新教材2024届高考数学二轮专项分层特训卷二命题点加强练命题点9三角恒等变换与解三角形大题突破（附解析）

命题点9　三角恒等变换与解三角形1．[2023·新课标Ⅰ卷]已知在△ABC中，A＋B＝3C，2sin(A－C)＝sinB.(1)求sinA；(2)设AB＝5，求AB边上的高．解：2．[2022·全国乙卷]记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinCsin(A－B)＝sinBsin(C－A).(1)证明：2a2＝b2＋c2；(2)若a＝5，cosA＝，求△ABC的周长．解：3．[2023·黑龙江齐齐哈尔模拟]在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知＝.(1)求的值；(2)若a＝2，c＝，求△ABC的面积． 解：4．[2023·河南郑州模拟]已知△ABC的角A，B，C对边分别为a，b，c，满足acosC＋asinC＝b，bc＝，b＋c－a＝0.(1)求A；(2)求△ABC外接圆的半径R.解： 5．[2023·河北石家庄模拟]已知△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，sinA＝4sinCcosB，且c＝2.(1)证明：tanB＝3tanC；(2)若b＝2，求△ABC外接圆的面积解：6．[2023·安徽合肥模拟]记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosB＝.(1)求cos2＋tan2的值；(2)若b＝4，S△ABC＝2，求c的值．解： 命题点9　三角恒等变换与解三角形(大题突破)1．解析：方法一　(1)在△ABC中，A＋B＝π－C，因为A＋B＝3C，所以3C＝π－C，所以C＝.因为2sin(A－C)＝sinB，所以2sin(A－)＝sin(－A)，展开并整理得(sinA－cosA)＝(cosA＋sinA)，得sinA＝3cosA，又sin2A＋cos2A＝1，且sinA>0，所以sinA＝.(2)由正弦定理＝，得BC＝×sinA＝×＝3，由余弦定理AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcosC，得52＝AC2＋(3)2－2AC·3cos，整理得AC2－3AC＋20＝0，解得AC＝或AC＝2，由(1)得，tanA＝3>，所以<A<，又A＋B＝，所以B>，即C<B，所以AB<AC，所以AC＝2，设AB边上的高为h，则×AB×h＝×AC×BCsinC，即5h＝2×3×，解得h＝6，所以AB边上的高为6.方法二　(1)在△ABC中，A＋B＝π－C，因为A＋B＝3C，所以3C＝π－C，所以C＝.因为2sin(A－C)＝sinB，所以2sin(A－C)＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)，所以2sinAcosC－2cosAsinC＝sinAcosC＋cosAsinC，所以sinAcosC＝3cosAsinC，易得cosAcosC≠0，所以tanA＝3tanC＝3tan＝3，又sinA>0，所以sinA＝＝. (2)由(1)知sinA＝，tanA＝3>0，所以A为锐角，所以cosA＝，所以sinB＝sin(－A)＝(cosA＋sinA)＝×(＋)＝，由正弦定理＝，得AC＝＝＝2，故AB边上的高为AC×sinA＝2×＝6.2．解析：(1)证明：∵sinCsin(A－B)＝sinBsin(C－A)，∴sinCsinAcosB－sinCcosAsinB＝sinBsinCcosA－sinBcosCsinA，∴sinCsinAcosB＝2sinBsinCcosA－sinBcosCsinA.由正弦定理，得accosB＝2bccosA－abcosC.由余弦定理，得＝b2＋c2－a2－.整理，得2a2＝b2＋c2.(2)由(1)知2a2＝b2＋c2.又∵a＝5，∴b2＋c2＝2a2＝50.由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA，即25＝50－bc，∴bc＝.∴b＋c＝＝＝9，∴a＋b＋c＝14.故△ABC的周长为14.3．解析：(1)由正弦定理及＝，可得＝，即sinA－sinAcosC＝sinCcosA，所以sin(A＋C)＝sinA，因为A＋C＝π－B，可得sinB＝sinA，所以＝＝.(2)由(1)知a＝b，所以b＝a＝，由余弦定理可得cosC＝＝＝，又0<C<π，所以sinC＝＝，所以△ABC的面积为：S△ABC＝absinC＝×2××＝.4．解析：(1)由acosC＋asinC＝b以及正弦定理可得：sinAcosC＋sinAsinC＝ sinB，∵A＋B＋C＝π，∴sinAcosC＋sinAsinC＝sin(A＋C)＝(sinAcosC＋cosAsinC)，∴sinAsinC＝cosAsinC，∵sinC≠0，∴tanA＝，而A∈(0，π)，∴A＝.(2)∵bc＝，b＋c－a＝0，∴cosA＝＝＝＝，整理得a2＝1，∴a＝1.由正弦定理可得2R＝＝＝，∴R＝.5．解析：(1)证明：由已知，sinA＝4sinCcosB，∴sin[π－(B＋C)]＝4sinCcosB，∴sin(B＋C)＝4sinCcosB，∴sinBcosC＋cosBsinC＝4sinCcosB，∴sinBcosC＝3sinCcosB，易知上式中，cosB≠0，cosC≠0，∴由上式得＝，即tanB＝3tanC.(2)∵sinA＝4sinCcosB，∴由正弦定理和余弦定理得，a＝4c·，化简得a2＝2b2－2c2＝2×(2)2－2×22＝16，∴a＝4.又∵b＝2，c＝2，∴a2＝b2＋c2，△ABC是以a为斜边，A为直角的直角三角形，∴△ABC外接圆的直径2R＝a＝4，外接圆的半径R＝2，∴△ABC外接圆的面积S＝πR2＝4π.6．解析：(1)因为cosB＝，所以cos2＋tan2＝＋＝＋＝＋＝＋＝.(2)因为cosB＝，所以sinB＝＝，因为S△ABC＝2，即acsinB＝ac·＝2，所以ac＝6，再由余弦定理知b2＝a2＋c2－2accosB，即42＝＋c2－2×6×，即c4－20c2＋36＝0，解得c2＝2或c2＝18，所以c＝或c＝3(负值舍去).