　)A．4－B．4＋C．D．5．[2023·福建福州模拟]在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，＝x＋，x∈[0，1]，则·的最小值为(　　)A．－2B．－C．－D．－6．[2023·广东佛山模拟]已知A(－1，0)，B(2，0)，若动点M满足|MB|＝2|MA|，则·的最大值是(　　)A．18B．9C．3D．7．[2023·辽宁抚顺模拟]已知双曲线C：－＝1的焦点分别是F1，F2，点P在双曲线C上，则下列结论正确的是(　　)8．[2023·辽宁沈阳模拟]已知向量b，c和单位向量a满足|a－b|＝2|b|，|c－a|＋|c＋a|＝4，则b·c的最大值为(　　) A．B．C．2D．9．[2023·湖南长沙模拟]已知△ABC是单位圆O的内接三角形，若A＝，则·的最大值为(　　)A．＋1B．2C．2D．1－10．[2023·浙江杭州模拟]已知点P是边长为1的正十二边形A1A2…A12边上任意一点，则A1P·A1A2的最小值为(　　)A．－B．－C．－D．－2二、多项选择题11．如图，在边长为2的正方形ABCD中，P为以A为圆心、AB为半径的圆弧(包含B，D)上的任意一点，且＝x＋y，则下列结论正确的是(　　)A．x＋y的最大值为B．x＋y的最小值为C．·的最大值为4D．·的最小值为4－412．[2023·湖南长郡中学模拟]已知圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝4，恒过点A(1，3)的直线l与圆C交于P，Q两点．下列说法正确的是(　　)A．|PQ|的最小值为2B．·∈[6，8]C．·的最大值为－2D．过点C作直线l的垂线，垂足为点B，则点B的运动轨迹在某个定圆上[答题区]题号123456789101112答案三、填空题13．[2023·云南昆明模拟]已知平面向量a，b满足|a|＝|b|＝1，则|a＋b|的最小值为________．14．已知O是坐标原点，点A(－2，1)，若点M(x，y)为△BCD内一点，其中B(－2，－1)，C(0，－1)，D(－1，0)内的一个动点，则·的最大值为________．15．已知平面向量a，b，c中，|a|＝，|b|＝1，(c－a)·(b－a)＝0且|c－a|＝|b－a|，则|c|的最大值为________．16．[2023·河北石家庄模拟]如图，在边长为2的正方形ABCD中．以C为圆心，1为半径的圆分别交CD，BC于点E，F.当点P在劣弧EF上运动时，·的最小值为________． 微专题2　与平面向量数量积有关的最值问题1．解析：a·b＝x＋1＋≥2＋1＝2＋1，当且仅当x＝时等号成立，则a·b的最小值为1＋2.故选B.答案：B2．解析：由题意，∵|a＋b|＝6，∴a2＋b2＋2a·b＝36，∵|a|＝|b|＝5，∴a·b＝－7，|ta＋b|2＝t2a2＋2ta·b＋b2＝25t2＋2t×(－7)＋25＝25t2－14t＋25，当t＝时，|ta＋b|2取得最小值，∴|ta＋b|的最小值为.故选A.答案：A3．解析：以A为坐标原点建立如图所示的直角坐标系，则A(0，0)，B(2，0)，设N(x，y)，(0≤x≤2，0≤y≤2)，则＝(2，0)，＝(x，y)，·＝2x∈[0，4]，所以·的最大值是4，当N在线段BC上时，都可以取到．故选C.答案：C4．解析： 如图，以O为原点，OA，OB所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系，则A(2，0)，B(0，2)，E(，0)，F(0，)，设P(x，y)，x，y>0，则x2＋y2＝4，所以·＝(－x，－y)·(－x，－y)＝x2－x＋y2－y＝4－(x＋y)，因为x2＋y2＝(x＋y)2－2xy＝4，所以(x＋y)2＝4＋2xy，又x2＋y2≥2xy，则4≥2xy，所以0<xy≤2，当且仅当x＝y＝时等号成立，则(x＋y)2的最大值为8，所以x＋y的最大值为2，即·的最小值为4－.故选A.答案：A5．解析：边长为2的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，如图所示，则||＝||＝2，·＝||·||·cos∠BAD＝2×2×＝2，＝－＝x＋－＝x＋，＝，·＝(x＋)·＝x2＋·＝4x－－x＝，由于x∈[0，1]，所以当x＝0时，·有最小值－.故选B.答案：B6．解析：设M(x，y)，因为|MB|＝2|MA|，所以＝2，化简得(x＋2)2＋y2＝4，方法一　因为＝(x＋1，y)，＝(x－2，y)，所以·＝·＝(x＋1)(x－2)＋y2＝x2－x－2＋y2＝x2－x－2＋4－(x＋2)2＝－5x－2，又－4≤x≤0，所以－2≤－5x－2≤18，即·的最大值为18.方法二　设线段AB的中点为C，则C(，0)，因为·＝|MC|2－(|AB|)2＝|MC|2－，又|MC|max＝－(－2)＋2＝，所以·的最大值为()2－＝18.故选A. 答案：A7．