新教材2024届高考数学二轮专项分层特训卷二命题点加强练命题点8解三角形大题突破（附解析）

命题点8　解三角形1．[2023·全国乙卷]在△ABC中，已知∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1.(1)求sin∠ABC；(2)若D为BC上一点，且∠BAD＝90°，求△ADC的面积．解：2．[2020·新高考Ⅰ卷]在①ac＝，②csinA＝3，③c＝b这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sinA＝sinB，C＝，________？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．解：3．[2022·新高考Ⅱ卷]记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为S1，S2，S3.已知S1－S2＋S3＝，sinB＝.(1)求△ABC的面积； (2)若sinAsinC＝，求b.解：4．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a，b，c成等差数列，且7sinA＝3sinC.(1)求cosB；(2)若△ABC的面积为，求b.解： 5．如图，四边形ABCD中，∠B＝150°，∠D＝60°，AB＝2，AD＝，△ABC的面积为2.(1)求AC；(2)求∠ACD.解：6．[2023·山东潍坊模拟]在四边形ABCD中，∠BAD＝，∠ACD＝，AD＝，S为△ABC的面积，且2S＝－·.(1)求角B； (2)若cosD＝，求四边形ABCD的周长．解： 命题点8　解三角形(大题突破)1．解析：(1)如图，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝22＋12＋2×2×1×＝7，得BC＝.方法一　由正弦定理＝，得sin∠ABC＝＝.方法二　由余弦定理得cos∠ABC＝＝＝，所以sin∠ABC＝＝.(2)方法一　由sin∠ABC＝，得tan∠ABC＝，又tan∠ABC＝＝，所以DA＝，故△ADC的面积为DA·AC·sin(120°－90°)＝××1×＝.方法二　△ABC的面积为AC·AB·sin∠BAC＝×1×2×＝，＝＝＝，故△ADC的面积为S△ABC＝×＝.2．解析：方案一：选条件①.由C＝和余弦定理得＝.由sinA＝sinB及正弦定理得a＝b.于是＝，由此可得b＝c.由①ac＝，解得a＝，b＝c＝1.因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时c＝1.方案二：选条件②.由C＝和余弦定理得＝.由sinA＝sinB及正弦定理得a＝b.于是＝，由此可得b＝c，B＝C＝，A＝.由②csinA＝3，所以c＝b＝2，a＝6.因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时c＝2. 方案三：选条件③.由C＝和余弦定理得＝.由sinA＝sinB及正弦定理得a＝b.于是＝，由此可得b＝c.由③c＝b，与b＝c矛盾．因此，选条件③时问题中的三角形不存在．3．解析：(1)∵边长为a的正三角形的面积为a2，∴S1－S2＋S3＝(a2－b2＋c2)＝.结合余弦定理，得accosB＝1，即cosB＝.由sinB＝，得cosB＝，∴ac＝，故S△ABC＝acsinB＝××＝.(2)由正弦定理，得＝·＝＝＝，故b＝sinB＝.4．解析：(1)因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c，又7sinA＝3sinC，结合正弦定理＝得7a＝3c，联立，得.从而cosB＝＝＝.(2)由(1)可得sinB＝＝＝，△ABC的面积为acsinB＝××c×＝，解得c＝7，所以b＝＝5.5．解析：(1)在△ABC中，由△ABC的面积S＝AB×BC×sin∠B＝×2×BC×＝2，可得BC＝4，由余弦定理AC2＝AB2＋BC2－2AB×BC×cos∠B＝12＋16－2×2×4×＝52，即AC＝2.(2)在△ACD中，由正弦定理＝，可得sin∠ACD＝＝＝， ∵AD<AC，则∠ACD<∠D＝60°，故∠ACD＝.6．解析：(1)由2S＝－·，在△ABC中得2×AB×BCsinB＝－AB×BCcosB，即sinB＝－cosB，可得tanB＝－，因为B∈(0，π)，所以B＝.(2)由cosD＝，D∈(0，π)，所以D＝，所以△ABC为等边三角形，AC＝，∠CAD＝，所以∠BAC＝，∠ACB＝，由正弦定理知＝，得AB＝＝＝1＝BC，故四边形ABCD的周长为2＋2.