适用于新高考新教材2024版高考数学二轮复习考点突破练2三角恒等变换与解三角形（附解析）

考点突破练2　三角恒等变换与解三角形一、必备知识夯实练1.(2023新高考Ⅱ,7)已知α为锐角,cosα=1+54,则sinα2=(　　)A.3-58　B.-1+58　C.3-54　D.-1+542.(2021全国甲,文8)在△ABC中,已知B=120°,AC=19,AB=2,则BC=(　　)A.1B.2C.5D.33.(2023湖南长沙一模)若1-tan(α-π4)1+tan(α-π4)=12,则cos2α的值为(　　)A.-35B.35C.-45D.454.(2023全国乙,文4)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若acosB-bcosA=c,且C=π5,则B=(　　)A.π10B.π5C.3π10D.2π55.(2023河南周口模拟)已知△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若sin2A+csinA=sinAsinB+bsinC,则该三角形的形状一定是(　　)A.钝角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.锐角三角形6.(2023江西九江模拟)在锐角三角形ABC中,AB=3,4cosAsinB=1,若BC在AB上的投影长等于△ABC的外接圆半径R,则R=(　　)A.4B.2C.1D.127.(多选题)(2023广东深圳龙华中学校考)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=4,sinA=45,cosC=210,则下列结论正确的是(　　)A.cosA=±35B.B=π4C.b=522D.△ABC的面积为728.(2023江西宜春一模)如图所示,在等腰梯形ABCD中,AB=4,AD=CD=BC=2,现将梯形ABCD依次绕着B,C,D各点顺时针翻转,则在第一次绕着点B翻转的过程中,对角线BD扫过的平面区域面积为(　　)A.2πB.3πC.8πD.4π9.(2023河北邢台模拟)如图,为了测量A,C两点间的距离,选取同一平面上的B,D两点,测出四边形ABCD各边的长度,AB=5km,BC=8km,CD=3km,DA=5km,且A,B,C,D四点共圆,则AC的长为　　　　km. 10.(2023浙江绍兴高三期末)已知α∈(0,π2),tanα=2cosα+13-2sinα,则sinα=　　　　　　　　　　. 11.(2020全国Ⅰ,理16)如图,在三棱锥P-ABC的平面展开图中,AC=1,AB=AD=3,AB⊥AC,AB⊥AD,∠CAE=30°,则cos∠FCB=　　　　　.  二、关键能力提升练12.(2023河南郑州二模)已知△ABC不为直角三角形,AB=5,AC=2,且sin2A-2cos2A=2,则△ABC的面积为(　　)A.1B.5C.2D.313.(2023全国甲,理11)已知四棱锥P-ABCD的底面是边长为4的正方形,PC=PD=3,∠PCA=45°,则△PBC的面积为(　　)A.22B.32C.42D.6214.(2023河南郑州二模)假设二维空间中有两个点A(x1,y1),B(x2,y2),O为坐标原点,余弦相似度为向量OA,OB夹角的余弦值,记作cos(A,B),余弦距离为1-cos(A,B).已知P(sinα,cosα),Q(sinβ,cosβ),R(sinα,-cosα),若P,Q的余弦距离为13,Q,R的余弦距离为12,则tanαtanβ=(　　)A.7B.17C.4D.1415.(多选题)(2021新高考Ⅰ,10)已知O为坐标原点,点P1(cosα,sinα),P2(cosβ,-sinβ),P3(cos(α+β),sin(α+β)),A(1,0),则(　　)A.|OP1|=|OP2|B.|AP1|=|AP2|C.OA·OP3=OP1·OP2D.OA·OP1=OP2·OP316.(2023山东菏泽一模)设x,y均为非零实数,且满足xsinπ5+ycosπ5xcosπ5-ysinπ5=tan9π20,则yx=　　　　　. 17.(2023河南五市二模)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且46cosA=absinB+acsinC.若△ABC的面积S=62,则a的最小值为　　　　　　. 三、核心素养创新练18.如图是某所大学数学爱好者协会的会标,其内部是一个边长为1cm的正五边形,外面一圈是五个全等的四边形,其中∠BAD=36°,∠BCD=108°,AB=AD,CB=CD,则四边形ABCD的周长为(　　)(sin36°=10-254,sin72°=10+254)A.5+5B.10-5C.5+25D.10-25 19.(2022全国甲,理16)已知△ABC中,点D在边BC上,∠ADB=120°,AD=2,CD=2BD.当ACAB取得最小值时,BD=　　　　　.  考点突破练2　三角恒等变换与解三角形1.D　解析由cosα=1-2sin2α2,得sin2α2=1-cosα2=12(1-1+54)=3-58=(5-14)2.