统考版2024届高考数学二轮专项分层特训卷四热点问题专练热点八平面向量理（附解析）

热点(八)　平面向量1．(平面向量基本定理)设D为△ABC的边BC的延长线上一点，＝3，则(　　)A．＝－B．＝＋C．＝－＋D．＝－2．(向量共线的坐标表示)已知向量a＝(4，2)，向量b＝(x，3)，且a∥b，则x＝(　　)A．9B．6C．5D．33．(平面向量的应用)长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输．如图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以5km/h的速度沿方向行驶，到达对岸C点，且AC与江岸AB垂直，同时江水的速度为向东3km/h，则该船实际行驶的速度大小为(　　)A．2km/hB．km/hC．4km/hD．8km/h4．[2023·长春市质量检测(三)](平面向量的模)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a－b＝(2，1)，则|2a－b|＝(　　)A．B．C．2D．25．(平面向量平行问题)若向量a＝(4，2)，b＝(6，k)，则a∥b的充要条件是(　　)A．k＝－12B．k＝12C．k＝－3D．k＝36．[2023·广东省湛江市高三调研测试题](平面向量垂直问题)已知向量a＝(1，2)，向量b＝(2，－2)，a＋kb与a－b垂直，则k＝(　　)A．2B．C．D．7．[2023·广西南宁三校联考](平面向量的投影)已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝，且a⊥(a＋2b)，则b在a方向上的投影为(　　)A．－B．－1C．D．18．(平面向量的夹角)设平面向量a＝(－2，1)，b＝(λ，2)，若a与b的夹角为锐角，则λ的取值范围是(　　)A．∪(2，＋∞)B．(－∞，－4)∪(－4，1) C．(1，＋∞)D．(－∞，1)9．[2023·四川省阆中中学高三月考](平面向量的数量积)已知在四边形ABCD中，AB⊥AD，CD＝1，＋2＝0，E是BC的中点，则·＝(　　)A．B．2C．3D．410．(数量积的应用)在△ABC中，设||2－||2＝2·，则动点M的轨迹必通过△ABC的(　　)A．垂心B．内心C．重心D．外心11．(平面向量与数列综合)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若点A，B，C，O满足：①＝λ(λ≠0)；②A，B，O确定一个平面；③＝a3＋a98.则S100＝(　　)A．29B．40C．45D．5012．[2023·湖北省随州市联考](平面向量的数量积)设A、B、C是半径为1的圆上三点，若AB＝，则·的最大值为(　　)A．3＋B．＋C．1＋D．[答题区]题号123456789101112答案13.[2023·合肥市第二次教学质量检测](平面向量的模)已知向量a＝(x，1)，b＝(1，－2)，且a∥b，则|a－b|＝________．14．(向量的夹角)已知向量a＝(－1，2)，b＝(1，x)，a＋b与a垂直，设a与b的夹角为α，则cosα＝________．15．(平面向量在物理中的应用)在平面直角坐标系中，力F＝(2，3)作用于一物体，使该物体从点A(2，0)移动到点B(4，0)，则力F对物体做的功为________．16．[2023·河南省郑州市模拟](平面向量的数量积)已知P为边长为2的正方形ABCD所在平面内一点，则·(＋)的最小值为________． 热点（八）　平面向量1．C　＝＋＝＋＝＋（－）＝－＋，故选C.2．B　因为向量a＝（4，2），向量b＝（x，3）且a∥b，所以4×3＝2x，x＝6，故选B.3．C　（以下解析中速度按向量处理）不妨设该船经过1h到达点C，由题意画出向量图如图所示，则为船速，为水速，为该船实际行驶的速度，易知||＝4.故选C.4．