新教材2024届高考数学二轮专项分层特训卷二命题点加强练命题点11数列的递推小题突破（附解析）

命题点11　数列的递推一、单项选择题1．[2023·湖南长沙模拟]若数列{an}中，a1＝，a2＝，且anan＋2＝an＋1(n∈N*)，记数列{an}的前n项积为∏n，则的值为(　　)A．1B．C．D．2．[2023·河南许昌模拟]设数列{an}的前n项和为Sn，若2Sn＝3an－2(n∈N*)，则a6＝(　　)A．243B．244C．486D．4883．已知数列{an}满足＝2n，a1＝1，则a2023＝(　　)A．2023B．2024C．4045D．40474．[2023·山东潍坊模拟]数列1，3，2，…中，an＋2＝an＋1－an，则a2023＋a2024＝(　　)A．6B．5C．4D．35．[2023·河南郑州模拟]已知数列{an}各项均为正数，a1＝3，且有an＋1＝3－，则an＝(　　)A．B．C．4－D．＋26．[2023·吉林模拟]大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，则此数列的第25项与第24项的差为(　　)A．22B．24C．25D．267．[2023·河北石家庄模拟]已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝2，a2＝－1，(Sn＋1－Sn)(1＋Sn－1－Sn)＝1(n≥2，n∈N*)，则S2022＝(　　)A．B．2C．1011D．20228．[2023·安徽淮南模拟]斐波那契数列因以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”．此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用，斐波那契数列{an}可以用如下方法定义：an＋2＝an＋1＋an，且a1＝a2＝1，若此数列各项除以4的余数依次构成一个新数列{bn}，则数列{bn}的前2023项的和为(　　)A．2023B．2024C．2696D．2697二、多项选择题9．[2023·广东广州5月联考]已知数列{an}满足a1＝1，an＋an－1＝n2(n≥2，n∈N*)，Sn为其前n项和，则(　　)A．a4－a2＝7B．a10＝55C．S5＝35D．a8＋a4＝2810．[2023·重庆模拟]对于数列{an}，若a1＝1，an＋an＋1＝2n(n∈N*)，则下列说法正确的是(　　)A．a4＝3B．数列{an}是等差数列C．数列{a2n－1}是等差数列D．a2n＝2n－111．[2023·江苏盐城模拟]已知数列{an}对任意的整数n≥3，都有n2an－2an＋2＝(n2－4)a，则下列说法中正确的有(　　)A．若a2＝2，a4＝2，则a6＝2B．若a1＝1，a3＝3，则a2n＋1＝2n＋1(n∈N)C．数列{an}可以是等差数列D．数列{an}可以是等比数列 12．[2023·江苏宿迁模拟]设Sn是数列{an}的前n项和，且a1>0，a2＝，3an＋1＝2SnSn＋1，则(　　)A．a1＝B．数列是公差为的等差数列C．数列的前5项和最大D．an＝[答题区]题号123456789101112答案三、填空题13．[2023·广东佛山模拟]数列{an}满足an＋1>an，a2n＝2an＋1，写出一个符合上述条件的数列{an}的通项公式________．14．[2023·安徽马鞍山模拟]设数列{an}满足a1＝1，a2＝，且n2a＝(n2－1)an＋1an－1(n∈N*，n≥2)，则a6＝________．15．[2023·河北邯郸模拟]已知数列{an}满足：对任意n≥2，均有an＋1＝an－an－1＋n.若a1＝a2＝2，则a2023＝________．16．[2023·安徽淮南模拟]记Sn为数列{an}的前n项和．已知＋n＝3an＋1，a1＝－，则数列{an}的通项公式是________． 命题点11　数列的递推(小题突破)1．解析：由题意，得a3＝，a4＝，a5＝4，a6＝，a7＝，a8＝，发现数列{an}是以6为周期的数列，且前6项积为1，则∏2023＝，a2022＝，所以原式的值为.故选D.答案：D2．解析：由2Sn＝3an－2，①所以2Sn＋1＝3an＋1－2，②②－①：2an＋1＝3an＋1－3an，所以an＋1＝3an⇒＝3，当n＝1时，2S1＝3a1－2，所以a1＝2，所以数列{an}是首项为a1＝2，公比q＝3的等比数列，所以an＝2·3n－1(n∈N*)，所以a6＝2×36－1＝2×35＝486.故选C.答案：C3．解析：∵＝2n，∴an＋1＋an＝2n(an＋1－an)，即(1－2n)an＋1＝(－2n－1)an，可得＝，∴a2023＝×××…×××a1＝×××…×××1＝4045.故选C.答案：C4．解析：因为an＋2＝an＋1－an，所以an＋3＝an＋2－an＋1＝(an＋1－an)－an＋1＝－an，所以an＋6＝－an＋3＝an(n∈N*)，所以数列{an}的周期为6，因为2023＝6×337＋1，2024＝6×337＋2，所以a2023＝a1＝1，a2024＝a2＝3，所以a2023＋a2024＝4.故选C.答案：C5．解析：an＋1＝3－，an＋1－2＝1－＝，显然若an－2＝0，则an＋1－2＝0，则∀n∈N*，an＝2，与题意矛盾，所以∀n∈N*，an－2≠0，两边同时取倒数，得：＝＝1＋，设bn＝，b1＝1，bn＋1＝1＋2bn，bn＋1＋1＝2(bn＋1)，因为b1＋1＝2≠0，故bn＋1≠0，故＝2，所以{bn＋1}为等比数列，所以bn＋1＝2×2n－1＝2n，故bn＝2n－1，所以＝2n－1， 故an＝＋2.