解析：根据题意，F1，F2的坐标为(0，)，(0，－)，设点P的坐标为(x，y)，则x∈R，故·＝(－x，－y)·(－x，－－y)＝x2＋y2－6，又y2＝4(1＋)＝4＋2x2，故·＝x2＋4＋2x2－6＝3x2－2，又x∈R，故当x＝0时，取得最小值－2，且其没有最大值，故·的最小值为－2，无最大值．故选D.答案：D8．解析：设a＝(1，0)，b＝(x，y)，由|a－b|＝2|b|可得(x－1)2＋y2＝4(x2＋y2)，化简可得3x2＋3y2＋2x－1＝0，即(x＋)2＋y2＝.设c＝(x0，y0)，则由|c－a|＋|c＋a|＝4，可得＋＝4，故(x0，y0)的轨迹为以(－1，0)，(1，0)为焦点，2a＝4的椭圆，其方程为＋＝1.设b，c夹角为θ，则b·c＝|b|·|c|cosθ，由圆与椭圆的性质可得，|b|≤＋＝1，|c|≤2，cosθ≤1，故当b，c同向，均与x轴负半轴同向时，b·c取得最大值2.故选C.答案：C 9．解析：由圆O是△ABC的外接圆，且A＝，故OB⊥OC，所以＝－，＝－，则·＝(－)·(－)＝·－·－·＋2＝cos∠AOC－cos∠AOB－cos∠BOC＋1＝cos∠AOC－cos(－∠AOC)＋1＝cos∠AOC＋sin∠AOC＋1＝sin(∠AOC＋)＋1≤＋1，仅当∠AOC＝时等号成立．故选A.答案：A10．解析：延长A10A11，A2A1交于Q，由题意A10A11⊥A2A1，过A12分别作A1Q，A11Q的垂线，垂足为M，N，正十二边形A1A2…A12的每个内角为＝150°，在Rt△A12MA1中，|A1A12|＝1，∠MA1A12＝30°，|A1M|＝|A1A12|cos30°＝，在Rt△A11NA12中，|A11A12|＝1，∠NA11A12＝30°，|QM|＝|A12N|＝|A11A12|sin30°＝，则|A1Q|＝|A1M|＋|QM|＝，∵·＝cosθ，θ为，的夹角，∴数量积·的几何意义：·等于的长度与在的方向上的投影cosθ的乘积，由图可知，当P在线段A10A11上时，·取得最小值， 此时·＝cosθ＝(－|A1Q|)＝－.故选B.答案：B11．解析：分别以AB，AD所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系，则B(2，0)，D(0，2).设P(2cosθ，2sinθ)，θ∈[0，]，则＝(2，0)，＝(0，2)，＝(2cosθ，2sinθ)，＝cosθ＋sinθ，＝(2－2cosθ，－2sinθ)，＝(－2cosθ，2－2sinθ)，由条件知：x＝cosθ，y＝sinθ，x＋y＝sin(θ＋)∈[1，]，故A正确，B错误．·＝4sinθ∈[0，4]，·＝4－4sin(θ＋)∈[4－4，0]，故C，D正确．故选ACD.答案：ACD12.解析：圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝4的圆心为C(2，3)，半径为2，又A(1，3)满足(1－2)2＋(3－3)2＝1<4，所以A(1，3)在圆C内，所以，当AC⊥PQ时，|PQ|取得最小值，如图所示，此时|AC|＝1，|PQ|＝2＝2，所以A选项错误；设B是PQ的中点，·＝·(2)＝2||·||·cos∠P＝2||2＝，由于2≤||≤4，12≤||2≤16，所以·＝∈[6，8]，B选项正确； ·＝||·||·cos∠PCQ＝||·||·＝.由于12≤||2≤16，－8≤8－||2≤－4，所以·＝∈[－4，－2]，所以·的最大值为－2，C选项正确；设B(x，y)，由题||2＝||2＋||2即(2－1)2＋(3－3)2＝(x－1)2＋(y－3)2＋(x－2)2＋(y－3)2→＋(y－3)2＝→点B在定圆上，D选项正确．故选BCD.答案：BCD13．解析：因为平面向量a，b满足|a|＝|b|＝1，又〈a，b〉∈[0，π]，所以a·b＝|a|·|b|cos〈a，b〉＝1×1×cos〈a，b〉＝cos〈a，b〉∈[－1，1]，则|a＋b|＝＝＝，由a·b∈[－1，1]，则2＋2a·b∈，故|a＋b|∈，则|a＋b|的最小值为0.答案：014．解析：由图可知，当点M与点B重合时，在上的投影数量最大，所以·的最大值为·＝(－2，1)·(－2，－1)＝4－1＝3.答案：315．解析：由(c－a)·(b－a)＝0且|c－a|＝|b－a|，不妨设c－a＝(x，y)，b－a＝(－y，x)，又因为|a|＝，|b|＝1，不妨设a＝(，0)，则c＝(x＋，y)，b＝(－y，x)，又|b|＝＝1，即x2＋(y－)2＝1；所以(x，y)的轨迹是以(0，)为圆心，半径为r＝1的圆，而|c|＝表示(x，y)与(－，0)之间的距离，显然圆心(0，)与(－，0)之间的距离为d＝，所以可得d－r≤|c|≤d＋r，即|c|的最大值为＋1. 答案：＋116．解析：如图，以点C为坐标原点建立平面直角坐标系，则B(0，－2)，D(－2，0)，设P(cosθ，sinθ)，θ∈，则＝(cosθ＋2，sinθ)，＝(cosθ，sinθ＋2)，则·＝cosθ(cosθ＋2)＋sinθ(sinθ＋2)＝2sin(θ＋)＋1，由θ∈，得θ＋∈，所以当θ＋＝，即θ＝时，·取得最小值1－2.答案：1－2