新教材2024届高考数学二轮专项分层特训卷二命题点加强练命题点3复数小题突破（附解析）

命题点3　复数一、单项选择题1．[2023·新课标Ⅱ卷]在复平面内，(1＋3i)(3－i)对应的点位于(　　)A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．[2023·全国甲卷]若复数(a＋i)(1－ai)＝2，a∈R，则a＝(　　)A．－1B．0C．1D．23．[2023·全国甲卷]＝(　　)A．－1B．1C．1－iD．1＋i4．[2022·新高考Ⅱ卷](2＋2i)(1－2i)＝(　　)A．－2＋4iB．－2－4iC．6＋2iD．6－2i5．[2023·河南郑州模拟]已知z＝1－i，则＝(　　)A．－＋iB．＋iC．＋iD．＋i6．[2023·河北衡水模拟]已知复数z＝2＋i，且az－z＋b＝0，其中a，b为实数，则(　　)A．a＝－1，b＝－4B．a＝－1，b＝4C．a＝1，b＝－4D．a＝1，b＝47．[2023·广东深圳模拟]已知复数(1＋i)(1－z)＝1－i，则z的虚部为(　　)A．－2B．2iC．－iD．－18．[2023·江苏盐城模拟]已知a，b∈R，虚数z＝1＋bi是方程x2＋ax＋3＝0的根，则|z|＝(　　)A．B．C．2D．9．[2023·河南驻马店模拟]复数z＝的实部与虚部之和为(　　)A．－4B．－1C．1D．410．[2023·江苏镇江模拟]已知复数z1＝1＋2i，z2＝2－i(i为虚数单位)，z3在复平面上对应的点分别为A，B，C.若四边形OABC为平行四边形(O为复平面的坐标原点)，则复数3为(　　)A．1－3iB．1＋3iC．－1＋3iD．－1－3i11．[2023·河北沧州模拟]已知复数z满足z2＋2z＋2＝0，则复数z在复平面内对应的点位于(　　)A．第一、二象限B．第三、四象限C．第一、四象限D．第二、三象限12．[2023·山东菏泽模拟]已知i为虚数单位，且复数z满足z(1＋2i)＝1－i2023，则＝(　　)A．1B．2C．D．二、多项选择题13．[2023·广东佛山模拟]设z，z1，z2是复数，则下列命题中正确的是(　　)A．若|z|＝1，则z·z＝1B．若|z|＝2，则z·z＝4C．若＝2i，则＝2D．若＝，则z1·z2＝014．[2023·山东青岛模拟]关于x的方程x2＝－4的复数解为z1，z2，则(　　)A．z1·z2＝－4B．z1与z2互为共轭复数C．若z1＝2i，则满足z·z1＝2＋i的复数z在复平面内对应的点在第二象限 D．若|z|＝1，则的最小值是315．[2023·河北石家庄模拟]已知复数z1＝1＋2i，复数z满足|z－z1|＝2，则(　　)A．z1·1＝5B．－2<|z|<＋2C．复数z1在复平面内所对应的点的坐标是(－1，2)D．复数z在复平面内所对应的点为Z(x，y)，则(x－1)2＋(y－2)2＝416．[2023·安徽六安模拟]下列命题正确的有(　　)A．已知复数z的共轭复数为z，则z＋z一定是实数B．若a，b为向量，则|a·b|＝|a|·|b|C．若z1，z2为复数，则|z1z2|＝|z1|·|z2|D．若a，b为向量，且|a＋b|＝|a－b|，则a·b＝0[答题区]题号12345678910111213141516答案命题点3　复数(小题突破)1．解析：因为(1＋3i)(3－i)＝3－i＋9i－3i2＝6＋8i，所以该复数在复平面内对应的点为(6，8)，位于第一象限，故选A.答案：A2．解析：因为(a＋i)(1－ai)＝a－a2i＋i＋a＝2a＋(1－a2)i＝2，所以，解得a＝1.故选C.答案：C3．解析：由题意知，＝＝＝1－i，故选C.答案：C4．解析：(2＋2i)(1－2i)＝2－4i＋2i－4i2＝2－2i＋4＝6－2i.故选D.答案：D5．解析：因为z＝1－i，所以＝＝＝＝＋i，故选C.答案：C6．解析：因为z＝2－i，所以az－z＋b＝a(2＋i)－(2－i)＋b＝(2a＋b－2)＋(a＋1)i，由az－z＋b＝0，得，即.故选B.答案：B7．解析：由题可得z＝1－＝1－＝1＋i，则z＝1－i，故虚部为－1.故选D.