C　方法一　由题意，得|a－b|2＝22＋12＝5，|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝5－2a·b＝5，所以a·b＝0，所以|2a－b|2＝4a2－4a·b＋b2＝8，所以|2a－b|＝2，故选C.方法二　设＝a，＝b，则＝－＝a－b.由题意，得|a－b|＝＝，所以||2＋||2＝||2，所以OA⊥OB，所以·＝0，即a·b＝0，所以|2a－b|2＝4a2－4a·b＋b2＝8，所以|2a－b|＝2，故选C.5．D　因为向量a＝（4，2），b＝（6，k），若a∥b，则4k－2×6＝0，解得k＝3，即a∥b⇒k＝3；反之，若k＝3，则a＝（4，2），b＝（6，3），所以a＝b，所以a∥b，即k＝3⇒a∥b.故选D.6．D　因为向量a＝（1，2），向量b＝（2，－2），所以a2＝5，b2＝8，a·b＝－2，又a＋kb与a－b垂直，所以（a＋kb）·（a－b）＝a2－kb2＋（k－1）a·b＝5－8k－2（k－1）＝7－10k＝0，所以k＝，故选D.7．B　因为a⊥（a＋2b），a·（a＋2b）＝a2＋2a·b＝4＋2a·b＝0，a·b＝－2， 所以b在a方向上的投影为＝＝－1.故选B.8．B　方法一　因为a与b的夹角为锐角，所以cos〈a，b〉∈（0，1）.又向量a＝（－2，1），b＝（λ，2），所以cos〈a，b〉＝＝∈（0，1），整理得所以所以λ的取值范围为（－∞，－4）∪（－4，1）.故选B.方法二　因为a与b的夹角为锐角，所以又向量a＝（－2，1），b＝（λ，2），所以所以所以λ的取值范围为（－∞，－4）∪（－4，1）.故选B.9．C　四边形ABCD如图：因为AB⊥AD，＋2＝0，所以四边形ABCD是直角梯形，由CD＝1，＋2＝0，可得||＝2.E是BC的中点，过E作EF⊥AB于F，则||＝||＝，可得·＝||||cos∠EAB＝||·||＝2×＝3.故选C.10．D　||2－||2＝（＋）·（－）＝（＋）·＝2·，∴·（＋－2）＝0⇒·（－＋－）＝·（＋）＝0，设E为BC的中点，则＋＝2，∴·2＝0⇒⊥⇒ME为BC的垂直平分线，∴M的轨迹必过△ABC的外心，故选D.11．D　通解　因为＝λ（λ≠0），所以A，B，C三点共线．又A，B，O确定一个平面，即A，B，O不共线，所以A，C，O不共线，即，不共线．由＝λ（λ≠0 ），得－＝λ（－），当λ≠－1时，＝＋，当λ＝－1时，＝（舍去）.因为＝a3＋a98，所以a3＝，a98＝，则a3＋a98＝1，又数列{an}为等差数列，所以a1＋a100＝a3＋a98＝1，所以S100＝＝50.故选D.优解　由＝λ（λ≠0），得A，B，C三点共线，又A，B，O确定一个平面，所以A，B，C，O四点共面．根据＝a3＋a98，得a3＋a98＝1，因为数列{an}为等差数列，所以a1＋a100＝a3＋a98＝1，所以S100＝＝50，故选D.12．C　设圆心为点O，则OA＝OB＝1，∵AB＝，∴AB2＝OA2＋OB2，则OA⊥OB，∴·＝（－）·（－）＝·－·＋2＝（－）·＋1＝·＋1＝||·||cos〈，〉＋1≤＋1，当且仅当与方向相同时取等号．13．答案：解析：由a∥b，a＝（x，1），b＝（1，－2），可得－2x＝1，解得x＝－，所以a＝，进而得到a－b＝，则|a－b|＝＝.14．答案：－1解析：a＋b＝（0，2＋x），根据题意有0＋2×（2＋x）＝0，解得x＝－2，所以cosα＝＝＝－1.15．答案：4解析：根据题意得，力F对物体做的功为W＝F·.因为A（2，0），B（4，0），所以＝（4－2，0－0）＝（2，0）.又F＝（2，3），所以W＝F·＝2×2＋3×0＝4.16．答案：－1解析：建立如图所示坐标系， 设P（x，y），则A（0，0），B（2，0），C（2，2），D（0，2），所以＝（2－x，2－y），＋＝（2－x，－y）＋（－x，2－y）＝（2－2x，2－2y），所以·（＋）＝（2－x）（2－2x）＋（2－y）（2－2y）＝22－＋22－＝2＋2－1.所以当x＝y＝时，·（＋）的最小值为－1.