新教材2024届高考数学二轮专项分层特训卷三微专题提升练微专题1基本不等式中“1”的妙用（附解析）

三　微专题提升练微专题1　基本不等式中“1”的妙用　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　一、单项选择题1．已知x，y为正实数，且＋＝2，则x＋2y的最小值是(　　)A．2B．4C．8D．162．若正实数x，y满足x＋3y＝1，则＋的最小值为(　　)A．12B．25C．27D．363．已知向量m＝(1，a)，n＝(2b－1，3)(a>0，b>0)，若m·n＝1，则＋的最小值为(　　)A．7B．＋2C．7＋4D．44．已知正数x，y满足x＋4y＝4，则的最小值为(　　)A．B．24C．20D．185．[2023·湖北荆门模拟]已知正实数a，b满足lga＋lgb＝lg(a＋2b)，则2a＋b的最小值是(　　)A．5B．9C．13D．186．[2023·河北石家庄模拟]已知直线2x＋3y－1＝0经过圆(x－m)2＋(y－n)2＝1的圆心，其中m>0且n∈(－1，0)，则－的最小值为(　　)A．9B．5＋2C．1D．5＋7．已知m>0，n>0，直线y＝x＋m＋1与曲线y＝lnx－n＋2相切，则＋的最小值是(　　)A．16B．12C．8D．48．[2023·河北邯郸模拟]已知a>0，b>0，且a＋b＝2，则＋的最小值是(　　)A．2B．4C．D．99．在△ABC中，D为BC边的中点，H为AD的中点，过点H作一直线MN分别交AB，AC于点M，N，若＝x，＝y，则x＋4y的最小值是(　　)A．B．2C．D．1 10．已知各项都为正数的等比数列{an}，满足a3＝2a1＋a2，若存在两项am，an，使得＝4a1，则＋最小值为(　　)A．2B．C．D．1二、多项选择题11．[2023·湖南长沙模拟]若a，b>0，且a＋b＝1，则(　　)A．＋≤B．＋≥9C．a2＋4b2≥D．＋≥112．已知a>0，b>0，且2a＋b＝1，若不等式＋≥m恒成立，则m的值可以为(　　)A．10B．9C．8D．7[答题区]题号123456789101112答案三、填空题13．[2023·山东济南模拟]已知正数x，y满足4x＋2y＝xy，则x＋2y的最小值为________．14．[2023·辽宁辽阳模拟]若0<a<4，则＋的值可以是________．15．[2023·吉林长春模拟]已知随机变量ξ～N(1，σ2)，P(ξ≤0)＝P(ξ≥a)，则＋(0<x<a)的最小值为________．16．已知定义在R上的偶函数f(x)＝|x－m＋1|－2，若正实数a，b满足f(a)＋f(2b)＝m，则＋的最小值为________．微专题1　基本不等式中“1”的妙用1．解析：依题意，x>0，y>0，x＋2y＝(x＋2y)(＋)＝(4＋＋)≥(4＋2)＝4，当且仅当＝，x＝2y＝2时等号成立．故选B.答案：B2．解析：因为x＋3y＝1，所以＋＝(＋)(x＋3y)＝15＋＋.因为x，y>0，所以＋≥2＝12，当且仅当＝，即x＝，y＝时，等号成立，所以＋的最小值为27.故选C. 答案：C3．解析：因为向量m＝(1，a)，n＝(2b－1，3)(a>0，b>0)，若m·n＝1，可得2b－1＋3a＝1，即a＋b＝1，则＋＝(a＋b)(＋)＝＋＋＋2≥＋2＝＋2，当且仅当＝时，即b＝a＝4－2时，等号成立，所以＋的最小值为＋2.故选B.答案：B4．解析：因为x>0，y>0，x＋4y＝4，所以＋y＝1，所以＝＝＝＋＝(＋)·(＋y)＝10＋＋≥10＋2＝18，当且仅当＝⇒x＝，y＝时，取等号，所以的最小值为18.故选D.答案：D5．解析：由lga＋lgb＝lg(a＋2b)，可得lgab＝lg(a＋2b)，所以ab＝a＋2b，即＋＝1，且a>0，b>0，则2a＋b＝(2a＋b)(＋)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝，即a＝b＝3时，等号成立，所以2a＋b的最小值为9.故选B.答案：B6．