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全国通用2022高考数学二轮复习专题二第2讲三角恒等变换与解三角形

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第2讲 三角恒等变换与解三角形一、选择题1.已知α∈R,sinα+2cosα=,则tan2α等于(  )A.B.C.-D.-解析 ∵sinα+2cosα=,∴sin2α+4sinα·cosα+4cos2α=.用降幂公式化简得:4sin2α=-3cos2α,∴tan2α==-.故选C.答案 C2.(2022·晋中模拟)已知α∈,sin=,则cosα等于(  )A.-B.C.-或D.-解析 ∵α∈.∴α+∈.∵sin=,∴cos=-,∴cosα=coscos+sinsin=-×+×=-.答案 A3.钝角三角形ABC的面积是,AB=1,BC=,则AC=(  )A.5B.C.2D.1解析 S△ABC=AB·BCsinB=×1×sinB=,∴sinB=,若B=45°,则由余弦定理得AC=1,∴△ABC为直角三角形,不符合题意,因此B=135°,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BCcosB=1+2-2×1××=5,∴AC=.故选B.答案 B4.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.若c2=(a-b)2+6,C=,则△ABC5\n的面积是(  )A.3B.C.D.3解析 c2=(a-b)2+6,即c2=a2+b2-2ab+6①.∵C=,由余弦定理得c2=a2+b2-ab②,由①和②得ab=6,∴S△ABC=absinC=×6×=,故选C.答案 C5.已知tanβ=,sin(α+β)=,其中α,β∈(0,π),则sinα的值为(  )A.B.C.D.或解析 依题意得sinβ=,cosβ=.注意到sin(α+β)=<sinβ,因此有α+β>(否则,若α+β≤,则有0<β<α+β≤,0<sinβ<sin(α+β),这与“sin(α+β)<sinβ”矛盾),则cos(α+β)=-,sinα=sin[(α+β)-β]=sin(α+β)cosβ-cos(α+β)sinβ=.答案 A二、填空题6.(2022·天津卷)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为3,b-c=2,cosA=-,则a的值为________.解析 ∵cosA=-,0<A<π,∴sinA=,S△ABC=bcsinA=bc×=3,∴bc=24,又b-c=2,∴b2-2bc+c2=4,b2+c2=52,由余弦定理得,a2=b2+c2-2bccosA=52-2×24×=64,∴a=8.答案 87.(2022·南昌模拟)若△ABC的内角满足sinA+sinB=2sinC,则cosC的最小值是________.解析 ∵sinA+sinB=2sinC.由正弦定理可得a+b=2c,即c=,5\ncosC===≥=,当且仅当3a2=2b2即=时等号成立.∴cosC的最小值为.答案 8.如图,嵩山上原有一条笔直的山路BC,现在又新架设了一条索道AC,小李在山脚B处看索道AC,发现张角∠ABC=120°;从B处攀登400米到达D处,回头看索道AC,发现张角∠ADC=150°;从D处再攀登800米方到达C处,则索道AC的长为________米.解析 如题图,在△ABD中,BD=400米,∠ABD=120°.因为∠ADC=150°,所以∠ADB=30°.所以∠DAB=180°-120°-30°=30°.由正弦定理,可得=.所以=,得AD=400(米).在△ADC中,DC=800米,∠ADC=150°,由余弦定理可得AC2=AD2+CD2-2·AC·CD·cos∠ADC=(400)2+8002-2×400×800×cos150°=4002×13,解得AC=400(米).故索道AC的长为400米.答案 400三、解答题9.设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c,且b=3,c=1,A=2B.(1)求a的值;(2)求sin的值.解 (1)因为A=2B,所以sinA=sin2B=2sinBcosB.由正、余弦定理得a=2b·.因为b=3,c=1,所以a2=12,a=2.5\n(2)由余弦定理得cosA===-.由于0<A<π,所以sinA===.故sin=sinAcos+cosAsin=×+×=.10.(2022·唐山模拟)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且csinB=bcosC=3.(1)求b;(2)若△ABC的面积为,求c.解 (1)由正弦定理得:sinCsinB=sinBcosC.又sinB≠0,所以sinC=cosC,∴C=45°.又bcosC=3,所以b=3.(2)因为S△ABC=acsinB=,csinB=3,所以a=7,由余弦定理可得c2=a2+b2-2abcosC=25.所以c=5.11.(2022·山东卷)设f(x)=sinxcosx-cos2.(1)求f(x)的单调区间;(2)在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若f=0,a=1,求△ABC面积的最大值.解 (1)由题意知f(x)=-=-=sin2x-.由-+2kπ≤2x≤+2kπ,k∈Z,可得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z;由+2kπ≤2x≤+2kπ,k∈Z,可得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.所以f(x)的单调递增区间是(k∈Z);5\n单调递减区间是(k∈Z).(2)由f=sinA-=0,得sinA=,由题意知A为锐角,所以cosA=.由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,可得1+bc=b2+c2≥2bc,即bc≤2+,当且仅当b=c时等号成立.因此bcsinA≤.所以△ABC面积的最大值为.5

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发布时间:2022-08-25 23:52:26 页数:5
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文章作者:U-336598

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