答案：D8．解析：因为虚数z＝1＋bi(b∈R)是方程x2＋ax＋3＝0的根，则(1＋bi)2＋a(1＋bi)＋3＝0，即a＋4－b2＋(2b＋ab)i＝0，由复数相等得出，解得b2＝2或b＝0， 因为虚数z＝1＋bi中b≠0，所以b2＝2，所以＝＝.故选B.答案：B9．解析：因为z＝＝＝＝，所以复数z的实部与虚部分别是－，，则复数z的实部与虚部之和为－＋＝1.故选C.答案：C10．解析：因为复数z1＝1＋2i，z2＝2－i(i为虚数单位)，z3在复平面上对应的点分别为A，B，C，所以A(1，2)，B(2，－1)，设C(x，y)，因为OABC为平行四边形(O为复平面的坐标原点)，所以＝，所以(1，－3)＝(x，y)，所以，所以z3＝1－3i，所以z3＝1＋3i，故选B.答案：B11．解析：设z＝a＋bi，a，b∈R，所以z2＋2z＋2＝0⇒a2－b2＋2abi＋2a＋2bi＋2＝0，所以，解得a＝－1，b＝±1，所以z＝－1±i，故选D.答案：D12．解析：因为z(1＋2i)＝1－i2023，所以z(1＋2i)＝1－i2023＝1－i4×505＋3＝1－i3＝1＋i，所以z＝＝＝，所以z＋i＝＋i＋i＝＋i，所以＝＝.故选D.答案：D13．解析：若＝1，设z＝a＋bi，所以a2＋b2＝1，则z·z＝(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2不一定为1，故A错误；若＝2，设z＝a＋bi，所以a2＋b2＝4，则z·z＝(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2＝4一定为4，故B正确；若＝2i，设z2＝a＋bi，z1＝(a＋bi)2i＝－2b＋2ai，则＝，＝＝2＝2，故C正确；若|z1＋z2|＝|z1－z2|，设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，|z1＋z2|＝，|z1－z2|＝，所以(a＋c)2＋(b＋d)2＝(a－c)2＋(b－d)2，即ac＋bd＝0，z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i不一定为0，故D错误．故选BC.答案：BC14．解析：因为(±2i)2＝－4，因此不妨令方程x2＝－4的复数解z1＝2i，z2＝－2i，对于A，z1·z2＝2i·(－2i)＝4，A错误；对于B，z1与z2互为共轭复数，B正确； 对于C，z1＝2i，由z·z1＝2＋i，得z＝＝＝＝－i，则复数z在复平面内对应的点在第四象限，C错误；对于D，设z＝x＋yi(x，y∈R)，由＝1，得x2＋y2＝1，显然有－1≤x≤1，由选项A知z1·z2＝4，因此|z－z1·z2|＝|(x－4)＋yi|＝＝≥3，当且仅当x＝1，即z＝1时取等号，D正确．故选BD.答案：BD15．解析：由已知1＝1－2i，其对应点坐标为(1，－2)，C错；z1·1＝12＋22＝5，A正确；由＝2知z对应的点在以z1对应点为圆心，2为半径的圆上，|z1|＝，因此－2≤≤＋2，B错误；z1对应点坐标为(1，2)，因此D正确．故选AD.答案：AD16．解析：对于A，设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＝a－bi，故z＋z＝a＋bi＋a－bi＝2a∈R，故A正确；对于B，a，b为向量，设夹角为θ，则＝，故B错误；对于C，设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R，z1·z2＝ac＋adi＋bci－bd＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i，|z1·z2|＝＝，|z1|·|z2|＝·＝，所以|z1z2|＝|z1|·|z2|，故C正确；对于D，a，b为向量，且＝，则a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2－2a·b，即a·b＝0，故D正确．故选ACD.答案：ACD