全国通用2022高考数学二轮复习第一部分微专题强化练专题8平面向量含解析
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【走向高考】(全国通用)2022高考数学二轮复习第一部分微专题强化练专题8平面向量一、选择题1.设x∈R,向量a=(x,1),b=(1,-2),且a⊥b,则|a+b|=( )A.B.C.2D.10[答案] B[解析] 本题考查向量的模及垂直问题.∵a⊥b,∴a·b=0,∴x-2=0,∴x=2,∴a+b=(3,-1),|a+b|=.[方法点拨] 1.平面向量的平行与垂直是高考命题的主要方向之一,此类题常见命题形式是:①考查坐标表示;②与三角函数、三角形、数列、解析几何等结合,解题时直接运用向量有关知识列出表达式,再依据相关知识及运用相关方法加以解决.2.点共线和向量共线,直线平行与向量平行既有联系又有区别.3.注意垂直与平行的坐标表示不要混淆.2.(文)(2022·新课标Ⅱ理,3)设向量a、b满足|a+b|=,|a-b|=,则a·b=( )A.1B.2C.3D.5[答案] A[解析] 本题考查平面向量的模,平面向量的数量积.∵|a+b|=,|a-b|=,∴a2+b2+2a·b=10,a2+b2-2a·b=6.联立方程解得ab=1,故选A.(理)设向量a,b满足|a|=2,a·b=,|a+b|=2,则|b|等于( )A.B.1C.D.2[答案] B[解析] ∵|a+b|2=|a|2+2a·b+|b|2=4+3+|b|2=8,∴|b|=1.3.(文)(2022·四川文,2)设向量a=(2,4)与向量b=(x,6)共线,则实数x=( )13\nA.2B.3C.4D.6[答案] B[解析] 由向量平行的性质,有24=x6,解得x=3,选B.[方法点拨] 若a与b都是非零向量λμ≠0,则λa+μb=0⇔a与b共线;若a与b不共线,则λa+μb=0⇔λ=μ=0,a=(x1,y1)与b=(x2,y2)共线⇔x1y2-x2y1=0⇔=(y1y2≠0).(理)(2022·新课标Ⅰ文,2)已知点A(0,1),B(3,2),向量=(-4,-3),则向量=( )A.(-7,-4)B.(7,4)C.(-1,4)D.(1,4)[答案] A[解析] 本题主要考查平面向量的线性运算.=+=(-3,-1)+(-4,-3)=(-7,-4).故本题正确答案为A.4.(2022·北京文,6)设a,b是非零向量,“a·b=|a||b|”是“a∥b”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 考查充分必要条件、向量共线.a·b=|a|·|b|cos〈a,b〉,由已知得cos〈a,b〉=1,即〈a,b〉=0,a∥b.而当a∥b时,〈a,b〉还可能是π,此时a·b=-|a||b|,故“a·b=|a||b|”是“a∥b”的充分而不必要条件.5.(文)如果不共线向量a、b满足2|a|=|b|,那么向量2a+b与2a-b的夹角为( )A. B. C. D.[答案] C[解析] ∵(2a+b)·(2a-b)=4|a|2-|b|2=0,∴(2a+b)⊥(2a-b),∴选C.13\n(理)若两个非零向量a、b满足|a+b|=|a-b|=2|a|,则向量a+b与a-b的夹角是( )A.B.C.D.[答案] C[解析] 解法1:由条件可知,a·b=0,|b|=|a|,则cosθ====-⇒θ=.解法2:由向量运算的几何意义,作图可求得a+b与a-b的夹角为.[方法点拨] 两向量夹角的范围是[0,π],a·b>0与〈a,b〉为锐角不等价;a·b<0与〈a,b〉为钝角不等价.6.(2022·广东文,9)在平面直角坐标系xOy中,已知四边形ABCD是平行四边形,=(1,-2),=(2,1),则·=( )A.5B.4C.3D.2[答案] A[解析] 考查:1.平面向量的加法运算;2.平面向量数量积的坐标运算.