新教材2024届高考数学二轮专项分层特训卷二命题点加强练命题点29圆锥曲线中的最值范围问题大题突破（附解析）

命题点29　圆锥曲线中的最值、范围问题1．[2023·安徽合肥模拟]已知定点P(，0)，圆Q：(x＋)2＋y2＝16，N为圆Q上的动点，线段NP的垂直平分线和半径NQ相交于点M.(1)求点M的轨迹Γ的方程；(2)过P的直线l与轨迹Γ交于A，B两点，若点D满足＝＋，求四边形QADB面积的最大值．解：2．[2023·吉林长春模拟]在平面内，动点M(x，y)与定点F(2，0)的距离和它到定直线l：x＝的距离比是常数2.(1)求动点M的轨迹方程；(2)若直线m与动点M的轨迹交于P，Q两点，且OP⊥OQ(O为坐标原点)，求|OP|2＋|OQ|2的最小值．解：3．[2023·全国甲卷]已知直线x－2y＋1＝0与抛物线C：y2＝2px(p>0)交于A，B两点，且|AB|＝4.(1)求p；(2)设F为C的焦点，M，N为C上两点，且·＝0，求△MFN面积的最小值．解： 4．[2023·湖南常德模拟]双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左顶点为A，焦距为4，过右焦点F作垂直于实轴的直线交C于B，D两点，且△ABD是直角三角形．(1)求双曲线C的方程；(2)M，N是C右支上的两动点，设直线AM，AN的斜率分别为k1，k2，若k1k2＝－2，求点A到直线MN的距离d的取值范围．解：5．[2023·河北沧州模拟]已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F，A为C上的一点，|AF|的最大值与最小值的差为2，过点F且垂直于x轴的直线被C截得的弦长为1.(1)求椭圆C的方程；(2)已知直线l：y＝kx＋m(k≠0)与椭圆C交于M，N两点，记C的右顶点为P，直线PM与直线PN的斜率分别为k1，k2，若k1k2＝，求△PMN面积的取值范围．解： 6．[2023·新课标Ⅰ卷]在直角坐标系xOy中，点P到x轴的距离等于点P到点的距离，记动点P的轨迹为W.(1)求W的方程；(2)已知矩形ABCD有三个顶点在W上，证明：矩形ABCD的周长大于3.解： 命题点29　圆锥曲线中的最值、范围问题(大题突破)1．解析：(1)因为N为圆Q上的动点，线段NP的垂直平分线和半径NQ相交于点M，所以由线段垂直平分线的性质可得：|MP|＝|MN|，所以|MQ|＋|MP|＝|MQ|＋|MN|＝4>|PQ|＝2，故点M的轨迹是以P，Q为焦点的椭圆，其中a＝2，c＝，所以b2＝a2－c2＝4－3＝1，故点M的轨迹Γ的方程为＋y2＝1.(2)由题意，设直线l的方程为x＝my＋，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立，整理可得：(4＋m2)y2＋2my－1＝0，所以Δ＝12m2＋4(m2＋4)>0,y1＋y2＝－，y1y2＝－，所以|AB|＝|y1－y2|＝·＝·＝，点Q(－，0)到直线l的距离d＝，所以S△QAB＝|AB|·d＝××＝＝＝≤＝2，当且仅当＝，即m＝±时等号成立，因为＝＋，所以S四边形QADB＝2S△QAB≤4，所以四边形QADB面积的最大值为4.2．解析：(1)由已知可得：＝2，整理化简可得：3x2－y2＝3，即x2－＝1，所以动点M的轨迹方程为：x2－＝1.