新教材2024届高考数学二轮专项分层特训卷二命题点加强练命题点4平面向量小题突破（附解析）

命题点4　平面向量一、单项选择题　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1．[2023·新课标Ⅰ卷]已知向量a＝(1，1)，b＝(1，－1).若(a＋λb)⊥(a＋μb)，则(　　)A．λ＋μ＝1B．λ＋μ＝－1C．λμ＝1D．λμ＝－12．[2022·全国乙卷]向量＝＝1，＝，且a＋b＋c＝0，则cos〈a－c，b－c〉＝(　　)A．－B．－C．D．3．[2022·新高考Ⅰ卷]在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA.记＝m，＝n，则＝(　　)A．3m－2nB．－2m＋3nC．3m＋2nD．2m＋3n4．[2022·新高考Ⅱ卷]已知向量a＝(3，4)，b＝(1，0)，c＝a＋tb，若〈a，c〉＝〈b，c〉，则t＝(　　)A．－6B．－5C．5D．65．[2023·安徽淮北模拟]已知向量a，b满足a·b＝10且b＝(3，－4)，则a在b上的投影向量为(　　)A．(－6，8)B．(6，－8)C．D．6．[2023·安徽马鞍山模拟]已知向量a＝(－1，1)，b＝(2，x)，若a∥b，则＝(　　)A．3B．3C．2D．27．[2023·河北唐山模拟]正方形ABCD边长为4，M为CD中点，点N在AD上，·＝20，则＝(　　)A．B．2C．5D．108．[2023·山东潍坊模拟]在△ABC中，BD＝BC，点E是AD的中点，记＝a，＝b，则＝(　　)A．－a＋bB．－a＋bC．－a－bD．a－b二、多项选择题9．[2023·山东省实验中学模拟]下列说法正确的是(　　)A．(a＋b)·c＝a·c＋b·cB．非零向量a和b，满足<且a和b同向，则a<bC．非零向量a和b满足＝，则a⊥bD．已知a＝(2，)，b＝(1，)，则a在b上的投影向量的坐标为(，)10．[2023·山东潍坊模拟]已知点O为△ABC内的一点，D，E分别是BC，AC的中点，则(　　)A．若O为AD中点，则＝(＋)B．若O为AD中点，则＝－C．若O为△ABC的重心，则＋＝0 D．若O为△ABC的外心，且BC＝4，则·＝－811．[2023·安徽黄山模拟]如图，EF为圆O的一条直径，点P是圆周上的动点，M，N是直径EF上关于圆心O对称的两点，且EF＝8，MN＝6，则(　　)A．＝＋B．＋＝＋C．·>·D．－>－12．[2021·新高考Ⅰ卷]已知O为坐标原点，点P1(cosα，sinα)，P2(cosβ，－sinβ)，P3(cos(α＋β)，sin(α＋β))，A(1，0)，则(　　)A．|OP1|＝|OP2|B．|AP1|＝|AP2|C．·OP3＝OP1·OP2D.·OP1＝OP2·OP3[答题区]题号123456789101112答案三、填空题13．[2023·江西九江模拟]Rt△ABC中，A＝90°，AB＝2，D为BC的中点，则·＝________．14．[2023·河南新乡模拟]已知向量a＝(t－5，3)，b＝(2，－3)，且(a－b)⊥b，则t＝________．15．[2021·新高考Ⅱ卷]已知向量a＋b＋c＝0，＝1，＝＝2，a·b＋b·c＋c·a＝________.16．[2023·辽宁沈阳模拟]已知a＝(1，2)，b＝(x，4)，若a与b的夹角是锐角，则实数x的取值范围是________. 命题点4　平面向量(小题突破)1．解析：因为a＝(1，1)，b＝(1，－1)，所以a＋λb＝(1＋λ，1－λ)，a＋μb＝(1＋μ，1－μ)，因为(a＋λb)⊥(a＋μb)，所以(a＋λb)·(a＋μb)＝0，所以(1＋λ)(1＋μ)＋(1－λ)(1－μ)＝0，整理得λμ＝－1.故选D.答案：D2．解析：因为a＋b＋c＝0，所以a＋b＝－c，即a2＋b2＋2a·b＝c2，即1＋1＋2a·b＝2，所以a·b＝0.如图，设＝a，＝b，＝c，由题知，OA＝OB＝1，OC＝，△OAB是等腰直角三角形，AB边上的高OD＝，AD＝，所以CD＝CO＋OD＝＋＝，tan∠ACD＝＝，cos∠ACD＝，cos〈a－c，b－c〉＝cos∠ACB＝cos2∠ACD＝2cos2∠ACD－1＝2×－1＝.