因为0<α<π2,所以0<α2<π4,所以sinα2>0,所以sinα2=-1+54.故选D.2.D　解析设BC=x,由余弦定理得19=4+x2-2×2x·cos120°,解得x=3或x=-5(舍).故选D.3.A　解析由1-tan(α-π4)1+tan(α-π4)=12,可得tan(α-π4)=13,所以tanα=tan(π4+α-π4)=tanπ4+tan(α-π4)1-tanπ4tan(α-π4)=1+131-13=2,所以cos2α=cos2α-sin2α=cos2α-sin2αcos2α+sin2α=1-tan2α1+tan2α=-35.4.C　解析由acosB-bcosA=c及正弦定理,得sinAcosB-sinBcosA=sinC,即sin(A-B)=sinC.又因为A,B,C是△ABC的内角,所以A-B=C,所以A-B=π5.①又因为A+B=π-C=4π5,②结合①②解得B=3π10.故选C.5.C　解析因为sin2A+csinA=sinAsinB+bsinC,由正弦定理可得,asinA+csinA=bsinA+bsinC,则sinA(a+c)=b(sinA+sinC),即a(sinA+c)=b(sinA+c).因为sinA>0,c>0,所以a=b,即△ABC为等腰三角形.6.B　解析∵△ABC是锐角三角形,BC在AB上的投影长等于△ABC的外接圆半径R,∴BC·cosB=R.∵BC=2RsinA,∴2RsinAcosB=R,∴sinAcosB=12.∵cosAsinB=14,两式相加得sinAcosB+cosAsinB=34,即sin(A+B)=34,∴sin(π-C)=34,即sinC=34.∵AB=3,∴2R=ABsinC=4,∴R=2.7.BC　解析由题知,sinC=1-cos2C=7210,则asinA=csinC,即c=72>a=4,故C>A,所以A不为钝角,则cosA=1-sin2A=35,故A错误.又a2+b2-2abcosC=c2,即16+b2-425b=492,整理得10b2-82b-85=(52b+17)(2b-5)=0,解得b=52=522.cosB=a2+c2-b22ac=16+492-2522×4×72=22.因为B∈(0,π),则B=π4.故B,C正确.故△ABC的面积S=12bcsinA=12×522×72×45=7.故D错误.8.D　解析由题知,BD2=AD2+AB2-2AD·ABcos∠DAB,BD2=CD2+CB2-2CD·CBcos∠DCB,又梯形ABCD为等腰梯形,则∠DAB+∠DCB=π,则20-16cos∠DAB=8-8cos(π-∠DAB),所以cos∠DAB=12.又∠DAB∈(0,π),可得∠DAB=π3,故∠CBA=π3,所以第一次绕着点B翻转的过程的翻转角为π-∠CBA=2π3.而BD2=20-16×12=12,故对角线BD扫过的平面区域面积为12×BD2×2π3=4π.9.7　解析∵A,B,C,D四点共圆,圆内接四边形的对角和为π,即∠B+∠D=π,∴由余弦定理可得AC2=AD2+CD2-2AD·CDcos∠D=52+32-2×5×3cos∠D=34-30cos∠D,AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos∠B=52+82-2×5×8cos∠B=89-80cos∠B.∵∠B+∠D=π,即cos∠B=-cos∠D,∴89-AC280=-34-AC230,解得AC=7.10.6+24　解析tanα=sinαcosα=2cosα+13-2sinα,化简得3sinα-cosα=2,即sin(α-π6)=22>0.又α∈(0,π2),所以α-π6是第一象限角,得cos(α-π6)=22, 故sinα=sin[(α-π6)+π6]=sin(α-π6)cosπ6+cos(α-π6)sinπ6=22×32+22×12=6+24.11.-14　解析由题意得BD=2AB=6,BC=AC2+AB2=2.∵D,E,F重合于一点P,∴AE=AD=3,BF=BD=6,∴在△ACE中,由余弦定理,得CE2=AC2+AE2-2AC·AEcos∠CAE=12+(3)2-2×1×3cos30°=1,∴CE=CF=1.∴在△BCF中,由余弦定理,得cos∠FCB=BC2+CF2-BF22BC·CF=22+12-(6)22×2×1=-14.12.C　解析∵sin2A-2cos2A=2,∴2sinAcosA=2(1+cos2A)=4cos2A.∵△ABC不是直角三角形,∴cosA≠0,∴sinA-2cosA=0,即cosA=12sinA.∵sin2A+cos2A=1,∴sin2A+14sin2A=1,解得sinA=±255.∵A∈(0,π),即sinA>0,∴sinA=255,∴S△ABC=12sinA·AB·AC=12×255×5×2=2.13.C　解析在四棱锥P-ABCD中,由PC=PD=3,得△CDP是等腰三角形.设CD的中点为E,AB的中点为F,由图得,△CDP关于直线PE对称,点P在平面PEF内,且PA=PB.