故选D.答案：D6．解析：设该数列为{an}，当n为奇数时，a1＝＝0，a3＝＝4，a5＝＝12，a7＝＝24，…所以an＝，n为奇数；当n为偶数时，a2＝＝2，a4＝＝8，a6＝＝18，a8＝＝32，…所以an＝，n为偶数；所以a25－a24＝－＝24.故选B.答案：B7．解析：∵数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝2，a2＝－1，(Sn＋1－Sn)(1＋Sn－1－Sn)＝1(n≥2，n∈N*)，∴an＋1·(1－an)＝1，即an＋1＝，∴a3＝＝＝，a4＝＝＝2，a5＝＝＝－1，…可得数列{an}是周期为3的数列，且前三项为：2，－1，，则S2022＝674×(a1＋a2＋a3)＝674×(2－1＋)＝1011.故选C.答案：C8．解析：因为an＋2＝an＋1＋an，且a1＝a2＝1，所以数列{an}为1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，…，此数列各项除以4的余数依次构成一个新数列{bn}为1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0，…，是以6为周期的周期数列，所以数列{bn}的前2023项的和S2023＝(1＋1＋2＋3＋1＋0)＋b1＋337×6＝2697.故选D.答案：D9．解析：因为a1＝1，a2＋a1＝22，a3＋a2＝32，a4＋a3＝42，a5＋a4＝52，a6＋a5＝62，…，a10＋a9＝102，所以a4－a2＝42－32＝7，a6－a4＝62－52＝11，a8－a6＝82－72＝15，a10－a8＝102－92＝19，累加得a10－a2＝7＋11＋15＋19＝52，所以a10＝a2＋52＝22－a1＋52＝3＋52＝55，S5＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝1＋32＋52＝35，因为a4－a2＝7，a8－a2＝7＋11＋15＝33，所以a8＋a4＝7＋33＋2a2＝46.故选ABC.答案：ABC10．解析：由an＋an＋1＝2n(n∈N*)，a1＝1，得a2＝2－a1＝1，a3＝4－a2＝3， a4＝6－a3＝3，所以A选项正确；∵2a2≠a1＋a3，∴数列{an}不是等差数列，故B选项错误；又an＋an＋1＝2n，an＋1＋an＋2＝2(n＋1)，两式相减得an＋2－an＝2，令n＝2n－1，可得a2n＋1－a2n－1＝2，{a2n－1}是以1为首项，2为公差的等差数列，故C正确；同理，令n＝2n，则a2n＋2－a2n＝2，所以{a2n}是以a2＝1为首项，公差为2的等差数列，所以a2n＝1＋(n－1)×2＝2n－1，故D正确．故选ACD.答案：ACD11．解析：若a2＝2，a4＝2，当n＝4时，16a2a6＝12a，解得a6＝，故A错；若a1＝1，a3＝3，当n＝3时，9a1a5＝5a，解得a5＝5，当n＝5时，25a3a7＝21a，解得a7＝7，…，根据递推关系可知，当n为奇数，即n＝2n＋1时，a2n＋1＝2n＋1(n∈N)，故B正确；若an＝n，则n2(n－2)(n＋2)＝(n2－4)n2成立，故数列{an}可以是等差数列，即C正确；若数列{an}是等比数列，假设公比为q，则由n2an－2an＋2＝(n2－4)a，得(n＋1)2an－1an＋3＝[(n＋1)2－4]a，两式相除得，××＝×，即q2＝q2，解得n＝－，不符合题意，则假设不成立，故D错．故选BC.答案：BC12．解析：∵a1>0，a2＝，3an＋1＝2SnSn＋1，∴3a2＝2a1(a1＋a2)，∴a1＝或a1＝－(舍)，故选项A正确；又3an＋1＝2SnSn＋1，∴3(Sn＋1－Sn)＝2SnSn＋1，∴－＝－，∴数列是公差为－的等差数列，故选项B错误； 由＝＝3得＝＋(n－1)＝3－＝，∴>0，<0，∴数列的前5项和最大，故选项C正确；当n＝1时，a1＝＝，这与a1＝矛盾，故选项D错误．故选AC.答案：AC13．解析：由a2n＝2an＋1得：a2n＋1＝2(an＋1)，则当an＝n－1时，an＋1＝n，∴a2n＋1＝2n，故an＝n－1(n∈N*)满足递推关系，又an＋1－an＝n－(n－1)＝1>0，满足an＋1>an，∴满足条件的数列的一个通项公式为：an＝n－1.答案：an＝n－1(答案不唯一)14．解析：因为n2a＝(n2－1)an＋1an－1(n∈N*，n≥2)，则(nan)2＝[(n＋1)an＋1][(n－1)an－1](n≥2)，且1×a1＝1，2a2＝3，可得＝3，所以数列{nan}是首项为1，公比为3的等比数列，则nan＝1×3n－1，即an＝，可得a6＝＝.答案：15．解析：由题意得an＋3＝an＋2－an＋1＋n＋2＝(an＋1－an＋n＋1)－an＋1＋n＋2＝2n＋3－an，所以an＋6＝2(n＋3)＋3－an＋3＝2n＋9－(2n＋3－an)＝an＋6，所以数列{an}是以6为周期的周期数列，所以a2023＝a1＋337×6＝2＋2022＝2024.答案：202416．解析：由题意得3Sn＋n2＝3nan＋n　①，当n≥2时，3Sn－1＋(n－1)2＝3(n－1)an－1＋(n－1)　②①－②化简得3(an－an－1)－3n(an－an－1)＝－2n＋2，即(3－3n)(an－an－1)＝－2n＋2，则an－an－1＝＝，(n≥2)则数列{an}是以－为首项，公差为的等差数列，则an＝－＋(n－1)＝n－1.答案：an＝n－1