(2)由OP⊥OQ可设直线OP的方程为y＝kx，直线OQ的方程为y＝－x，由，可得， 所以|OP|2＝x2＋y2＝，同理可得|OQ|2＝，又由|OP|2>0且|OQ|2>0，可得<k2<3，所以＋＝＝，所以|OP|2＋|OQ|2＝(|OP|2＋|OQ|2)(＋)，所以|OP|2＋|OQ|2＝(2＋＋)≥(2＋2)＝6，当且仅当|OP|＝|OQ|＝时等号成立，所以|OP|2＋|OQ|2的最小值为6.3．解析：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，把x＝2y－1代入y2＝2px，得y2－4py＋2p＝0，由Δ1＝16p2－8p>0，得p>.由根与系数的关系，可得y1＋y2＝4p，y1y2＝2p，所以|AB|＝·＝·＝4，解得p＝2或p＝－(舍去)，故p＝2.(2)设M(x3，y3)，N(x4，y4)，由(1)知抛物线C：y2＝4x，则点F(1，0).因为·＝0，所以∠MFN＝90°，则S△MFN＝|MF||NF|＝(x3＋1)(x4＋1)＝(x3x4＋x3＋x4＋1)　(*).当直线MN的斜率不存在时，点M与点N关于x轴对称，因为∠MFN＝90°，所以直线MF与直线NF的斜率一个是1，另一个是－1.不妨设直线MF的斜率为1，则MF：y＝x－1，由得x2－6x＋1＝0，得或代入(*)式计算易得，当x3＝x4＝3－2时，△MFN的面积取得最小值，为4(3－2).当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为y＝kx＋m(k≠0).由得k2x2－(4－2km)x＋m2＝0，Δ2＝(4－2km)2－4m2k2>0，则 y3y4＝(kx3＋m)(kx4＋m)＝k2x3x4＋mk(x3＋x4)＋m2＝.又·＝(x3－1，y3)·(x4－1，y4)＝x3x4－(x3＋x4)＋1＋y3y4＝0，所以－＋1＋＝0，化简得m2＋k2＋6km＝4.所以S△MFN＝(x3x4＋x3＋x4＋1)＝＝＝＋2＋1.令t＝，则S△MFN＝t2＋2t＋1，因为m2＋k2＋6km＝4，所以＋6＋1＝>0，即t2＋6t＋1>0，得t>－3＋2或t<－3－2，从而得S△MFN＝t2＋2t＋1>12－8＝4(3－2).故△MFN面积的最小值为4(3－2).4．解析：(1)依题意，∠BAD＝90°，焦半径c＝2，由AF＝BF，得a＋c＝，得a2＋2a＝22－a2，解得：a＝1(其中a＝－2<0舍去)，所以b2＝c2－a2＝4－1＝3，故双曲线C的方程为x2－＝1.(2)显然直线MN不可能与x轴平行，故可设直线MN的方程为x＝my＋n，联立，消去x整理得(3m2－1)y2＋6mny＋3(n2－1)＝0，在条件下，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y1＋y2＝－，y1y2＝，由k1k2＝－2，得y1y2＋2(x1＋1)(x2＋1)＝0，即y1y2＋2(my1＋n＋1)(my2＋n＋1)＝0，整理得(2m2＋1)y1y2＋2m(n＋1)(y1＋y2)＋2(n＋1)2＝0，代入韦达定理得，3(n2－1)(2m2＋1)－12m2n(n＋1)＋2(n＋1)2(3m2－1)＝0，化简可消去所有的含m的项，解得：n＝5或n＝－1(舍去)，则直线MN的方程为x－my－5＝0，得d＝，又M，N都在双曲线的右支上，故有3m2－1<0，0≤m2<，此时1≤<，d＝∈(3，6]，所以点A到直线MN的距离d的取值范围为(3，6].5．解析：(1)设C的半焦距为c，由题意知， 解得，故椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)由题意知P(2，0)，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由得(1＋4k2)x2＋8mkx＋4m2－4＝0，所以Δ＝64m2k2－4(1＋4k2)(4m2－4)>0，即4k2－m2＋1>0，且x1＋x2＝－，x1x2＝.