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浙江专用2022高考数学二轮复习专题2.2三角恒等变换与解三角形精练理

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第2讲 三角恒等变换与解三角形(建议用时:60分钟)一、选择题1.(2022·新课标全国Ⅰ卷)sin20°cos10°-cos160°sin10°=(  ).A.-B.C.-D.解析 sin20°cos10°-cos160°sin10°=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin30°=.答案 D2.(2022·烟台二模)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=1,B=45°,S△ABC=2,则b等于(  ).A.5B.25C.D.5解析 ∵S=acsinB=2,∴×1×c×sin45°=2.∴c=4.∴b2=a2+c2-2accosB=1+32-2×1×4×cos45°.∴b2=25,b=5.答案 A3.(2022·浙江卷)已知α∈R,sinα+2cosα=,则tan2α等于(  ).A.B.C.-D.-解析 ∵sinα+2cosα=,∴sin2α+4sinα·cosα+4cos2α=.化简,得4sin2α=-3cos2α,7\n∴tan2α==-.答案 C4.(2022·北京东城区期末)在△ABC中,A,B,C为内角且sinAcosA=sinBcosB,则△ABC是(  ).A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形解析 由sinAcosA=sinBcosB得sin2A=sin2B=sin(π-2B),所以2A=2B或2A=π-2B,即A=B或A+B=,所以△ABC为等腰或直角三角形.答案 D5.在锐角△ABC中,角A,B所对的边长分别为a,b.若2asinB=b,则角A等于(  ).A.B.C.D.解析 在△ABC中,利用正弦定理得2sinAsinB=sinB,∴sinA=.又A为锐角,∴A=.答案 D6.已知tanβ=,sin(α+β)=,其中α,β∈(0,π),则sinα的值为(  ).A.B.C.D.或解析 依题意得sinβ=,cosβ=;注意到sin(α+β)=<sinβ,因此有α+β>(否则,若α+β≤,则有0<β<α+β≤,0<sinβ<sin(α+β),这与“sin(α+β)<sinβ”矛盾),则cos(α+β)=-,sinα=sin[(α+β)-β]=sin(α+β)cosβ-cos(α+β)sinβ=.7\n答案 A7.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知8b=5c,C=2B,则cosC等于(  ).A.B.-C.±D.解析 先用正弦定理求出角B的余弦值,再求解.由=,且8b=5c,C=2B,所以5csin2B=8csinB,所以cosB=.所以cosC=cos2B=2cos2B-1=.答案 A二、填空题8.(2022·天津卷)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为3,b-c=2,cosA=-,则a的值为________.解析 ∵cosA=-,0<A<π,∴sinA=,S△ABC=bcsinA=bc×=3,∴bc=24,又b-c=2,∴b2-2bc+c2=4,b2+c2=52,由余弦定理得,a2=b2+c2-2bccosA=52-2×24×=64,∴a=8.答案 89.在△ABC中,∠ABC=,AB=,BC=3,则sin∠BAC=________.解析 在△ABC中,由余弦定理得AC2=BA2+BC2-2BA·BCcos∠ABC=()2+32-2××3cos=5.∴AC=,由正弦定理得sin∠BAC====.7\n答案 10.(2022·北京卷)在△ABC中,a=4,b=5,c=6,则=________.解析 由余弦定理:cosA===,∴sinA=,cosC===,∴sinC=,∴==1.答案 111.若α,β∈,cos=,sin=-,则cos(α+β)=________.解析 ∵α,β∈,∴-<α-<,-<-β<,由cos=和sin=-得α-=±,-β=-,当α-=-,-β=-时,α+β=0,与α,β∈矛盾;当α-=,-β=-时,α=β=,此时cos(α+β)=-.答案 -12.(2022·四川卷改编)如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为75°,30°,此时气球的高是60m,则河流的宽度BC=________m.7\n解析 如图,在△ACD中,∠CAD=90°-30°=60°,AD=60m,所以CD=AD·tan60°=60(m).在△ABD中,∠BAD=90°-75°=15°,所以BD=AD·tan15°=60(2-)(m).所以BC=CD-BD=60-60(2-)=120(-1)(m).答案 120(-1)三、解答题13.已知函数f(x)=2cos(其中ω>0,x∈R)的最小正周期为10π.(1)求ω的值;(2)设α,β∈,f=-,f=,求cos(α+β)的值.解 (1)由题意知f(x)=2cos的最小正周期T=10π=,则ω=.(2)由(1)知f(x)=2cos,又α,β∈,f=-,f=,即cos=-,cosβ=,∴sinα=,cosα=,sinβ=,∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ7\n=×-×=-.14.(2022·江苏卷)在△ABC中,已知AB=2,AC=3,A=60°.(1)求BC的长;(2)求sin2C的值.解 (1)由余弦定理知,BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cosA=4+9-2×2×3×=7,所以BC=.(2)由正弦定理知,=,所以sinC=·sinA==.因为AB<BC,所以C为锐角,则cosC===.因此sin2C=2sinC·cosC=2××=.15.(2022·陕西卷)△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.向量m=(a,b)与n=(cosA,sinB)平行.(1)求A;(2)若a=,b=2,求△ABC的面积.解 (1)因为m∥n,所以asinB-bcosA=0,由正弦定理,得sinAsinB-sinBcosA=0,又sinB≠0,从而tanA=,由于0<A<π,所以A=.(2)法一 由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccosA,而a=,b=2,A=,得7=4+c2-2c,即c2-2c-3=0,因为c>0,所以c=3,故△ABC的面积为S=bcsinA=.7\n法二 由正弦定理,得=,从而sinB=,又由a>b,知A>B,所以cosB=,故sinC=sin(A+B)=sin=sinBcos+cosBsin=.所以△ABC的面积为S=absinC=.7

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发布时间:2022-08-25 23:15:11 页数:7
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文章作者:U-336598

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