因为四边形ABCD是平行四边形,所以=+=(1,-2)+(2,1)=(3,-1),所以·=2×3+1×(-1)=5,故选A.7.(文)如图,正方形ABCD中,点E是DC的中点,点F是BC的一个三等分点,那么=( )A.-B.+C.+D.-13\n[答案] D[解析] =-=+-(+)=-.(理)已知平面上不共线的四点O,A,B,C.若+2=3,则的值为( )A.B.C.D.[答案] A[解析] ∵+2=3,∴-=3(-),∴=3,∴=2,∴||=2||,∴=,故选A.8.(文)(2022·新课标Ⅰ理,10)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C的一个交点,若=4,则|QF|=( )A.B.C.3D.2[答案] C[解析] 抛物线的焦点坐标是F(2,0),过点Q作抛物线的准线的垂线,垂足是A,则|QA|=|QF|,抛物线的准线与x轴的交点为G,因为=4,∴=,由于三角形QAP与三角形FGP相似,所以可得==,所以|QA|=3,所以|QF|=3.(理)(2022·中原名校第二次联考)在三角形ABC中,∠A=60°,∠A的平分线交BC于D,AB=4,=+λ(λ∈R),则AD的长为( )A.1B.13\nC.3D.3[答案] D[解析] 在AC上取E点,在AB上取F点,使=,=λ,∵=+λ=+,∴DE∥AB,DF∥AC,∴===3,∵AF+BF=AB=4,∴BF=1,AF=3,在△ADF中,AF=3,DF=3,∠DFA=120°,∴AD=3.9.(文)(2022·湖南文,10)在平面直角坐标系中,O为原点,A(-1,0),B(0,),C(3,0),动点D满足||=1,则|++|的取值范围是( )A.[4,6]B.[-1,+1]C.[2,2]D.[-1,+1][答案] D[解析] 考查了向量的坐标运算,圆的有关知识.设D(x,y),则由||=1,得(x-3)2+y2=1,而|++|=表示点D(x,y)到点(1,-)的距离,(x-3)2+y2=1表示以(3,0)为圆心,1为半径的圆,点(1,-)与点(3,0)的距离为,∴|++|的取值范围为[-1,+1].(理)(2022·湖南文,9)已知点A,B,C在圆x2+y2=1上运动,且AB⊥BC.若点P的坐标为(2,0),则|P+P+P|的最大值为( )A.6B.7C.8D.9[答案] B[解析] 考查直线与圆的位置关系、平面向量的运算性质.由题根据所给条件不难得到该圆x2+y2=1是以AC为直径的圆,然后根据所给条件结合向量的几何关系不难得到|PA―→+PB―→+PC―→|=|2PO―→+PB―→|,又=-,∴|++|=|2+-|=|-3|===≤7,当且仅当∠POB=180°时取等号,故最大值为7,选B.13\n10.(文)已知菱形ABCD的边长为2,∠BAD=120°,点E、F分别在边BC、DC上,=λ,=μ.若·=1,·=-,则λ+μ=( )A. B.C.D.[答案] C[解析] ∵=+=+λ,=+=+μ,∴·=(+λ)·(+μ)=·+λ·+μ·+λμ·=2×2×cos120°+4λ+4μ+λμ(2×2×cos120°)=-2+4(λ+μ)-2λμ=1,①·=(1-λ)·(1-μ)=-2(1-λ)(1-μ)=-,∴λμ-(λ+μ)=-.②解①②组成的方程组得λ+μ=.[方法点拨] 1.熟记平面向量的数量积、夹角、模的定义及性质是解答求模与夹角问题的基础.2.充分利用平面向量的几何运算法则、共线向量定理、平面向量数量积的运算法则、平面向量基本定理,探究解题思路是解决平面向量问题的保证.(理)(2022·江西质检)设F1,F2分别是双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,若双曲线右支上存在一点P,使(+)·=0,O为坐标原点,且||=2||,则双曲线的离心率为( )13\nA.B.C.2D.