因为k1k2＝，所以·＝，又y1＝kx1＋m，y2＝kx2＋m，所以20(kx1＋m)(kx2＋m)＝(x1－2)(x2－2)，①因为(1＋4k2)x2＋8mkx＋4m2－4＝(1＋4k2)(x－x1)(x－x2)，所以令x＝2，得(x1－2)(x2－2)＝，②令x＝－，得(1＋4k2)·－4m2－4＝(1＋4k2)(－－x1)(－－x2)，所以(kx1＋m)(kx2＋m)＝，所以20(kx1＋m)(kx2＋m)＝，③把②③代①，得16k2＋16mk＋4m2＝20m2－80k2，化简得m2－km－6k2＝0，所以m＝－2k或m＝3k.所以当m＝－2k时，直线l的方程为y＝k(x－2)，直线过点P(2，0)，不合题意，舍去；当m＝3k时，直线l的方程为y＝k(x＋3)，所以直线l经过定点Q(－3，0)，所以S△PMN＝＝·＝＝＝，因为4k2－m2＋1>0且m＝3k，所以1－5k2>0，所以0<k2<，设t＝4k2＋1∈，所以S△PMN＝＝∈，即△PMN面积的取值范围为.6．解析：(1)设点P的坐标为(x，y)，依题意得|y|＝， 化简得x2＝y－，所以W的方程为x2＝y－.(2)设矩形ABCD的三个顶点A，B，C在W上，则AB⊥BC，矩形ABCD的周长为2(|AB|＋|BC|).设B(t，t2＋)，依题意知直线AB不与两坐标轴平行，故可设直线AB的方程为y－(t2＋)＝k(x－t)，不妨设k>0，与x2＝y－联立，得x2－kx＋kt－t2＝0，则Δ＝k2－4(kt－t2)＝(k－2t)2>0，所以k≠2t.设A(x1，y1)，所以t＋x1＝k，所以x1＝k－t，所以|AB|＝|x1－t|＝|k－2t|＝|2t－k|，|BC|＝|－－2t|＝|＋2t|＝|2kt＋1|，且2kt＋1≠0，所以2(|AB|＋|BC|)＝(|2k2t－k3|＋|2kt＋1|).因为|2k2t－k3|＋|2kt＋1|＝，当2k－2k2≤0，即k≥1时，函数y＝(－2k2－2k)t＋k3－1在(－∞，－]上单调递减，函数y＝(2k－2k2)t＋k3＋1在(－，]上单调递减或是常函数(当k＝1时是常函数)，函数y＝(2k2＋2k)t－k3＋1在(，＋∞)上单调递增，所以当t＝时，|2k2t－k3|＋|2kt＋1|取得最小值，且最小值为k2＋1，又k≠2t，所以2(|AB|＋|BC|)＞(k2＋1)＝.令f(k)＝，k≥1，则f′(k)＝，当1≤k＜时，f′(k)＜0，当k＞时，f′(k)＞0，所以函数f(k)在[1，)上单调递减，在(，＋∞)上单调递增，所以f(k)≥f()＝3，所以2(|AB|＋|BC|)＞≥3. 当2k－2k2＞0，即0＜k＜1时，函数y＝(－2k2－2k)t＋k3－1在(－∞，－]上单调递减，函数y＝(2k－2k2)t＋k3＋1在(－，]上单调递增，函数y＝(2k2＋2k)t－k3＋1在(，＋∞)上单调递增，所以当t＝－时，|2k2t－k3|＋|2kt＋1|取得最小值，且最小值为k3＋k＝k(1＋k2)，又2kt＋1≠0，所以2(|AB|＋|BC|)＞k(k2＋1)＝.令g(k)＝，0<k<1，则g′(k)＝，当0<k<时，g′(k)<0，当<k<1时，g′(k)>0，所以函数g(k)在(0，)上单调递减，在(，1)上单调递增，所以g(k)≥g()＝3，所以2(|AB|＋|BC|)>≥3.综上，矩形ABCD的周长大于3.