在正方形ABCD中,AB=BC=CD=AD=4,由勾股定理得,AC=AB2+BC2=42.在△ACP中,∠PCA=45°,由余弦定理得,PA2=PC2+AC2-2AC·PC·cos∠PCA,解得PA=17,∴PB=PA=17.在△BCP中,由余弦定理得,PB2=PC2+BC2-2PC·BC·cos∠BCP,解得cos∠BCP=13,∴sin∠BCP=1-cos2∠BCP=223.∴S△PBC=12BC·PC·sin∠BCP=42.故选C.14.A　解析由OP=(sinα,cosα),OQ=(sinβ,cosβ),OR=(sinα,-cosα),cos(P,Q)=OP·OQ|OP||OQ|=sinαsinβ+cosαcosβ=cos(α-β),cos(Q,R)=OQ·OR|OQ||OR|=sinαsinβ-cosαcosβ=-cos(α+β),所以1-cos(α-β)=13,1+cos(α+β)=12,故cos(α-β)=23,cos(α+β)=-12,则cos(α-β)cos(α+β)=cosαcosβ+sinαsinβcosαcosβ-sinαsinβ=1+tanαtanβ1-tanαtanβ=-43,整理得tanαtanβ=7.15.AC　解析∵|OP1|=cos2α+sin2α=1,|OP2|=cos2β+(-sinβ)2=1,∴|OP1|=|OP2|,故A正确;∵AP1=(cosα-1,sinα),AP2=(cosβ-1,-sinβ),∴|AP1|=(cos2α-2cosα+1)+sin2α=2-2cosα,|AP2|=(cos2β-2cosβ+1)+sin2β=2-2cosβ, ∴|AP1|≠|AP2|,故B不正确;∵OA·OP3=(1,0)·(cos(α+β),sin(α+β))=cos(α+β),OP1·OP2=(cosα,sinα)·(cosβ,-sinβ)=cosαcosβ-sinαsinβ=cos(α+β),∴OA·OP3=OP1·OP2,故C正确;∵OA·OP1=(1,0)·(cosα,sinα)=cosα,OP2·OP3=(cosβ,-sinβ)·(cos(α+β),sin(α+β))=cosβcos(α+β)-sinβsin(α+β)=cos(β+α+β)=cos(2β+α),∴OA·OP1≠OP2·OP3,故D不正确.16.1　解析由题意可得,tanπ5+yx1-yxtanπ5=tan9π20.令yx=tanθ,则tanπ5+tanθ1-tanθtanπ5=tan9π20,即tan(θ+π5)=tan9π20,所以θ+π5=kπ+9π20,即θ=kπ+π4,k∈Z,故yx=tanθ=tan(kπ+π4)=1.17.2　解析由正弦定理可得,bsinC=csinB,asinB=bsinA.由已知可得,46bccosA=acsinB+absinC=2acsinB=2bcsinA,所以sinA=26cosA.又0<A<π,所以0<A<π2,所以cosA>0.因为sin2A+cos2A=25cos2A=1,所以cosA=15,sinA=265.因为△ABC的面积S=12bcsinA=65bc=62,所以bc=52.由余弦定理可得,a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2-2×52×15≥2bc-1=4,当且仅当b=c=102时,等号成立.所以a2≥4,故a的最小值为2.18.C　解析如图,取内部正五边形靠近点C的顶点E,连接BE,在△BCE中,可得EC=12,∠CBE=18°,∠BEC=126°,由正弦定理可得BCsin∠BEC=CEsin∠CBE,所以BC=CE·sin∠BECsin∠CBE=12×sin126°sin18°=sin54°2sin18°=cos36°2cos72°.连接AC,易知∠BAC=18°,∠ACB=54°,在△ABC中,由正弦定理可知BCsin∠BAC=BAsin∠ACB,即BA=BC·sin∠ACBsin∠BAC=cos36°2cos72°×sin54°sin18°=cos236°2cos272°.故四边形ABCD的周长l=2AB+2BC=cos236°cos272°+cos36°cos72°.因为sin36°=10-254,sin72°=10+254,所以cos236°=1-sin236°=3+58,cos272°=1-sin272°=3-58,即cos36°=5+14,cos72°=5-14,所以周长l=3+583-58+5+145-14=5+25.19.3-1　解析(方法一)令BD=t,则t>0.如图,以D为坐标原点,DC所在直线为x轴建立平面直角坐标系. 则C(2t,0),A(1,3),B(-t,0),AC2AB2=(2t-1)2+3(t+1)2+3=4-12t+1+3t+1≥4-23,当且仅当t+1=3,即BD=3-1时,等号成立.此时,ACAB=3-1.(方法二)设BD=t,则CD=2t,由余弦定理得AC2AB2=4t2+4-2×2t×2cos60°t2+4-2t×2cos120°=4t2-4t+4t2+2t+4=4-12t+1+3t+1≥4-23,当且仅当t+1=3,即BD=3-1时,等号成立,此时,ACAB=3-1.