[答案] D[解析] 由(+)·=0,得(+)·(-)=0,即||2-||2=0,所以||=||=c,所以△PF1F2中,边F1F2上的中线等于|F1F2|的一半,则PF1⊥PF2,即|PF1|2+|PF2|2=4c2,又||=2|PF2|,解得|PF1|=c,|PF2|=c.所以|PF1|-|PF2|=c=2a,所以e==.二、填空题11.(文)在边长为1的正三角形ABC中,设=2,=3,则·=________.[答案] -[解析] 如图,令=a,=b,=(a+b),=+=(b-a)+=b-a,∴·=·=a·b-+-a·b=--a·b=--×=-.(理)(2022·天津文,13)在等腰梯形ABCD中,已知AB∥DC,AB=2,BC=1,∠ABC=60°.点E和F分别在线段BC和DC上,且=,=,则·的值为________.[答案] [解析] 考查平面向量的数量积.如图,O为AB的中点,设A=a,A=b,则|a|=|b|=1且a·b=13\n,根据梯形的性质可得D=A=a,B=O=b-a.所以A=A+B=A+B=2a+(b-a)=a+b.A=A+D=A+D=a+b.所以A·A=·=a2+a·b+b2=.12.(文)已知单位向量e1与e2的夹角为α,且cosα=,向量a=3e1-2e2与b=3e1-e2的夹角为β,则cosβ=________.[答案] [解析] 本题考查平面向量数量积的性质及运算.依题意e1·e2=|e1||e2|cosα=,∴|a|2=9e-12e1·e2+4e=9,∴|a|=3,|b|2=9e-6e1·e2+e=8,a·b=9e-9e1·e2+2e=8,∴|b|=2,cosβ===.(理)如图所示,A、B、C是圆O上的三点,线段CO的延长线与线段BA的延长线交于圆O外的点D,若=m+n,则m+n的取值范围是________.[答案] (-1,0)[解析] 根据题意知,线段CO的延长线与线段BA的延长线的交点为D,则=t.∵D在圆外,∴t<-1,又D、A、B共线,∴存在λ、μ,使得=λ+μ,且λ+μ=1,又由已知,=m+n,∴tm+tn=λ+μ,13\n∴m+n=,故m+n∈(-1,0).13.(2022·安徽文,15)△ABC是边长为2的等边三角形,已知向量a,b满足=2a,=2a+b,则下列结论中正确的是________.(写出所有正确结论的编号)①a为单位向量;②b为单位向量;③a⊥b;④b∥;⑤(4a+b)⊥.[答案] ①④⑤[解析] 考查1.平面向量的基本概念;2.平面向量的性质.∵等边三角形ABC的边长为2,AB―→=2a,∴|AB―→|=2|a|=2⇒|a|=1,故①正确;∵AC―→=AB―→+BC―→=2a+BC―→,∴BC―→=b⇒|b|=2,故②错误,④正确;由于AB―→=2a,BC―→=b⇒a与b夹角为120°,故③错误;又∵(4a+b)·BC―→=(4a+b)·b=4a·b+|b|2=4×1×2×(-)+4=0,∴(4a+b)⊥BC―→,故⑤正确,因此,正确的编号是①④⑤.14.(文)如图,在四边形ABCD中,AC和BD相交于点O,设=a,=b,若=2,则=________(用向量a和b表示).[答案] a+b[解析] 据题意可得=+=+=a+b,又由=2,可得==(a+b)=a+b.(理)已知O为坐标原点,点M(3,2),若N(x,y)满足不等式组则·的最大值为________.[答案] 12[解析] 据不等式组得可行域如图所示:13\n由于z=·=3x+2y,结合图形进行平移可得点A(4,0)为目标函数取得最大值的最优解.即zmax=3×4+2×0=12.三、解答题15.(文)已知向量a=(cosθ,sinθ),θ∈[0,π],向量b=(,-1).(1)若a⊥b,求θ的值;(2)若|2a-b|<m恒成立,求实数m的取值范围.[解析] (1)∵a⊥b,∴cosθ-sinθ=0,得tanθ=.又θ∈[0,π],∴θ=.(2)∵2a-b=(2cosθ-,2sinθ+1),∴|2a-b|2=(2cosθ-)2+(2sinθ+1)2=8+8(sinθ-cosθ)=8+8sin(θ-).