解析：圆(x－m)2＋(y－n)2＝1的圆心为(m，n)，依题意，2m＋3n＝1，即m＋n＝，由n∈(－1，0)，知m＋2n＝＋n>0，令a＝m＋2n，b＝－n，则a>0，b>0，a＋b＝，因此－＝＋＝＋＝2(a＋b)(＋)＝2(＋＋)≥2(＋2 )＝9，当且仅当＝，即a＝2b＝时取等号，所以当m＝1，n＝－时，－取得最小值9.故选A.答案：A7．解析：对y＝lnx－n＋2求导得y′＝，由y′＝＝得x＝e，则·e＋m＋1＝lne－n＋2，即m＋n＝1，所以＋＝(m＋n)(＋)＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当m＝n＝时取等号．故选D.答案：D8．解析：依题意，因为a＋b＝2，所以(a＋1)＋(b＋1)＝4，则＋＝(＋)＝≥×(2×4＋10)＝，当且仅当a＝，b＝时，等号成立．故选C.答案：C9．解析：因为＝x，＝y，所以＝mx＋ny，由平面向量基本定理可得：⇒，所以m＋n＝1⇒＋＝1，所以x＋4y＝(x＋4y)(＋)＝(1＋4＋＋)，而＋≥2＝4，所以x＋4y≥，当且仅当x＝2y＝时取等号．故选A.答案：A10．解析：因为正项等比数列{an}满足a3＝2a1＋a2，设其公比为q，则an>0，q>0，所以a1q2＝2a1＋a1q，得q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1(舍)，因为＝4a1，所以aman＝16a，则(a1·2m－1)·(a1·2n－1)＝16a，即2m＋n－2＝16＝24，故m＋n＝6，所以＋＝(m＋n)(＋)＝(5＋＋)≥(5＋2)＝，当且仅当＝，即n＝2m＝4时，等号成立，故＋的最小值为.故选B. 答案：B11．解析：因为a，b>0，且a＋b＝1，对于A：(＋)2＝a＋b＋2＝1＋2≤1＋a＋b＝2，当且仅当a＝b＝时取等号，所以＋≤，当且仅当a＝b＝时取等号，故A正确；对于B：＋＝(＋)(a＋b)＝1＋4＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝，即a＝，b＝时取等号，故B正确；对于C：a2＋4b2＝(1－b)2＋4b2＝5b2－2b＋1＝5(b－)2＋≥，当且仅当b＝，a＝时取等号，故C不正确；对于D：＋＋1＝＋＋a＋b≥2＋2＝2(b＋a)＝2，所以＋≥1，当且仅当a＝b＝时取等号，故D正确．故选ABD.答案：ABD12．解析：由a>0，b>0，且2a＋b＝1，可得＋＝(＋)(2a＋b)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝时，即a＝b＝时，等号成立，又因为不等式＋≥m恒成立，所以m≤9，结合选项，可得选项B，C，D符合题意．故选BCD.答案：BCD13．解析：因为4x＋2y＝xy，则＝＋＝1，又x，y是正数，所以x＋2y＝(x＋2y)×1＝(x＋2y)(＋)＝10＋＋≥10＋2＝18，当＝时取得等号，即x＝6且y＝6时取等号，所以x＋2y的最小值为18.答案：1814．解析：因为a＋(4－a)＝4，所以＋＝(＋)＝[＋＋10]. 因为0<a<4，所以>0，>0，所以＋≥8，当且仅当＝，即a＝时，等号成立，则＋≥×(8＋10)＝.答案：5(答案不唯一，只要不小于即可)15．解析：因为随机变量ξ～N(1，σ2)，且P(ξ≤0)＝P(ξ≥a)，所以a＝2，则x＋2－x＝2，因为0<x<2，所以2－x>0，则＋＝＋＝(＋)(x＋2－x)＝(5＋＋)≥(5＋2)＝，当且仅当＝，即x＝时取等号，所以＋(0<x<a)的最小值为.答案：16．解析：因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(－x)＝|－x－m＋1|－2＝f(x)＝|x－m＋1|－2，即m＝1，所以f(x)＝|x|－2，因为若正实数a，b满足f(a)＋f(2b)＝1，所以f(a)＋f(2b)＝a－2＋2b－2＝1，即a＋2b＝5，则(＋)(＋)＝1＋＋≥1＋2×＝，当且仅当＝，即a＝b时，等号成立．答案：