故选D.答案：D3．解析：因为BD＝2DA，所以＝＋＝＋3＝＋3(－)＝－2＋3＝－2m＋3n.故选B.答案：B4．解析：因为a＝(3，4)，b＝(1，0)，所以c＝a＋tb＝(3＋t，4).由题意，得cos〈a，c〉＝cos〈b，c〉，即＝，解得t＝5.故选C.答案：C5．解析：因为向量b＝(3，－4)，且a·b＝10，那么＝＝5，所以向量a在向量b上的投影向量为cos〈a，b〉·＝·＝．故选D.答案：D6．解析：∵a∥b，∴－x＝1×2，x＝－2，a－b＝(－3，3)，＝＝3.故选A.答案：A7．解析：设＝λ，因为＝＋＝＋，＝＋＝＋λ， 因为正方形ABCD边长为4，·＝0，所以·＝(＋)·(＋λ)＝16λ＋8＝20，解得λ＝，所以＝＝5.故选C.答案：C8．解析：由题设＝(＋)＝(＋)＝[＋(＋)]＝－＋，所以＝－a＋b.故选B.答案：B9．解析：对于A：根据数量积的运算律可知(a＋b)·c＝a·c＋b·c，故A正确；对于B：向量不可以比较大小，故B错误；对于C：非零向量a和b满足＝，则(a＋b)2＝(a－b)2，即a2＋2a·b＋b2＝a2－2a·b＋b2，所以a·b＝0，则a⊥b，故C正确；对于D：因为a＝(2，)，b＝(1，)，所以a·b＝1×2＋×＝5，＝＝2，所以a在b上的投影向量为×＝×(1，)＝，故D错误．故选AC.答案：AC10．解析：对于A，因为O为AD中点，所以＝＝(＋)，故A正确；对于B，由O为AD中点，则＝＋＝－＋＝－×(＋)＋＝－＝－，故B正确；对于C，由O为△ABC的重心，则根据三角形重心的性质得＝2，所以＋＝－，故C错误； 对于D，若点O为△ABC的外心，BC＝4，则根据三角形外心的性质得⊥，故·＝(＋)·＝－2＝－8，故D正确．故选ABD.答案：ABD11．解析：由题意可得：＝＝1.对于A：可得＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，故A错误；对于B：∵＝，可得－＝－，整理得：＋＝＋，故B正确；对于C：由题意可得：0°<∠MPN<∠EPF＝90°，EP⊥PF，则·＝·cos∠MPN>0，·＝0，即·>·，故C正确；对于D：∵－＝，－＝，但向量不能比较大小，故D错误．故选BC.答案：BC12．解析：A：＝(cosα，sinα)，＝(cosβ，－sinβ)，所以||＝＝1，||＝＝1，故||＝||，正确；B：＝(cosα－1，sinα)，＝(cosβ－1，－sinβ)，所以||＝＝＝＝＝2|sin|，同理||＝＝2|sin|，故||，||不一定相等，错误；C：由题意得：·＝1×cos(α＋β)＋0×sin(α＋β)＝cos(α＋β)，·＝cosα·cosβ＋sinα·(－sinβ)＝cos(α＋β)，正确；D：由题意得：·＝1×cosα＋0×sinα＝cosα，·＝cosβ×cos(α＋β)＋(－sinβ)×sin(α＋β)＝cos[β＋(α＋β)]＝cos(α＋2β)，故一般来说·≠·，错误．故选AC.答案：AC13．解析：如图，·＝||||cos∠DAB＝||×||＝||2＝2. 答案：214．解析：因为a－b＝(t－7，6)，(a－b)⊥b，所以2(t－7)－3×6＝0，解得t＝16.答案：1615．解析：由已知可得(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝9＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0，因此，a·b＋b·c＋c·a＝－.答案：－16．解析：因为向量a＝(1，2)，b＝(x，4)，由a·b>0，可得a·b＝1×x＋2×4＝x＋8>0，解得x>－8，设a＝λb，可得(1，2)＝λ(x，4)，即，解得x＝2，此时向量a与b共线，所以当a与b的夹角是锐角时，则满足－8<x<2或x>2，所以x的取值范围是(－8，2)∪(2，＋∞).答案：(－8，2)∪(2，＋∞)