又θ∈[0,π],∴θ-∈[-,],∴sin(θ-)∈[-,1],∴|2a-b|2的最大值为16,∴|2a-b|的最大值为4.又|2a-b|<m恒成立,∴m>4.(理)在△ABC中,角A、B、C所对的对边长分别为a、b、c.(1)设向量x=(sinB,sinC),向量y=(cosB,cosC),向量z=(cosB,-cosC),若z∥(x+y),求tanB+tanC的值;(2)若sinAcosC+3cosAsinC=0,证明:a2-c2=2b2.[解析] (1)x+y=(sinB+cosB,sinC+cosC),∵z∥(x+y),∴cosB(sinC+cosC)+cosC(sinB+cosB)=0,整理得tanC+tanB+2=0,∴tanC+tanB=-2.(2)证明:∵sinAcosC+3cosAsinC=0,13\n∴由正、余弦定理得:a·+3××c=0,∴a2-c2=2b2.16.(文)已知向量a=(sin,),b=(cos,-)(ω>0,x≥0),函数f(x)=a·b的第n(n∈N*)个零点记作xn(从左向右依次计数),则所有xn组成数列{xn}.(1)若ω=,求x2;(2)若函数f(x)的最小正周期为π,求数列{xn}的前100项和S100.[解析] f(x)=a·b=sincos-=sinωx-.(1)当ω=时,f(x)=sin(x)-,令f(x)=0,得x=4kπ+或x=4kπ+(k∈Z,x≥0),取k=0,得x2=.(2)因为f(x)最小正周期为π,则ω=2,故f(x)=sin2x-,令f(x)=0得x=kπ+或x=kπ+(k∈Z,x≥0),所以S100=(kπ+)+(kπ+)]=(2kπ+)=2π(0+1+2+…+49)+50×=50×49π+25π=2475π.[方法点拨] 1.不含坐标的向量综合问题,解答时,按向量有关概念、性质、法则等通过运算解决,若条件方便建立坐标系,则建立坐标系用坐标运算解决,给出坐标的向量综合问题,直接按向量各概念、法则的坐标表示将向量问题转化为代数问题处理.2.向量与其他知识交汇的题目,先按向量的概念、性质、法则脱去向量外衣,转化为相应的三角、数列、不等式、函数、解析几何等问题,再按相应的知识选取解答方法.(理)(2022·太原市一模)已知椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别是点F1、F2,其离心率e=,点P为椭圆上的一个动点,△PF1F2内切圆面积的最大值为.(1)求a,b的值;(2)若A、B、C、D是椭圆上不重合的四个点,且满足∥,∥,·13\n=0,求||+||的取值范围.[解析] (1)由题意得,当点P是椭圆的上、下顶点时,△PF1F2内切圆面积取最大值,设△PF1F2内切圆半径为r,则πr2=,r=,此时S△PF1F2=·|F1F2|·|OP|=bc,又∵S△PF1F2=·(|F1F2|+|F1P|+|F2P|)·r=(a+c),∴bc=(a+c),∵e==,∴a=2c,∴b=2,a=4.(2)∵∥,∥,·=0,∴直线AC与BD垂直相交于点F1,由(1)得椭圆的方程为+=1,则F1的坐标为(-2,0),①当直线AC与BD中有一条直线斜率不存在时,易得||+||=6+8=14,②当直线AC斜率k存在且k≠0时,则其方程为y=k(x+2),设A(x1,y1),C(x2,y2),则点A,C的坐标是方程组的两组解.∴(3+4k2)x2+16k2x+16k2-48=0.∴∴||=|x1-x2|=.此时直线BD的方程为y=-(x+2).同理,由可得||=.∴||+||=+=.令t=k2+1(k≠0),则t>1,∴||+||=,∵t>1,∴0<≤,∴||+||∈,13\n由①②可知,||+||的取值范围是.13
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